PRESENTATIONS TECHNIQUES
Identification des parametres de flottement pour un modele d’aile
Carlos De Marqui JuniorI ; Daniela C. RebolhoII ; Eduardo M. BeloIII ; Flávio D. MarquesIV
École d’ingénierie de Sao Carlos ; Université de Sao Paulo ; Laboratoire d’aéroélasticité ; dynamique de vol et contrôle ; Av. Trabalhador Sancarlense 400 ; 13566- 590 Sao Carlos, SP. Brésil ; [email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
ABSTRACT
Un système de montage flexible a été développé pour les essais de flottement avec des ailes rigides en soufflerie. Le flutter à deux degrés de liberté obtenu avec ce système expérimental peut être décrit comme la combinaison des modes de vibration de flexion et de torsion de la structure. Des schémas de contrôle actif pour la suppression des vibrations aéroélastiques, utilisant un volet de bord de fuite comme actionneur, peuvent être testés à l’aide de ce dispositif expérimental. Avant de développer le schéma de contrôle, les caractéristiques dynamiques et aéroélastiques du système doivent être étudiées. Une analyse modale expérimentale est effectuée et la forme et les fréquences des modes sont déterminées. Ensuite, des essais en soufflerie sont effectués pour caractériser le phénomène de flottement, en déterminant la vitesse et la fréquence critiques de flottement. Des fonctions de réponse en fréquence sont également obtenues pour la gamme des vitesses inférieures à la vitesse critique, montrant l’évolution des modes de tangage et de plongée et la tendance au couplage avec l’augmentation de la vitesse. Les données de tangage et de plongée obtenues dans le domaine temporel au cours de ces essais sont utilisées pour évaluer la capacité de l’algorithme de réalisation de l’Eigensystem étendu à identifier le paramètre de flottement avec une vitesse croissante. Les résultats du processus d’identification sont démontrés en termes d’évolution de la fréquence et de l’amortissement des modes impliqués dans le flutter.
Mots-clés : Identification, flutter, EERA, aéroélasticité
Introduction
Les phénomènes aéroélastiques résultent de l’interaction des charges élastiques, inertielles et aérodynamiques sur les structures aéronautiques. Lorsque des corps élastiques sont exposés à un courant d’air, les déformations structurelles induisent des forces aérodynamiques supplémentaires et ces forces produisent des déformations structurelles supplémentaires, qui vont à nouveau induire des forces aérodynamiques plus importantes. Cette interaction peut conduire à des instabilités aéroélastiques telles que le flutter, voir par exemple Försching (1979). Après la seconde guerre mondiale, l’augmentation de la vitesse de vol et les modifications structurelles ont rendu les problèmes aéroélastiques plus importants. Les changements et l’évolution historique de l’aéroélasticité à travers l’histoire sont décrits dans Ashley (1970), Collar (1959), Garrick et Reed (1981), et Garrick (1976).
Le flutter est l’un des sujets les plus représentatifs de l’aéroélasticité. Le flutter est un phénomène complexe où les modes structurels sont simultanément couplés et excités par les charges aérodynamiques. De manière plus formelle, le flutter est la condition dans laquelle un composant d’aéronef présente un comportement oscillatoire auto-entretenu à des vitesses supérieures à la vitesse critique (Wright, 1991). En général, le flutter se produit sur les surfaces portantes soumises à de grandes charges aérodynamiques, comme les ailes et les queues.
Les essais de flutter en vol (Kehoe, 1995) constituent une partie très importante de la certification d’un avion. Au cours de ces tests longs et coûteux, l’enveloppe de vol doit être étendue en toute sécurité afin de montrer que l’avion est exempt de flottement dans toutes les conditions souhaitées. La procédure se compose de trois étapes (Cooper et Crowther, 1999):
- L’avion est excité d’une certaine manière et les réponses sont mesurées à une certaine vitesse;
- Les paramètres de flottement sont estimés en utilisant des méthodes d’identification du système;
- Une décision est prise de passer ou non au point d’essai en vol suivant.
