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Si vous n’avez jamais pensé que le sex-appeal pouvait être calculé mathématiquement, détrompez-vous. Les crabes violonistes mâles (Uca pugnax) possèdent une pince majeure élargie pour se battre ou menacer d’autres mâles. De plus, les mâles avec des pinces plus grandes attirent plus de compagnes. L’attrait sexuel (taille des pinces) d’une espèce particulière de crabe violoniste est déterminé par l’équation allométrique suivante : Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
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Qu’est-ce que l’allométrie ?
L’allométrie est l’étude de la variation relative de la proportion d’un attribut par rapport à un autre au cours de la croissance de l’organisme. Ces attributs peuvent être morphologiques, physiologiques ou autres. Un exemple bien connu de relation allométrique est la masse squelettique et la masse corporelle. Plus précisément, le squelette d’un organisme plus grand sera relativement plus lourd que celui d’un organisme plus petit. Il semble évident que des organismes plus lourds nécessitent un squelette plus lourd. Mais est-il également évident que des organismes plus lourds nécessitent des squelettes plus lourds de manière disproportionnée ? Alors, comment cette relation fonctionne-t-elle ? Considérez les données suivantes :
- un organisme de 10 kg peut avoir besoin d’un squelette de 0,75 kg,
- un organisme de 60 kg peut avoir besoin d’un squelette de 5,3 kg, et pourtant
- un organisme de 110 kg peut avoir besoin d’un squelette de 10,2 kg.
Comme vous pouvez le voir en inspectant ces chiffres, les corps plus lourds ont besoin de squelettes relativement plus musclés pour les soutenir. Il n’y a pas une augmentation constante de la masse squelettique pour chaque augmentation de 50 kg de la masse corporelle ; la masse squelettique augmente de façon disproportionnée par rapport à la masse corporelle .
Les lois d’échelonnement allométrique sont dérivées de données empiriques. Les scientifiques intéressés par la découverte de ces lois mesurent un attribut commun, tel que la masse corporelle et la taille du cerveau des mammifères adultes, à travers de nombreux taxons . Les données sont ensuite exploitées pour trouver des relations à partir desquelles des équations sont écrites.
Croissance allométrique
Les relations d’échelle allométrique peuvent être décrites à l’aide d’une équation allométrique de la forme, f (s) = c s d,
(1) où c et d sont des constantes. Les variables s et f (s) représentent les deux attributs différents que nous comparons (par exemple, la masse corporelle et la masse squelettique). Cette équation peut être utilisée pour comprendre la relation entre deux attributs. Plus précisément, la constante d de ce modèle détermine les taux de croissance relatifs des deux attributs représentés par s et f (s). Pour simplifier, considérons uniquement le cas d > 0.
- Si d > 1, l’attribut donné par f (s) augmente de manière disproportionnée par rapport à l’attribut donné par s. Par exemple, si s représente la taille du corps, alors f (s) est relativement plus grand pour les corps plus grands que pour les corps plus petits.
- Si 0 < d < 1, l’attribut f (s) augmente avec l’attribut s, mais le fait à un rythme plus lent que celui de la proportionnalité.
- Si d = 1, alors l’attribut f (s) change comme une proportion constante de l’attribut s. Ce cas particulier est appelé isométrie, plutôt qu’allométrie.
Utilisation des équations allométriques
Notez que (1) est une fonction puissance et non une équation exponentielle (la constante d est en position d’exposant au lieu de la variable s). Contrairement aux autres applications où nous avons besoin des logarithmes pour nous aider à résoudre l’équation, ici nous utilisons les logarithmes pour simplifier l’équation allométrique en une équation linéaire.
Voici comment cela fonctionne
Nous réécrivons (1) comme une équation logarithmique de la forme,
log (f (s)) = log (c s d). (2) Alors, en utilisant les propriétés des logarithmes, on peut réarranger (2) comme suit , = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Quand on change de variable en laissant,
= log f, = log c, = d, = log s. on voit que (3) est en fait l’équation linéaire = mx + b. (4) Donc, la transformation d’une équation allométrique en son équivalent logarithmique donne lieu à une équation linéaire.
Pourquoi s’embêter ?
En réécrivant l’équation allométrique en une équation logarithmique, nous pouvons facilement calculer les valeurs des constantes c et d à partir d’un ensemble de données expérimentales. Si nous représentons log s sur l’axe des x et log f sur l’axe des y, nous devrions voir une ligne dont la pente est égale à d et l’ordonnée à l’origine égale à log c. Rappelez-vous que les variables x et y sont réellement sur une échelle logarithmique (puisque x = log s et y = log f). On appelle un tel tracé un tracé log-log.
Parce que les équations allométriques sont dérivées de données empiriques, il faut faire attention aux données dispersées autour d’une ligne de meilleur ajustement dans le plan xy d’un tracé log-log. Les petits écarts par rapport à une ligne de meilleur ajustement sont en fait plus importants qu’il n’y paraît. Rappelez-vous que, puisque les variables x et y sont sur l’échelle logarithmique, les changements linéaires des variables de sortie (x et y) correspondent à des changements exponentiels des variables d’entrée (f (s) et s). Puisque nous sommes finalement intéressés par une relation entre f et s, nous devons nous préoccuper de tout écart, même minime, par rapport à une ligne de meilleur ajustement.
Revenons maintenant à notre crabe violoniste comme exemple concret.