Moments principaux d’inertie
Comme indiqué dans dans Tenseur d’inertie, le moment angulaire d’un corps rigide par rapport à l’origine du référentiel local s’exprime comme
Si, par hasard, tous les termes hors diagonale du tenseur d’inertie illustré dans deviennent nuls, on peut encore simplifier pour obtenir
Cela peut se produire lorsqu’on aligne les axes du référentiel local de telle manière que la masse du corps se distribue uniformément autour des axes, ainsi, les termes du produit d’inertie disparaissent tous. Les termes diagonaux non nuls du tenseur d’inertie illustré en sont appelés les moments d’inertie principaux de l’objet.
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Axes principaux
Comme illustré en , rien ne garantit que le vecteur moment angulaire ait la même direction que celle du vecteur vitesse angulaire. Cela pose un problème : si la direction du moment angulaire ne cesse de changer, il se développe un couple qui finit par forcer l’axe de rotation à se déplacer. C’est la raison principale qui provoque l’usure et la vibration dans les machines avec des pièces rotatives.
Mais dans certains cas particuliers, la condition suivante peut tenir pour que le moment angulaire et les vecteurs vitesse montrent la même direction:
où I = le moment d’inertie scalaire équivalent du corps autour de l’axe de rotation. Tout axe de rotation du corps qui suffit est appelé axe principal. Il existe un groupe d’axes principaux (théoriquement 3) dans un corps tridimensionnel. Par exemple, il y a trois axes principaux perpendiculaires pour le système représenté sur la figure 1.
La figure 1
dit essentiellement que le tenseur d’inertie peut être remplacé par un seul moment d’inertie scalaire lorsque l’axe de rotation est un axe principal.
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Diagonalisation du tenseur d’inertie
De :
Ou peut être simplifié en
où 1 = la matrice identité. I montré dans est appelé une valeur propre tandis que w est le vecteur propre. est l’équation de la valeur propre.
Pour avoir une solution non triviale, le déterminant des coefficients doit disparaître:
conduit à l’équation séculaire qui est fondamentalement cubique, fournit donc trois racines (valeurs propres) : I1, I2 & I3. Chaque racine correspond à un moment d’inertie autour d’un axe principal. En fait, les trois racines sont les moments d’inertie principaux du corps rigide introduit dans :
Une fois les valeurs propres connues, les axes principaux peuvent être calculés. Soit
où n = le vecteur unitaire de l’axe principal, donc,
De & :
Pour chaque valeur propre, on peut calculer les nx, ny & nz correspondants à partir de & . Il faut faire attention à la direction du vecteur propre dans ce processus.
Dans l’analyse du mouvement, les moments d’inertie principaux peuvent être obtenus à partir des propriétés inertielles des segments du corps. I1, I2 &I3 de chaque segment sont généralement connus. Les données sont disponibles sous la forme de rapports de rayon de giration (rapport entre le rayon de giration et la longueur du segment), d’équations de régression et de coefficients d’échelle. On peut également calculer les moments d’inertie principaux des segments corporels par modélisation en utilisant certaines formes géométriques. Voir Estimation individualisée des BSP pour plus de détails.
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