La tâche principale de ces essais en vol est de prédire la stabilité à la vitesse d’essai suivante avec confiance, permise par l’estimation des paramètres aéroélastiques (étape deux). Le développement de méthodes permettant de prédire avec précision la vitesse liée à l’apparition du flutter à partir des données d’essai mesurées, ou toute autre instabilité aéroélastique, est un moyen important d’augmenter la sécurité et même de réduire les coûts de ces essais (Lind, 2003). Plusieurs méthodes ont été développées afin d’atteindre cet objectif. En général, ces méthodes sont développées et testées en utilisant des données provenant de simulations, mais des évaluations qui incluent des données provenant d’essais en vol doivent être faites avant qu’une approche puisse être utilisée de manière fiable pour une expansion d’enveloppe.
Certaines méthodes se sont avérées être théoriquement valides pour prédire les vitesses de flutter, par exemple, celles sur l’extrapolation des tendances d’amortissement telles que décrites par Kehoe (1995). La fonction d’enveloppe développée par Cooper ; Emmett et Wright (1993) est une autre méthode. Cette fonction est basée sur l’hypothèse que la fonction de réponse impulsionnelle contient des informations sur la stabilité globale du système. De même, un modèle de moyenne mobile autorégressive en temps discret (ARMA) utilise le critère de stabilité du jury et prend également en compte la stabilité globale du système (Torii et Matsuzaki, 2001). Une autre méthode est celle de la marge de flottement de Zimmerman-Weissenburger, où le critère de stabilité de Routh doit être utilisé au lieu d’un suivi de l’amortissement (Zimmerman et Weissenburger, 1964). Le flutteromètre est un outil en ligne basé sur un modèle utilisé pour prédire les marges de flottement, développé par Lind et Brenner (2000). Cet outil utilise des données expérimentales et des modèles théoriques pour prédire le début du flutter.
La capacité des méthodes susmentionnées à prédire les paramètres de flutter à partir d’essais en vol est évaluée par Lind (2003). Les essais en vol ont été réalisés en utilisant un F-15 comme porteur hôte d’une aile d’essai d’aérostructure (ATW). Cette aile n’est pas un avion complet, mais elle est réaliste et son enveloppe peut être étendue pendant les essais en vol jusqu’à ce que sa vitesse de battement soit atteinte. La vitesse de flottement réelle étant connue, elle peut être utilisée pour évaluer les vitesses de flottement prévues. Les résultats obtenus à partir de ces évaluations indiquent les forces et les faiblesses de chaque méthode dans différentes conditions. Par exemple, les méthodes basées sur les données sont incapables de prédire la vitesse de flottement avec précision en utilisant les données d’essais à basse vitesse, mais convergent vers une bonne solution lorsque la vitesse est augmentée. Cependant, le flutteromètre basé sur un modèle est conservateur en utilisant les données des essais à basse vitesse, mais les prédictions restent conservatrices et ne convergent pas vers la véritable vitesse de flottement en utilisant les données des essais à haute vitesse. Ces faits suggèrent qu’un programme d’essais en vol plus efficace pour l’expansion de l’enveloppe pourrait être formulé avec la combinaison de diverses approches d’identification.
Dans cet article, une approche basée sur l’identification des paramètres de flottement, à savoir la fréquence et l’amortissement, à l’aide de l’algorithme de réalisation d’un système propre étendu (EERA) est présentée. L’identification de ces paramètres de flottement est effectuée en analysant les données des essais en soufflerie. Les essais en soufflerie sont réalisés avec un système de montage flexible conçu pour obtenir des vibrations à deux degrés de liberté lorsqu’il est associé à un modèle d’aile rigide. Les caractéristiques de décollage et les caractéristiques aéroélastiques de ce système expérimental ont été largement déterminées par des simulations par éléments finis, des analyses modales expérimentales et des essais en soufflerie (De Marqui Jr et al., 2004). Ainsi, ce système expérimental bien connu peut être utilisé pour prédire la vitesse de flottement à l’aide de la méthode EERA.
