Witt, Jan De

(s. Dordrecht, Alankomaat, 24. syyskuuta 1625; k. Haag, Alankomaat, 20. elokuuta 1672)

matemaatikko.

De Witt oli Dordrechtin porvarin Jacob de Wittin ja Anna van de Corputin poika. Molemmat suvut kuuluivat näkyvästi Alankomaiden kaupunkeja ja maakuntia hallinneeseen regenttiluokkaan. Hän pääsi Dordrechtin latinalaiseen kouluun vuonna 1636 ja opiskeli Leidenin yliopistossa vuonna 1641. Siellä hän opiskeli oikeustiedettä ja lähti Ranskaan vuonna 1645 suorittamaan tutkintoa Angersissa. Leidenissä hän opiskeli matematiikkaa yksityisesti Frans van Schooten nuoremman kanssa ja sai häneltä erinomaisen koulutuksen kartesiolaisessa matematiikassa. De Witt oli lahjakas matemaatikko, jolla oli vain vähän aikaa matematiikan harrastamiseen. Hänestä tuli Dordrechtin eläkeläinen vuonna 1650 ja Alankomaiden suuri eläkeläinen vuonna 1653, mikä teki hänestä valtiollisen puolueen johtajan ja käytännössä Alankomaiden pääministerin. Hän oli harvinaisen kyvykäs ja luonteenlujuuden omaava valtiomies, joka johti yhdistyneiden maakuntien asioita Vilhelm Oranian vähemmistön kahdenkymmenen vuoden hallituskauden aikana. Tämä oli yksi Alankomaiden historian kriittisimmistä ajanjaksoista kolmen englantilais-hollantilaisen sodan myötä; oranssin ryhmän vihamielisyys huipentui de Wittin ja hänen veljensä Cornelisin murhaan väkijoukon toimesta vuonna 1672.

De Wittin tärkein matemaattinen teos oli ennen vuotta 1650 kirjoitettu teos Elementa curvarum linearum (Elementa curvarum lineaarum), joka painettiin Van Schootenin toisessa latinankielisessä painoksessa Descartes’s Géométrie (1659-1661). Se koostuu kahdesta kirjasta: ensimmäinen on Apolloniuksen kartioiden ensimmäisistä kirjoista löytyvän geometrisen teorian synteettinen käsittely ja toinen on yksi ensimmäisistä suoran ja kartioiden analyyttisen geometrian systemaattisista kehitelmistä. Ensimmäisessä kirjassa paraabelin, ellipsin ja hyperbelin oireet (jotka ilmaistaan mittasuhteina) johdetaan tasolokeroina eikä kartioleikkauksina. Hänen ellipsin lokusmääritelmänsä ovat meille nykyään tuttuja: eksentrisen kulman konstruktio (piste, joka on kiinnitetty pyörivään segmenttiin nähden), trammel-konstruktio (kiinteä piste tietyllä segmentillä, joka liikkuu kahdella toisiaan leikkaavalla suoralla) ja ”jousi”-konstruktio, joka perustuu kahden fokuksen määritelmään. Hyperbelin ja paraabelin paikka muodostetaan kahden samansuuntaisen ja yhdensuuntaisen viivakynän vastaavien jäsenten leikkauspisteenä. Nykyaikaisessa mielessä nämä ovat mielenkiintoisia tahattomia esimerkkejä Steiner-Chaslesin projektiivisesta kartiomääritelmästä, jossa toisen lyijykynän kärki on äärettömässä.

De Wittin katsotaan ottaneen käyttöön termin ”directrix” paraabelille, mutta hänen johdannostaan käy selvästi ilmi, että hän ei käytä termiä meidän fokus-directrix-määritelmämme kiinteästä viivasta. Annetaan kiinteät suorat DB ja EF, jotka leikkaavat toisensa pisteessä D, jolloin B on napa ja EF suorakulmio: jos minkä tahansa EF:n pisteen H kohdalla ∠HBL konstruoidaan yhtä suureksi kuin ∠FDB, niin H:n kautta kulkeva BD:n suuntainen suora leikkaa BL:n G:ssä, joka on piste lokaalissa. Piirretään B:n kautta AC, jonka ∠DBC = ∠BDF leikkaa HG:n pisteessä I, ja piirretään AC:n suuntainen GK. Koska kolmiot BDH ja GKB ovat samankaltaisia, saadaan (BI)2 =(BD) (BK) eli y2 = px, paraabeli, jonka huippu on B, abessissa BK = x ja ordinaatti KG = y. Jos EF on kohtisuorassa DB:hen nähden, tuloksena on suorakulmainen koordinaatisto, mutta EF ei ole suuntimaamme.

