Chaque fois que nous créons quelque chose de nouveau, nous passons de 0 à 1. L’acte de création est singulier, tout comme le moment de la création, et le résultat est quelque chose de frais et d’étrange.
Peter Thiel, Zero to One
Une étude de 1992 publiée dans Nature a travaillé avec des nourrissons de cinq mois pour déterminer leur capacité à comprendre l’addition et la soustraction. Les expérimentateurs ont montré aux bébés un objet, l’ont caché derrière un écran, puis ont demandé aux bébés de les regarder ajouter un objet supplémentaire derrière l’écran. Au cours de certains essais, les expérimentateurs retiraient subrepticement l’objet supplémentaire. Même à cet âge, les bébés savaient que quelque chose n’allait pas lorsqu’ils voyaient « zéro objet de plus » ajouté au groupe au lieu de « un objet de plus ».
Pour la plupart, c’est l’intuition innée qui nous a portés pendant nos premiers cours de mathématiques. Si nous avons eu de la chance (ou de la malchance, selon la personne à qui vous demandez), nous avons eu un premier aperçu de la formalisation de cette intuition en géométrie au collège ou au lycée. En commençant par des propositions appelées « axiomes » – des choses que nous tenions pour acquises comme étant vraies – nous avons été forcés de considérer comment notre intuition découlait de ces axiomes, et avons construit des « preuves » mathématiques formelles, bien que basiques, pour des résultats comme la loi des cosinus ou la congruence de deux triangles.
Si vous l’avez oublié, la loi des cosinus dit que c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), où aaa, bbb et ccc sont les longueurs des côtés d’un triangle et CCC est l’angle opposé au côté ccc. Si vous branchez 90 degrés pour CCC, vous obtenez le théorème de Pythagore.
Dans ce premier cours de géométrie, on nous a dit ce que nous pouvions supposer être vrai – mais nous sommes-nous jamais arrêtés pour demander pourquoi ?
Qui a décidé ce que nous pouvions exactement prendre pour acquis ? Pourquoi ces axiomes spécifiques ? Pourquoi ne pouvions-nous pas supposer que la loi des Cosinus était vraie, et pourquoi devions-nous le prouver ?
Les mathématiciens ont longuement réfléchi à ces questions, et le consensus de la communauté ne porte pas nécessairement sur des axiomes spécifiques que nous prenons pour acquis comme vrais, mais sur un principe : garder le nombre d’hypothèses au minimum. Ceci est similaire à une célèbre technique de résolution de problèmes connue sous le nom de rasoir d’Occam : « Lorsqu’on présente des hypothèses concurrentes pour résoudre un problème, on devrait choisir la solution qui comporte le moins d’hypothèses. »
Déterminer les axiomes
Le problème de parvenir à un ensemble minimal d’axiomes dont découlent toutes les mathématiques est plus difficile qu’il n’y paraît. Les mathématiciens ont travaillé pendant des années pour y parvenir, et la tentative la plus célèbre a été les Principia Mathematica, publiées en 1913 par les mathématiciens Alfred North Whitehead et Bertrand Russell. En 1931, cependant, le logicien Kurt Gödel a prouvé qu’un tel système était impossible – en bref, tout choix d’axiomes serait soit incomplet, et incapable de prouver l’ensemble des mathématiques ; soit inconsistant, et pourrait être utilisé pour prouver des contradictions.
Néanmoins, les mathématiques doivent bien commencer quelque part, et les mathématiciens ont donc défini des axiomes spécifiques pour les spécialisations dans lesquelles ils travaillent, comme la géométrie (pensez aux axiomes d’Euclide). Ces axiomes spécialisés sont ce que les géomètres, les algébristes, et ainsi de suite, ont décidé être l’ensemble minimal d’hypothèses dont ils ont besoin pour faire un travail productif et tirer des conclusions valides.
C’est grâce à ces axiomes que nous pouvons rigoureusement montrer que 1 est en fait plus grand que 0 – non pas à partir de notions nébuleuses comme « l’intuition », mais à partir d’une base mathématique solide construite sur le consensus axiomatique de la communauté mathématique.
En effet, c’est peut-être ce qui différencie nos capacités mentales de celles des enfants de cinq mois.
En passant, le fait de s’opposer aux conventions et d’explorer les conséquences des axiomes alternatifs a conduit à la création de toutes nouvelles branches des mathématiques. Un exemple est la géométrie sphérique, qui jette les fondements euclidiens traditionnels par la fenêtre. Sur une sphère, par exemple, les angles d’un triangle peuvent totaliser plus de 180 degrés.