La méthode EERA est une forme modifiée d’un algorithme de réalisation de système propre (ERA), qui est un algorithme de domaine temporel qui peut indentifier les modes simultanément (Juang, 1994). L’EERA calcule les paramètres modaux en manipulant les matrices de Hankel en bloc à partir des historiques temporels d’entrée et de sortie (Tasker ; Bosse et Fisher, 1998). Le développement de ces méthodes d’identification du sous-espace est motivé par les difficultés d’estimation des paramètres modaux des systèmes vibratoires à entrées et sorties multiples. Au cours des dernières années, les méthodes subspatiales ont attiré l’attention dans le domaine de l’identification des systèmes, car elles sont essentiellement non itératives et rapides (Favoreel et al., 1999). Par conséquent, aucun problème de convergence ne se pose et comme les méthodes du sous-espace sont uniquement basées sur des techniques stables d’algèbre linéaire, elles sont également numériquement robustes. Ces méthodes réalisent un filtrage substantiel des données en utilisant la décomposition en valeurs propres ou en valeurs singulières et sont particulièrement efficaces lorsqu’il y a des modes étroitement espacés. En substance, les données sont séparées en sous-espaces orthogonaux de signal et de nullité, l’un ou l’autre pouvant être utilisé pour estimer les paramètres modaux (Tasker ; Bosse et Fisher, 1998).
Nomenclature
m = nombre de sorties
n = degré de liberté
r = nombre d’excitations externes
k = instant d’échantillonnage
M = nombre d’échantillons dans une fenêtre temporelle
N = nombre d’échantillons dans une fenêtre temporelle. temporelle
u(k) = vecteur d’entrée
x(k) = vecteur d’état
y(k) = vecteur de réponse
Ad = matrice du système
Bd = matrice d’entrée
Cd = matrice de sortie
Dd = matrice de transmission directe
G = matrice Toeplitz à blocs
I = matrice d’identité
R = matrice des vecteurs singuliers gauches
S = matrice des vecteurs singuliers droits
U = matrices de Hankel en bloc des entrées
X = matrice de la séquence d’état
Y = matrices de Hankel en bloc de sorties
0 = matrice nulle
Symboles grecs
G = matrice d’observabilité étendue
å = matrice des valeurs singulières
Sous-écrits
s décalés
2n premières 2n colonnes
Superscripts
-1 inverse
T transposé
^ orthogonal
pseudo-inverse
Modèle physique
Le modèle physique est une aile rectangulaire rigide avec une section de profil aérodynamique NACA 0012 associée à un système de montage flexible. Le système de montage flexible fournit un système dynamique bien défini à deux degrés de liberté dans lequel l’aile rigide rencontrera des battements. La figure 1 présente des vues latérales et en perspective du système de montage pour le flottement. Le système de montage de flutter consiste en une plaque mobile supportée par un système de quatre tiges circulaires et une jambe de force centrée à plaque plate, similaire au système développé dans Dansberry et al. (1993).
Les tiges et la plaque plate fournissent les contraintes élastiques et le modèle d’aile rigide fixé dans la plaque mobile oscillera dans un mode à deux degrés de liberté, c’est-à-dire en tangage et en plongée, lorsque le flutter est rencontré. Les tiges, la plaque plane et la plaque mobile sont en acier et toutes les connexions sont à extrémité fixe. Le modèle d’aile et la plaque mobile sont en aluminium et le volet de bord de fuite est en résine ABS. Leurs dimensions sont les suivantes : tiges de 0,0055 m de diamètre, plaque mobile de 0,6 ‘ 0,3 m, plaque plane de 0,7 ‘ 0,1 ‘ 0,002 m et modèle d’aile de 0,8 ‘ 0,45 m. Le volet de bord de fuite représente de 37,5 % à 62.5 % de l’envergure et sa corde est de 35 % de la corde de l’aile complète.
Les caractéristiques d’envol du système de montage des flotteurs sont fortement influencées par les dimensions de la jambe de force à plat, des tiges et de la masse de la plaque mobile et du modèle d’aile. Les modifications de la longueur et de la section transversale de l’étai plat et des tiges modifient les fréquences et les formes de mode du système de montage souple. Des poids peuvent être ajoutés pour découpler les modes de tangage et de plongée en déplaçant le centre de gravité du modèle de montage flexible et d’aile vers l’axe élastique du système. L’axe élastique du système est situé dans l’axe vertical de l’étai de la plaque plate et au centre de la plaque mobile. Les quatre tiges assurent également un déplacement parallèle en tangage et en plongée par rapport à la paroi de la soufflerie.
