L’équation de Stokes-Einstein est l’équation dérivée pour la première fois par Einstein dans sa thèse de doctorat pour le coefficient de diffusion d’une particule « Stokes » subissant un mouvement brownien dans un fluide quiescent à température uniforme. Le résultat a été publié dans l’article classique d’Einstein (1905) sur la théorie du mouvement brownien (il a également été dérivé simultanément par Sutherland (1905) en utilisant un argument identique). Le résultat d’Einstein pour le coefficient de diffusion D d’une particule sphérique de rayon a dans un fluide de viscosité dynamique h à la température absolue T est:
où
est la constante des gaz et NA est le nombre d’Avogadro. La formule est historiquement importante car elle a été utilisée pour effectuer la première mesure absolue de NA, confirmant ainsi la théorie moléculaire. Bien que la formule puisse être dérivée alternativement en utilisant l’équation de Langevin du mouvement d’une particule brownienne, la dérivation d’Einstein est puissante et ingénieuse, correcte même lorsque l’équation de Langevin n’est qu’approximative. Einstein a supposé que la loi de van’t Hoff pour la pression osmotique exercée par les molécules de soluté dans un fluide solvant à l’équilibre était également applicable à la pression p associée à une suspension de particules browniennes à l’équilibre dans le même fluide, c’est-à-dire,
où nM est le nombre de grammes-moles de fluide par unité de volume et f la » fraction molaire » définie ici comme le rapport entre le nombre de particules et le nombre de molécules de fluide. Einstein a ensuite affirmé qu’une suspension de particules browniennes à l’équilibre sous l’effet de leur propre poids pouvait être considérée de deux façons, toutes deux équivalentes : un équilibre entre le poids net des particules et le gradient de la pression des particules dans la direction de la gravité ; ou un équilibre entre le flux de diffusion et le flux de sédimentation dû à la gravité. En utilisant la formule de la traînée de Stokes pour la vitesse de sédimentation (voir la loi de Stokes) et la formule pour p ci-dessus, on obtient la formule pour D donnée ci-dessus. Un argument similaire permet de déduire une forme pour la pression des particules dans un gaz turbulent connaissant la forme du coefficient de diffusion turbulent des particules (voir Transport des particules dans les fluides turbulents).