Olet todennäköisesti törmännyt yksipuolisiin esineisiin satoja kertoja jokapäiväisessä elämässäsi – kuten kierrätyksen universaaliin symboliin, joka on painettu alumiinitölkkien ja muovipullojen kääntöpuolelle.
Tätä matemaattista objektia kutsutaan Mobiusnauhaksi. Se on kiehtonut ympäristönsuojelijoita, taiteilijoita, insinöörejä, matemaatikkoja ja monia muita siitä lähtien, kun saksalainen matemaatikko August Möbius, joka kuoli 150 vuotta sitten, 26.9.1868, löysi sen vuonna 1858.
Möbius löysi yksipuolisen nauhan vuonna 1858 toimiessaan Leipzigin yliopiston tähtitieteen ja korkeamman mekaniikan professorina. (Toinen matemaatikko nimeltä Listing oli itse asiassa kuvannut sen muutamaa kuukautta aiemmin, mutta julkaisi työnsä vasta vuonna 1861). Möbius näyttää törmänneen Möbius-kaistaleeseen työskennellessään polyedereiden, kärkipisteistä, reunoista ja litteistä pinnoista koostuvien kiinteiden hahmojen, geometrisen teorian parissa.
Möbius-kaistale voidaan luoda ottamalla paperiliuska, tekemällä sille pariton määrä puolittaisia käännöksiä ja teippaamalla sen jälkeen päät takaisin yhteen silmukanmuodostamiseksi. Jos otat lyijykynän ja piirrät viivan liuskan keskelle, huomaat, että viiva kulkee ilmeisesti silmukan molemmin puolin.
Konsepti yksipuolisesta esineestä inspiroi taiteilijoita, kuten hollantilaista graafikkoa M.C. Escheria, jonka puupiirroksessa ”Möbius Strip II” on punaisia muurahaisia, jotka ryömivät peräkkäin pitkin Möbius-liuskaa.
Möbiusnauhalla on enemmän kuin vain yksi yllättävä ominaisuus. Kokeile esimerkiksi ottaa sakset ja leikata liuska kahtia juuri piirtämääsi viivaa pitkin. Saatat hämmästyä huomatessasi, että jäljelle ei jää kahta pienempää yksipuolista Möbius-liuskaa, vaan yksi pitkä kaksipuolinen silmukka. Jos sinulla ei ole käsilläsi paperia, Escherin puupiirros ”Möbiuskaistale I” näyttää, mitä tapahtuu, kun Möbiuskaistale leikataan sen keskiviivaa pitkin.
Vaikka kaistaleella on varmasti visuaalista vetovoimaa, sen suurin vaikutus on ollut matematiikassa, jossa se auttoi vauhdittamaan kokonaisen topologiaksi kutsutun alan kehittymistä.
Topologi tutkii kappaleiden ominaisuuksia, jotka säilyvät, kun niitä siirretään, taivutetaan, venytetään tai väännetään, leikkaamatta tai liimaamatta osia yhteen. Esimerkiksi sotkeutunut korvakuulokepari on topologisessa mielessä sama kuin sotkeutumaton korvakuulokepari, koska toisen muuttaminen toiseksi vaatii vain siirtämistä, taivuttamista ja vääntämistä. Niiden väliseen muutokseen ei tarvita leikkaamista tai liimaamista.
Toinen topologisesti sama esinepari on kahvikuppi ja donitsi. Koska molemmissa objekteissa on vain yksi reikä, toinen voidaan muuttaa toiseksi vain venyttämällä ja taivuttamalla.
Objektin reikien määrä on ominaisuus, jota voidaan muuttaa vain leikkaamalla tai liimaamalla. Tämän ominaisuuden – jota kutsutaan esineen ”genukseksi” – avulla voimme sanoa, että korvakuulokepari ja donitsi ovat topologisesti erilaisia, koska donitsissa on yksi reikä, kun taas korvakuulokeparissa ei ole reikiä.
Epäonnekseen Möbiusnauhassa ja kaksipuolisessa silmukassa, kuten tyypillisessä silikonisessa tietoisuutta lisäävässä rannekkeessa, näyttäisi molemmissa olevan yksi reikä, joten tämä ominaisuus ei riitä erottamaan niitä toisistaan – ainakaan topologin näkökulmasta.
Sen sijaan ominaisuutta, joka erottaa Möbiusnauhan kaksipuolisesta silmukasta, kutsutaan orientoituvuudeksi. Kuten sen reikien määrää, kohteen orientoituvuutta voidaan muuttaa vain leikkaamalla tai liimaamalla.
Kuvittele kirjoittavasi itsellesi lappu läpinäkyvälle pinnalle ja käveleväsi sitten tuolla pinnalla. Pinta on orientoituva, jos kävelyltä palatessasi voit aina lukea lapun. Epäsuuntautuvalla pinnalla saatat palata kävelyltäsi vain huomataksesi, että kirjoittamasi sanat ovat ilmeisesti muuttuneet peilikuvakseen ja niitä voi lukea vain oikealta vasemmalle. Kaksipuolisella silmukalla lappu on aina luettavissa vasemmalta oikealle riippumatta siitä, minne matkasi vei sinut.
Koska Möbius-nauha ei ole orientoituva, kun taas kaksipuolinen silmukka on orientoituva, tämä tarkoittaa, että Möbius-nauha ja kaksipuolinen silmukka ovat topologisesti erilaisia.
Orioituvuuden käsitteellä on tärkeitä vaikutuksia. Otetaan esimerkiksi enantiomeerit. Näillä kemiallisilla yhdisteillä on samat kemialliset rakenteet yhtä keskeistä eroa lukuun ottamatta: Ne ovat toistensa peilikuvia. Esimerkiksi kemiallinen L-metamfetamiini on Vicks-höyryinhalaattorien ainesosa. Sen peilikuvana oleva D-metamfetamiini on A-luokan laiton huumausaine. Jos eläisimme suuntautumattomassa maailmassa, näitä kemikaaleja ei voisi erottaa toisistaan.
August Möbiuksen löytö avasi uusia tapoja tutkia luontoa. Topologian tutkimus tuottaa edelleen hämmästyttäviä tuloksia. Esimerkiksi viime vuonna topologia johti tutkijat löytämään outoja uusia aineen tiloja. Tämän vuoden Fields-mitali, matematiikan korkein kunnianosoitus, myönnettiin Akshay Venkateshille, matemaatikolle, joka auttoi integroimaan topologian muihin aloihin, kuten numeroteoriaan.