La technique de rétroprojection filtrée est l’une des techniques algorithmiques les plus établies pour ce problème. Elle est conceptuellement simple, accordable et déterministe. Elle est également peu exigeante en termes de calcul, les scanners modernes ne nécessitant que quelques millisecondes par image.Cependant, ce n’est pas la seule technique disponible : le scanner EMI original a résolu le problème de la reconstruction tomographique par algèbre linéaire, mais cette approche était limitée par sa grande complexité de calcul, surtout compte tenu de la technologie informatique disponible à l’époque. Plus récemment, les fabricants ont développé des techniques itératives de maximisation de l’espérance du maximum de vraisemblance basées sur le modèle physique. Ces techniques sont avantageuses parce qu’elles utilisent un modèle interne des propriétés physiques du scanner et des lois physiques des interactions entre les rayons X. Les méthodes antérieures, telles que le filtrage et le filtrage de l’image, ont été mises au point par les fabricants. Les méthodes antérieures, telles que la rétroprojection filtrée, supposent un scanner parfait et une physique très simplifiée, ce qui entraîne un certain nombre d’artefacts, un bruit élevé et une résolution d’image réduite. Les techniques itératives fournissent des images avec une meilleure résolution, un bruit réduit et moins d’artefacts, ainsi que la possibilité de réduire considérablement la dose de rayonnement dans certaines circonstances. L’inconvénient est un besoin de calcul très élevé, mais les progrès de la technologie informatique et des techniques de calcul à haute performance, comme l’utilisation d’algorithmes GPU hautement parallèles ou l’utilisation de matériel spécialisé comme les FPGA ou les ASIC, permettent maintenant une utilisation pratique.
Principe de baseEdit
Dans cette section, le principe de base de la tomographie dans le cas qui utilise particulièrement la tomographie utilisant le système optique d’irradiation à faisceau parallèle sera expliqué.
La tomographie est une technologie qui utilise un système optique tomographique pour obtenir des « tranches » virtuelles (une image tomographique) de la section transversale spécifique d’un objet scanné, permettant à l’utilisateur de voir à l’intérieur de l’objet sans couper. Il existe plusieurs types de systèmes optiques tomographiques, dont le système optique d’irradiation à faisceau parallèle. Le système optique d’irradiation par faisceau parallèle est peut-être l’exemple le plus simple et le plus pratique de système optique tomographique ; c’est pourquoi, dans cet article, l’explication de « Comment obtenir l’image tomographique » sera basée sur « le système optique d’irradiation par faisceau parallèle ». La résolution en tomographie est typiquement décrite par le critère de Crowther.
La figure 3 est destinée à illustrer le modèle mathématique et à illustrer le principe de la tomographie. Dans la Fig.3, le coefficient d’absorption à une coordonnée transversale (x, y) du sujet est modélisé par μ(x, y). Une réflexion basée sur les hypothèses ci-dessus peut clarifier les points suivants. Par conséquent, dans cette section, l’explication est avancée selon l’ordre suivant :
- (1)Les résultats de la mesure, c’est-à-dire une série d’images obtenues par lumière transmise sont exprimés (modélisés) comme une fonction p (s,θ) obtenue en effectuant une transformée de radon à μ(x, y), et
- (2)μ(x, y) est restauré en effectuant une transformée de radon inverse aux résultats de la mesure.
(1)Les résultats de la mesure p(s,θ) du système optique d’irradiation à faisceau parallèleEdit
Considère le modèle mathématique tel que le coefficient d’absorption de l’objet à chaque (x,y) sont représentés par μ(x,y) et on suppose que « le faisceau de transmission pénètre sans diffraction, diffusion ou réflexion bien qu’il soit absorbé par l’objet et son atténuation est supposée se produire conformément à la loi de Beer-Lambert ».Dans cette affaire, ce que nous voulons savoir » est μ(x,y) et ce que nous pouvons mesurer sera suivant p(s,θ).
Lorsque l’atténuation est conforme à la loi de Beer-Lambert, la relation entre I 0 {\displaystyle {I}_{0}}.
et I {\displaystyle I}
est comme suit (eq.1) et donc, l’absorbance ( p l {\displaystyle p_{l}}
) le long du trajet du faisceau lumineux (l(t)) est comme suit (eq.2). Ici, le I 0 {\displaystyle {I}_{0}}
est l’intensité du faisceau lumineux avant transmission I {\displaystyle I}
est l’intensité du faisceau après transmission. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)}
(eq. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}
(eq. 2)
Ici, une direction allant de la source lumineuse vers l’écran est définie comme la direction t et celle perpendiculaire à la direction t et parallèle à l’écran est définie comme la direction s. (Les deux systèmes de coordonnées t-s et x-y sont établis de telle sorte qu’ils se reflètent l’un l’autre sans transformation par réflexion sur un miroir.)
En utilisant un système optique d’irradiation à faisceau parallèle, on peut obtenir expérimentalement la série d’images fluoroscopiques (une image unidimensionnelle » pθ(s) de la section transversale spécifique d’un objet balayé) pour chaque θ. Ici, θ représente l’angle entre l’objet et le faisceau lumineux de transmission. Dans la Fig.3, le plan X-Y tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour du point d’origine dans le plan de manière à « conserver une relation de position mutuelle entre la source de lumière (2) et l’écran (7) en passant par la trajectoire (5). » L’angle de rotation de ce cas est le même que le θ mentionné ci-dessus.
Le faisceau ayant un angle θ,to sera la collection de lays, représentée par l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}.
de ce qui suit (eq. 3). l ( t ) = t + {\displaystyle {l}_{}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\\\\\cos \theta \\\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}
(eq. 3)
Le pθ(s) est défini par la suite (eq. 4). Que p θ ( s ) {\displaystyle p_{\theta }(s)}
est égal à l’intégrale linéaire de μ(x,y) le long de l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
de (éq. 3) de la même manière que (éq.2). Cela signifie que, p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
de la suite (eq. 5) est une résultante de la transformation de Radon de μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p_{\theta }(s)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}
(eq. 4)
On peut définir la fonction suivante de deux variables (eq. 5). Dans cet article, la suite p(s, θ) est appelée « la collection d’images fluoroscopiques ».
p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) est restauré en effectuant une transformation de radon inverse aux résultats de mesureEdit
« Ce que nous voulons savoir (μ(x,y)) » peut être reconstruit à partir de « Ce que nous avons mesuré ( p(s,θ)) » en utilisant la transformation de radon inverse.Dans les descriptions susmentionnées, « Ce que nous avons mesuré » est p(s,θ) . D’autre part, « Ce que nous voulons savoir » est μ(x,y). Donc, la suite sera « Comment reconstruire μ(x,y) à partir de p(s,θ) ».