Modélisation d’un WindkesselEdit
La physiologie du Windkessel reste une description pertinente mais datée d’un intérêt clinique important. La définition mathématique historique de la Systole et de la Diastole dans le modèle ne sont évidemment pas nouvelles, mais sont ici mises en scène de façon élémentaire à quatre degrés. En atteindre cinq serait un travail original.
Deux élémentsEdit
On suppose que le rapport de la pression au volume est constant et que le débit sortant du Windkessel est proportionnel à la pression du fluide. Le débit volumétrique entrant doit être égal à la somme du volume stocké dans l’élément capacitif et du débit volumétrique sortant par l’élément résistif. Cette relation est décrite par une équation différentielle :
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {\displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}.
I(t) est le débit volumétrique entrant dû à la pompe (cœur) et est mesuré en volume par unité de temps, tandis que P(t) est la pression par rapport au temps mesurée en force par unité de surface, C est le rapport entre le volume et la pression pour la soufflerie, et R est la résistance reliant l’écoulement à la pression du fluide. Ce modèle est identique à la relation entre le courant, I(t), et le potentiel électrique, P(t), dans un circuit électrique équivalent au modèle Windkessel à deux éléments.
Dans la circulation sanguine, les éléments passifs du circuit sont supposés représenter les éléments du système cardiovasculaire. La résistance, R, représente la résistance périphérique totale et le condensateur, C, représente la compliance artérielle totale.
Pendant la diastole, il n’y a pas d’afflux sanguin puisque la valve aortique (ou pulmonaire) est fermée, donc la Windkessel peut être résolue pour P(t) puisque I(t) = 0:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {\displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) \over (RC)}}.
où td est le moment du début de la diastole et P(td) est la pression sanguine au début de la diastole. Ce modèle n’est qu’une approximation grossière de la circulation artérielle ; des modèles plus réalistes incorporent plus d’éléments, fournissent des estimations plus réalistes de la forme d’onde de la pression sanguine et sont discutés ci-dessous.
Trois élémentsEdit
Le Windkessel à trois éléments améliore le modèle à deux éléments en incorporant un autre élément résistif pour simuler la résistance au flux sanguin due à la résistance caractéristique de l’aorte (ou de l’artère pulmonaire). L’équation différentielle pour le modèle à 3 éléments est :
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
où R1 représente la résistance caractéristique (on suppose qu’elle est équivalente à l’impédance caractéristique), tandis que R2 représente la résistance périphérique. Ce modèle est largement utilisé comme un modèle acceptable de la circulation. Par exemple, il a été employé pour évaluer la pression sanguine et le débit dans l’aorte d’un embryon de poussin et dans l’artère pulmonaire d’un porc, ainsi que pour servir de base à la construction de modèles physiques de la circulation fournissant des charges réalistes pour des études expérimentales de cœurs isolés.
Modèle à quatre éléments
Le modèle à trois éléments surestime la compliance et sous-estime l’impédance caractéristique de la circulation. Le modèle à quatre éléments comprend une inductance, L, dont les unités sont la masse par longueur, ( M l 4 {\displaystyle {M \over l^{4}}}.
), dans le composant proximal du circuit pour tenir compte de l’inertie du flux sanguin. Cet élément est négligé dans les modèles à deux et trois éléments. L’équation pertinente est la suivante :
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+(R_{1}C+{L \over R_{2}}){dI(t) \over dt}+LC{d^{2}I(t) \over dt^{2}}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