Les axiomes dont nous avons besoin
« Dieu a fait les nombres naturels ; tout le reste est l’œuvre de l’homme. »
Leopold Kronecker, mathématicien allemand
Quand je dis « ensemble minimal d’hypothèses », il existe de nombreux niveaux différents de « minimal » auxquels nous pouvons commencer. Notre niveau d’abstraction fondateur pourrait potentiellement être que tout ce que nous avons à travailler sont les nombres naturels – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,…. – comme Kronecker semble le préconiser. Alternativement, nous pouvons simplement prendre 1>01 > 01>0 comme un axiome.
Nous pourrions aller dans plusieurs directions avec la première approche. Il y a les axiomes de Peano, qui sont un ensemble d’axiomes sur les nombres naturels qui visent à décrire complètement leur comportement. Ces axiomes sont presque comme les lois de Newton – non construites, mais plutôt une description des propriétés « naturelles » des nombres naturels. Dans cette approche, nous définissons simplement l’ordre des nombres naturels, nous concluons donc 1>01 > 01>0 par construction.
Nous définissons l’ordre des nombres naturels comme : pour les nombres naturels aaa et bbb, a≤ba \leq ba≤b si et seulement si a+c=ba + c = ba+c=b pour un certain nombre naturel ccc.
C’est valide, mais dans une certaine mesure, cela ressemble à un coup bas – nous définissons essentiellement notre résultat dans l’existence.
D’autre part, nous pourrions essayer de prouver 1>01 > 01>0 dans les nombres réels. Cependant, partir des fondamentaux dans cette direction est presque « trop près du matériel », et passer des naturels (1,2,31, 2, 31,2,3, etc.) aux réels (par exemple 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) nécessite l’utilisation de concepts tels que les suites de Cauchy, les classes d’équivalence, et plus encore – des outils qui nécessitent une formation approfondie en algèbre moderne (ce qui malheureusement, me manque).
Prendre la dernière approche, en axiomatisant notre conclusion que 1>01 > 01>0 en vérité, reviendrait à manger le dessert avant le dîner.
L’approche que j’ai trouvée la plus éclairante – accessible mais satisfaisante et rigoureuse – a été présentée dans mon cours d’introduction à l’analyse à l’Université du Michigan par le professeur Stephen DeBacker. Nous commencerons à un niveau d’abstraction qui est facilement compréhensible – tout en étant suffisamment séparé logiquement de notre résultat – de sorte que nous serons toujours en mesure de voir directement comment nos hypothèses de base peuvent être utilisées pour formaliser la conclusion apparemment simple que nous recherchons. De plus, nos hypothèses de base seront les mêmes que celles utilisées par les spécialistes de l’algèbre moderne et de l’analyse réelle – je dirais donc que nous sommes justifiés de choisir cet endroit comme point de départ.
Notre « hypothèse minimale » est que les nombres réels satisfont aux propriétés ci-dessous, où aaa, bbb et ccc sont des nombres réels arbitraires. Le terme couramment utilisé par la communauté mathématique pour désigner chaque propriété est indiqué entre parenthèses à côté de chacune d’elles.
- a+ba + ba+b est un nombre réel (c’est-à-dire que l’addition de deux nombres réels donne un autre nombre réel). l’addition de deux nombres réels donne un autre nombre réel, également connu sous le nom de « fermeture sous l’addition »)
- a×ba \times ba×b est un nombre réel (« fermeture sous la multiplication »)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (i.c’est-à-dire que nous pouvons intervertir l’ordre des additions, connu sous le nom de « commutativité de l’addition »)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (c’est-à-dire. on peut additionner dans n’importe quel ordre, connu sous le nom d' »associativité de l’addition »)
- Il existe un nombre réel 000 tel que a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 est un « élément d’identité additif »)
- Il existe un nombre réel xxx tel que a+0=a+0=a. existe un nombre réel xxx tel que a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx est un « élément inverse additif »)
- a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a (« commutativité de la multiplication »)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c) (« associativité de la multiplication »)
- Il existe un nombre réel 111 tel que a×b=b×aa. existe un nombre réel 111 tel que a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 est une « identité multiplicative »)
- Il existe un nombre réel yyy tel que a×y=1a \times y = 1a×y=1, lorsque aaa n’est pas nul (yyy est un « inverse multiplicatif »)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c (« distributivité »)
- 1≠01 \neq 01=0
- Les nombres réels sont séparés en sous-ensembles positifs et négatifs
- Ajouter et multiplier des nombres positifs (i.e. nombres supérieurs à 000) ensemble donne un nombre positif
- Chaque nombre réel aaa est soit positif (a>0a > 0a>0), négatif (a<0a < 0a<0), ou zéro lui-même (a=0a = 0a=0)
.