Elementan ensimmäisessä kirjassa de Witt paitsi vapautti kinemaattisilla konstruktioillaan kartiot kartiokuvioista myös täytti kartesiolaiset konstruoitavuuden kriteerit. Tämä kirja oli kirjoitettu, kuten hän ilmoitti van Schootenille, antamaan taustaa toisen kirjan uudelle analyyttiselle kehitykselle. Hän aloitti analyyttisen käsittelyn osoittamalla, että ensimmäisen asteen yhtälöt esittävät suoria. Kuten tuohon aikaan oli tapana, hän ei käyttänyt negatiivisia koordinaatteja, vaan kuvaili vain segmenttejä tai säteitä ensimmäisessä kvadrantissa. Hän selitti huolellisesti suorien varsinaista rakentamista mielivaltaisille kertoimille

, koska niitä tarvittaisiin hänen muunnoksissaan, jotka vähentäisivät yleiset kvadraattiset yhtälöt tyypin kartiokuvioiksi. de Witt aloitti jokaisen kartiokulmion osalta yksinkertaistetuista yhtälöistä, jotka vastasivat hänen vakiomuotoisia muotojaan kirjassa I, ja käytti sitten käännöksiä ja kiertoja vähentääkseen monimutkaisemmat yhtälöt kanonisiin muotoihin. Esimerkiksi hyperbolassa

hän antaa

ja sitten

v = x + h

jossa h on lineaarisen termin kerroin x:ssä ensimmäisen korvauksen jälkeen, jolloin saadaan

standardihyperbola, joka leikkaa uuden v- tai z-akselin sen mukaan, miten hh on suurempi tai pienempi kuin. Vaikka de Witt näyttää olevan tietoinen yleisen kvadraattisen yhtälön ominaispiirteestä valitessaan esimerkkejään, hän ei nimenomaisesti mainitse sen käyttöä kartiotyypin määrittämisessä paitsi paraabelin tapauksessa. Siinä hän toteaa, että jos toisen asteen termit ovat täydellisiä neliöitä, yhtälö edustaa paraabelia.

Viimeinen luku on yhteenveto erilaisista muunnoksista, joissa osoitetaan, miten kaikkien toisen asteen yhtälöiden kuvaajat voidaan rakentaa. Jokainen positiivisten ja negatiivisten kertoimien tapaus on käsiteltävä piirroksessa erikseen, mutta kunkin käyrän käsittely on täysin yleistä, ja sekä alkuperäiset että muunnetut akselit piirretään.

Käyrien algebrallisen yksinkertaistamisen normaalimuotoon lisäksi kirja II sisältää tavanomaisen paraabelin fokus-direktrix-ominaisuuden sekä analyyttiset johdannat eilipsistä ja hyperbolista sellaisten pisteiden sijaintipaikkana, joiden etäisyyksien summa tai erotus kahdesta kiinteästä pisteestä on vakio. Nämä on tehty nykyaikaisella tavalla neliöimällä kahdesti ja käyttämällä nimenomaisesti Pythagoraan lausetta uudemman etäisyyskaavan sijasta.

De Wittin teosta Elementa ja John Wallisin teosta Tractatus de sectionibus conicis (Tractatus de sectionibus conicis, 1655) pidetään ensimmäisinä analyyttisen geometrian oppikirjoina. Vaikka Wallis nosti esiin kysymyksen ensisijaisuudesta, heidän lähestymistapansa olivat erilaisia ja täysin riippumattomia. Wallis määritteli ensin kartiot toisen asteen yhtälöinä ja johti yhtälöistä käyrien ominaisuudet, kun taas de Witt määritteli ne geometrisesti tasossa ja osoitti sitten, että kvadraattiset yhtälöt voitiin pelkistää hänen normaalimuotoihinsa.