Pour concevoir le système flexible, un modèle d’éléments finis a été développé à l’aide du logiciel Ansysâ. Deux types d’éléments ont été utilisés : Poutre 4 et Coquille 63, pour les tiges et l’étai plat, respectivement. La condition de limite en porte-à-faux a été adoptée pour le système de montage flexible à la base des tiges et de l’entretoise plate. Les dimensions et les caractéristiques dynamiques du système expérimental obtenues à partir de la FEM ont été modifiées jusqu’à ce que le comportement aéroélastique de ce système puisse être adapté à la soufflerie disponible. Le comportement aéroélastique de ce système a été simulé avec un modèle mathématique décrit dans De Marqui Jr, Belo et Marques (2005).
Après la conception et la construction de l’appareil expérimental, une analyse modale expérimentale a été effectuée pour vérifier les fréquences et les modes naturels avant tout essai de flottement en soufflerie. Dans cet essai, les fréquences inférieures à 25 Hz ont été étudiées et la gouverne de l’aile a été verrouillée. Les points de mesure sont situés au niveau de la contrefiche plate, car elle fournit les contraintes élastiques au système. L’algorithme de réalisation des systèmes propres (ERA) modifié par Tsunaki (1999) est utilisé pour identifier les formes et les fréquences des modes à partir des données expérimentales. Les fréquences naturelles les plus significatives sont listées dans le Tab. 1. Les modes des tiges et des cordes n’ont pas été étudiés dans cette analyse modale.
Le tableau 1 montre les premiers modes de flexion et de torsion bien définis et il montre également le troisième mode plus élevé que ceux-ci. Théoriquement, cette condition assure un système à deux degrés de liberté pendant les essais en soufflerie, les modes supérieurs ne seront pas excités de manière significative pendant les essais en soufflerie (Dansberry et al., 1993). Des détails sur la procédure de conception du système de montage flexible et plus de résultats peuvent être trouvés dans De Marqui Jr et al. (2004).
L’analyse modale ne prend en compte que les aspects structurels du problème de flottement. Il est évident que l’interaction de ces caractéristiques avec les caractéristiques aérodynamiques doit être prise en compte dans l’analyse du flutter. Les forces et les moments aérodynamiques, la portance et le moment de tangage dans le cas de cette étude, vont exciter les modes impliqués dans le flutter classique de flexion-torsion. Par conséquent, les caractéristiques élastiques de la structure et les charges de rappel aérodynamiques résultantes, responsables de l’amortissement aérodynamique en l’absence de frottement mécanique et causées par le courant ascendant induit par les tourbillons de sillage, vont réagir et dissiper de l’énergie dans le courant d’air. Lorsque la vitesse critique est atteinte, l’amortissement aérodynamique disparaît car les forces de rappel aérodynamiques perdent leurs caractéristiques dissipatives et le comportement oscillatoire auto-entretenu est vérifié.
Le système expérimental, aile associée au système de montage, est instrumenté avec deux jauges de contrainte et trois accéléromètres, comme on peut le voir sur la Fig 1. Un accéléromètre (Kistler KBeam 8303A10M4) est placé dans la ligne centrale de la jambe de force à plaque plate, mesurant l’accélération du plongeon. Les deux autres accéléromètres (Kistler KBeam 8304B10) sont installés dans la plaque mobile. Les signaux mesurés avec ces accéléromètres sont utilisés pour calculer l’accélération de tangage.
Les jauges de contrainte sont situées dans l’axe de l’entretoise de la plaque plane dans une position de déformation maximale déterminée à partir des analyses par éléments finis. Une jauge de contrainte (Kiowa KFG-5120C123) est calibrée pour mesurer les déplacements en plongée et l’autre (Kiowa KFC-2D211) est calibrée pour mesurer les angles de tangage.
Un moteur électrique sans balai (Thompson BLD2315B10200) installé dans la surface inférieure de la plaque mobile (cf. figure 1) est utilisé pour entraîner le volet de bord de fuite. Le volet est relié au moteur par un arbre. Le moteur électrique est équipé d’un codeur qui sert à mesurer la position angulaire réelle du volet. Un contrôleur PID a été réglé pour assurer le contrôle correct de la position du volet de bord de fuite par le moteur.