Pour l’instant, nous pouvons introduire quelques valeurs pour aaa, bbb et ccc pour avoir une intuition sur la raison pour laquelle chacune de ces propriétés est valable. Encore une fois, il existe des moyens de prouver que les nombres réels satisfont toutes les propriétés ci-dessus en utilisant les outils de l’algèbre moderne, mais sans ce contexte, ce que nous avons ci-dessus est un point de départ très accessible.
De plus, nous n’aurons pas besoin d’utiliser toutes les propriétés données ci-dessus dans notre preuve, mais je les ai toutes listées ici parce qu’une collection (potentiellement infinie) de nombres qui satisfont les douze premières propriétés a un nom spécial parmi les mathématiciens – un « champ ». Si cette collection de nombres satisfait également aux trois dernières propriétés, on l’appelle un « champ ordonné ». Essentiellement, notre hypothèse est que les nombres réels forment un champ ordonné.
La preuve
Pour commencer notre preuve, nous supposons notre axiome – que les nombres réels forment un champ ordonné, et par conséquent remplissent les quinze propriétés ci-dessus.
Pour commencer, par les propriétés (5) et (9) ci-dessus, nous savons que les nombres réels 000 et 111 existent. Par la propriété (15), nous savons que 111 est soit positif, soit négatif, soit nul. Par la propriété (12), nous savons que 1≠01 \neq 01=0. Cela laisse deux possibilités : soit 111 est positif, et 1>01 > 01>0 ; soit 111 est négatif, et 1<01 < 01<0.
Nous procédons maintenant par une technique connue sous le nom de « preuve par contradiction ». Essentiellement, nous supposons que quelque chose que nous voulons montrer comme étant faux est vrai, et nous utilisons la vérité supposée pour prouver quelque chose que nous savons avec certitude être faux. La conséquence logique de ce genre de manœuvre est qu’il doit être impossible que la chose que nous avons supposée vraie soit effectivement vraie, car elle a conduit à une impossibilité. Par conséquent, elle doit être fausse.
Si nous avons quelques possibilités à choisir, dont l’une doit être vraie, cette tactique est un bon moyen d’éliminer les choix impossibles et de réduire la portée de ce qu’est la véritable possibilité.
Si la preuve par contradiction semble compliquée, elle l’est – mais c’est aussi un outil mathématique essentiel. Parfois, la complexité de prouver quelque chose directement – sans contradiction – rend le problème suffisamment difficile pour qu’il puisse en fait être plus facile de montrer que les possibilités alternatives ne peuvent tout simplement pas être vraies.
Posons que 1<01 < 01<0 – que 111 est négatif – et montrons que cela conduit à une impossibilité. Une impossibilité potentielle que nous pourrions démontrer est que cette hypothèse implique que 1≥01 \geq 01≥0, car par la propriété (15), 111 ne peut pas être à la fois inférieur à zéro et supérieur ou égal à zéro en même temps.
Par la propriété (6), il existe un nombre réel xxx tel que 1+x=01 + x = 01+x=0.
On peut ajouter xxx aux deux côtés pour obtenir 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Puisque la propriété (5) nous dit que 0+x=x0 + x = x0+x=x, on peut simplifier l’inégalité en 0<x0 < x0<x.
Nous ne pouvons pas encore dire que xxx doit être -1-1-1, cependant – la propriété (6) dit seulement qu’il existe un nombre réel xxx. Nous devons le prouver.
Un lemme est une vérité intermédiaire que nous pouvons utiliser pour démontrer la preuve d’un résultat plus important. Le fait que quelque chose soit appelé un théorème ou un lemme n’est pas nécessairement bien défini, mais en général les lemmes nous « aident » à prouver ce que nous voulons vraiment.
Lemme : les éléments inverses additifs sont uniques
Dans notre cas, pour prouver que le xxx de la propriété (6) est unique – plus précisément, qu’il n’existe qu’un seul nombre réel xxx tel que 1+x=01 + x = 01+x=0 (et par conséquent, ce nombre réel xxx doit être -1-1-1), nous pouvons à nouveau procéder par contradiction.
Supposons qu’il existe un autre nombre réel zzz, où z≠xz \neq xz=x, tel que 1+z=01 + z = 01+z=0. Considérons maintenant l’expression x+1+zx + 1 + zx+1+z. Comme l’égalité est réflexive – c’est-à-dire que a=aa = aa=a pour tout aaa – on sait que x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Par la propriété (4), l’associativité de l’addition, on peut regrouper les termes sous la forme (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Par la propriété (3), commutativité de l’addition, on peut réarranger la première quantité pour obtenir (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Puisque 1+x1 + x1+x et 1+z1 + z1+z sont tous deux égaux à zéro, on a 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, et par la propriété (5), l’élément d’identité additif, z=xz = xz=x. Cependant, nous avons supposé que z≠xz \neq xz=x, donc nous avons une contradiction!