Christiaan Huygens kirjoitti kerran John Wallisille de Wittistä: ”Jos hän olisi voinut säästää kaikki voimansa matemaattisten töiden tekemiseen, hän olisi ylittänyt meidät kaikki”. Hänen geometriansa oli hänen ainoa panoksensa puhtaaseen matematiikkaan, mutta hän yhdisti matemaattiset kiinnostuksen kohteensa Hollannin provinssin taloudellisiin ongelmiin koko pitkän suureläkeläisyytensä ajan. Pääasiallinen keino kerätä rahaa Statresille oli elinkautinen tai kiinteä annuiteetti. Vuonna 1665 de Witt onnistui alentamaan korkokannan viidestä prosentista neljään prosenttiin ja perusti uppoamisrahaston, jonka muuntamisesta säästyneet korot kertyivät korkokomponenttikorolla ja joka käytettiin Alankomaiden velkaan, joka voitiin näin maksaa neljässäkymmenessäyhdeksässä vuodessa. Toinen englantilais-hollantilainen sota (1665-1667) kuitenkin romutti tämän suunnitelman. Englannin sodat olivat jatkuva rahanmeno, ja yli puolet menoista (lähes pelkästään sodan kustannukset) kului korkoihin.

Huhtikuussa 1671 päätettiin neuvotella varoja elinkorkojen avulla, jolloin velka rajoitettiin yhteen sukupolveen. De Witt laati Alankomaiden valtioita varten tutkielman, jossa osoitettiin matemaattisesti, että elinkorkoja tarjottiin liian korkealla korolla verrattuna kiinteisiin elinkorkoihin. Hollanti oli hiljattain alentanut koron 25 vuoden ostokoroksi (4 prosenttia) ja myi elinkorkoja 14 vuoden ostokorolla (7 prosenttia). De Witt halusi nostaa hinnan kuudentoista vuoden ostoon (6¼ prosenttia). Hänen teoksensa Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (heinäkuu 1671) on varmasti ensimmäisiä yrityksiä soveltaa todennäköisyysteoriaa taloudellisiin ongelmiin. Se kirjoitettiin poliittiseksi asiakirjaksi, ja se pysyi arkistoissa lähes kaksisataa vuotta. Sen jälkeen, kun Frederick Hendriks löysi ja julkaisi sen vuonna 1852, on ilmestynyt monia artikkeleita (joista osa on lueteltu kirjallisuusluettelossa), joissa sitä on selitetty tai arvosteltu nykyaikaisen vakuutusmatematiikan pohjalta. Se on itse asiassa hyvin yksinkertainen ja nerokas tutkielma, joka perustuu ainoastaan matemaattisen odotusarvon periaatteen käyttöön tasavertaisten sopimusten muodostamiseksi.

De Witt listasi 10 000 000 stuyverin (desimaalien välttämiseksi) suuruisten annuiteettimaksujen nykyarvot 4 prosentin korolla puolivuosittain ja summasi matemaattiset odotusarvot käyttäen hypoteettisia kuolevuusprosentteja eri ikävuosille. Hän oletti ensin, että ihminen kuolee yhtä todennäköisesti minkä tahansa vuoden ensimmäisellä tai viimeisellä puoliskolla, ja sitten, koska annuiteetteja ostettiin yleensä nuorille elinvuosille, hän laajensi tämän koskemaan mitä tahansa puoliskoa ”täydellisen elinvoimaisuuden” vuosista kolmesta ikävuodesta viisikymmentäkolmeen. Yksinkertaisuuden vuoksi hän katsoi, että ensimmäiset sata vuosipuoliskoa ovat yhtä tuhoisat tai kuolemaan johtavat vuodet, vaikka hän totesi, että kuoleman todennäköisyys on itse asiassa pienempi ensimmäisinä vuosina. Niinpä hän lopetti myös kahdeksankymmenen vuoden iässä, vaikka monet elävät tuota ikää pidempään. Seuraavina kymmenenä vuotena, viidestäkymmenestä kolmesta kuuteenkymmeneen kolmeen, kuoleman mahdollisuus ei ylitä enempää kuin suhteessa 3:2 ensimmäisen jakson kuoleman mahdollisuutta; kuudestakymmenestä kolmesta seitsemäänkymmeneen kolmeen kuoleman mahdollisuus ei ole enempää kuin 2:1; ja seitsemästäkymmenestä kolmesta kahdeksaankymmeneen ei enempää kuin 3:1.