Donc, il ne peut exister qu’un seul nombre réel xxx tel que 1+x=01 + x = 01+x=0. Si nous remplaçons chaque instance de 111 dans les lignes ci-dessus par un nombre réel arbitraire aaa, ce lemme démontre que pour tout nombre réel aaa, il existe un unique xxx tel que a+x=0a + x = 0a+x=0. Puisque ce xxx est unique, nous pouvons sans risque donner à ce xxx un nom unique, -a-a-a, résultant dans la notion familière des négatifs, où a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. Dans notre cas spécifique, cela montre que xxx doit être égal à -1-1-1.
Lemme : les signes négatifs « s’annulent »
En appliquant les résultats du lemme ci-dessus, notre inégalité de tout à l’heure, 0<x0 < x0<x, devient 0<-10 < -10<-1.
Par la propriété (14), le produit de nombres positifs est positif, donc 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Nous ne pouvons pas encore dire que » deux négatifs s’annulent « , cependant – aucun des axiomes ne l’implique ! Nous devons prouver que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Nous aurons besoin d’un autre lemme.
Dans le cas général, pour tout nombre réel aaa, nous devons montrer que (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. La propriété (6) – l’hypothèse que chaque élément a un inverse additif – traite des signes négatifs, et pourrait fournir une avenue intéressante pour le démontrer.
Si vous sentez que vous avez le coup de main, n’hésitez pas à vous arrêter ici et à essayer d’utiliser les axiomes pour prouver certains des résultats intermédiaires par vous-même. Si vous êtes bloqué, vous pouvez toujours faire défiler vers le bas!
Puisque les inverses additifs sont uniques, nous savons qu’il existe un nombre réel unique -a2-a^2-a2 tel que a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Par la propriété (3), la commutativité de l’addition, on a -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Le lemme précédent nous disait que si -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, alors xxx est unique, donc si nous avons une expression de la forme -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, nous devons avoir x=a2x = a^2x=a2. Ainsi, si nous pouvons montrer que -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, nous saurons avec certitude que (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Travaillons avec l’expression -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Nous devons d’une manière ou d’une autre diviser -a2-a^2-a2 en ses termes constitutifs pour le factoriser, donc nous avons besoin encore d’un autre lemme – pour prouver que -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemme : le produit du négatif et du positif est négatif
Pour ce lemme, nous allons adopter une approche similaire à celle que nous avons commencée plus haut, en utilisant l’unicité des inverses additifs pour montrer qu’un produit doit être égal à un autre produit. Puisque -a2-a^2-a2 est l’unique inverse additif de a2a^2a2, si nous montrons que a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, alors (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Notez que a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), donc par la propriété (7), la commutativité de la multiplication, on a a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Par la propriété (11), on peut factoriser a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) en a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Par la propriété (6), a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, on a donc a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
On aurait fini si a0=0a0 = 0a0=0, mais on ne l’a pas encore prouvé !
Lemme : le produit avec 0 est 0
Par la propriété (5), 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Ainsi, on peut écrire a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Par la propriété (11), cela se distribue en a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Par la propriété (6), il existe un unique inverse additif -a0-a0-a0 de a0a0a0, nous pouvons donc l’ajouter aux deux côtés de notre équation pour obtenir a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Simplifiant, on obtient 0=a00 = a00=a0.
Mettre tout ça ensemble
Avec cela, on peut conclure que a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, donc (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
En intégrant cela dans le lemme précédent, on a -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Par la propriété (11), on peut alors factoriser cette expression en -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Par la propriété (6), en mettant ensemble les inverses additifs, on a -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, donc -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Donc, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) est l’unique inverse additif de -a2-a^2-a2, et donc (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
En remontant tout en haut, on est parti de 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Ce dernier lemme nous dit que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Par la propriété (9), l’élément d’identité multiplicatif, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Ainsi, nous avons 0<10 < 10<1, donc 1>01 > 01>0.
C’est une contradiction, car nous avons supposé que 1<01 < 01<0 ! Par la propriété (15), tout nombre réel est soit positif, soit négatif, soit nul – aucun nombre ne peut être à la fois positif et négatif en même temps ! Ainsi, nous avons une impossibilité, et notre hypothèse initiale – 1<01 < 01<0 – ne peut pas tenir. Nous pouvons éliminer cette possibilité, ce qui ne laisse qu’un seul cas restant : 1>01 > 01>0. Puisque nous savons que chaque nombre réel doit tomber dans l’un des trois cas, et que nous en avons éliminé deux, nous devons avoir 1>01 > 01>0.
Comme Peter Thiel l’a si joliment dit, comme c’est frais et étrange.