De Witt antaa monia esimerkkejä selittääkseen matemaattisen odotuksen käsitteen käyttöä. Seuraava on hänen myöhempien laskelmiensa perusta, ja monet kommentaattorit ovat jättäneet sen huomiotta. Tarkastellaan nelikymppistä ja viisikymmentäkahdeksanvuotiasta miestä. Hänen olettamustensa mukaan vanhemman miehen kuoleman todennäköisyys verrattuna nuorempaan mieheen on 3:2. Voidaan laatia tasavertainen sopimus: jos viisikymmentäkahdeksanvuotias kuolee kuuden kuukauden kuluessa, nuorempi perii 2 000 floriinia, mutta jos nelikymppinen mies kuolee kuuden kuukauden kuluessa, vanhempi perii 3 000 floriinia. Toisin sanoen mahdollisuus, että 58-vuotias mies saa 3 000 guldenia, on 2:3 eli de Wittin annuiteettilaskelmien mukaan mahdollisuus saada tietty annuiteettimaksu toisena ajanjaksona on kaksi kolmasosaa ensimmäiseen ajanjaksoon verrattuna.

Tästä päättelystä de Wittin laskelmat ovat suoraviivaisia: hän laskee yhteen sadan ensimmäisen puolivuotiskauden nykyarvot, kaksikymmentä kolmasosaa seuraavien kahdenkymmenen puolivuotiskauden nykyarvoista, seuraavien kahdenkymmenen puolivuotiskauden nykyarvoista puolet ja neljäntoista viimeisen kolmanneksen. Kaikki nämä summat lasketaan yhteen ja otetaan keskiarvo, jolloin saadaan hieman yli kuusitoista guldenia yhden guldenin annuiteetin nykyarvoksi nuorena ja terveenä elävälle henkilölle. Jos menetelmää olisi sovellettu todellisiin kuolleisuustaulukoihin, työ olisi ollut valtava. Myöhemmin vuonna 1671 de Witt ja Jan Hudde kävivät kirjeenvaihtoa useammasta kuin yhdestä elinvuodesta maksettavien elinkorkojen ongelmasta, ja tässä molemmat käyttivät todellisia kuolleisuuslukuja, jotka oli otettu Alankomaiden elinkorkotiedoista. Työskennellessään useiden, vähintään sadan tietyn ikäisen henkilön ryhmien kanssa de Witt kehitti sopivat hinnat kahden hengen annuiteeteille. Nämä laajennettiin jälkikäteen mihin tahansa henkilömäärään Pascalin kolmion avulla, ja Huddelle annettiin lupaus vahvistaa tulokset a priori. Tämä oli de Wittin annuiteettien parissa tekemän työn huipentuma, mutta poliittisista syistä hän ehdotti Huddelle, että yleisölle ei tiedotettaisi heidän tutkimuksensa tuloksista, koska he olivat halukkaita ostamaan annuiteetteja useammalle kuin yhdelle elinkaudelle nykyisellä korolla, joka oli hallituksen kannalta suotuisa.

BIBLIOGRAFIA

I. Alkuperäiset teokset. Elementa curvarum linearum, teoksessa Frans van Schooten’ Latin ed. of Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Kuusi nidettä kirjeitä teoksessa Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Nide XXXIII sisältää kirjeitä matemaatikoille ja matemaatikoilta, mukaan lukien Jan Huddelle osoitetut kirjeet useamman kuin yhden elämän annuiteeteista.

II. Sekundaarinen kirjallisuus. Monista de Wittin elämäkerroista Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), on välttämätön. Edelleen arvokas on G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (Pariisi, 1884); englanninkielinen käännös, S. F. Stephenson ja A. Stephenson (Lontoo, 1885). Luotettavaa keskustelua ajanjaksosta ja de Wittin ja Vilhelm III:n välisistä suhteista ks. Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Lontoo 1964) ja hänen teoksensa Oranje en Stuart (Utrecht 1939), englanninkielinen käännös Arnold Pomerans (Lontoo 1969). Geometriasta ks. P. van Geer, ”Johan de Witt als Wiskundige”, teoksessa Nieuw Archief voor Wiskundige, 2. sarja, 11 (1915), 98-126; ja C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).

Henkivuosia käsittelevän teoksen englanninkielinen käännös löytyy teoksesta Frederick Hendricks, ”Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities”, teoksessa The Assurance Magazine (nyk. Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. Archief voor Verzekeringe Wetenschapin 3 (1901), 10 (1908) ja 11 (1909) sisältävät artikkeleita, joissa esitetään vaihtelevaa kritiikkiä ja selityksiä de Wittin annuiteetteja koskevista kirjoituksista.

Joy B. Easton

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.