Algorithme étendu de réalisation d’un système propre – EERA
Tout système dynamique linéaire invariant dans le temps avec n degrés de liberté peut être modélisé par les équations d’espace d’état en temps discret suivantes :
où x(k) est le vecteur d’état à 2n dimensions au kième instant d’échantillonnage, u(k) est le vecteur d’entrée à r dimensions, r est le nombre d’excitations externes, y(k) est le vecteur de réponse à m dimensions, m est le nombre de sortie ou de réponse du système, Ad est la matrice du système 2n ‘ 2n, Bd est la matrice d’entrée 2n ‘ r, Cd est la matrice de sortie m ‘ 2n, et Dd est la matrice de transmission directe m ‘ r.
La procédure d’identification utilisant l’EERA consiste à déterminer la matrice système Ad à partir de l’historique des entrées et des sorties. Les caractéristiques liées au flottement, à savoir les fréquences et l’amortissement, peuvent être estimées à l’aide de la matrice système Ad. L’identification de la matrice système Ad à l’aide de la méthode EERA est décrite par la procédure suivante basée sur la théorie présentée par Tasker ; Bosse et Fischer (1998).
Les matrices de Hankel en bloc des entrées (U) et des sorties (Y) peuvent être obtenues directement à partir du temps des entrées et des sorties (Overschee et De Moor, 1996)
où, M et N sont le nombre d’échantillons dans une fenêtre temporelle qui sera utilisée pendant le processus d’identification.
On peut vérifier que les matrices de Hankel en bloc des sorties sont représentées comme décrit dans Verhaegen et Dewilde (1992),
où G est une matrice d’observabilité étendue, Xest une matrice de la séquence d’état, et G est une matrice Toeplitz en bloc des paramètres de Markov ou de la réponse impulsionnelle, c’est-à-dire…,
Par définition, la matrice orthogonale peut être écrite comme (Van Overschee et De Moor, 1996),
Post-multipliant l’équation (3) par les termes de droite et de gauche de l’équation. (5), respectivement, et en utilisant la définition de l’orthogonalité, l’expression suivante peut être obtenue,
Application de la décomposition en valeurs singulières à :
où R (mM ‘ mM) est la matrice des vecteurs singuliers de gauche, sont les matrices des valeurs singulières correspondantes et S (N ‘ N) est la matrice des vecteurs singuliers de droite. Les colonnes de ces matrices sont orthonormées.
La pseudo-inverse de peut être obtenue à partir de l’équation.(7) étant donné :
alors que,
À ce stade, une forme décalée de la matrice de Hankel en bloc de la sortie, ou réponse, peut être introduite comme :
Les dimensions de cette nouvelle matrice sont liées à la longueur du vecteur d’historique temporel de sortie (nombre d’échantillons dans une fenêtre temporelle) qui sera utilisé pendant le processus d’identification. Cependant, cette fenêtre doit être avancée d’un ou plusieurs pas dans le temps.
De manière similaire à l’Eq. (3), il s’ensuit :
où Gs et Gs sont des versions décalées de la matrice d’observabilité étendue et de la matrice Toeplitz en bloc des paramètres de Markov, respectivement :
En suivant la même dérivation utilisée pour l’Eq. (6), il est alors possible d’obtenir :
où, le terme du côté droit de cette équation est facilement obtenu en comparant les versions originales et décalées des matrices d’observabilité, c’est-à-dire, Gs = GAd.
La matrice YsU^ de l’équation (13) peut être commodément réécrite comme,
Substituant l’équation (7) et l’équation (8) dans l’équation (14), résulte
A ce stade, un critère pour déterminer le nombre de valeurs singulières nécessaires peut être stipulé. Ce nombre peut être modifié en fonction des difficultés rencontrées dans le processus d’identification. Ce nombre va établir la dimension du modèle identifié et il doit être modifié au cours du problème d’identification. Considérant que le nombre de valeurs singulières est déterminé comme 2n, la matrice des valeurs singulières peut être représentée comme:
Les, matrices peuvent être commodément écrites comme
où, R2n contient les 2n premières colonnes de R et S2n contient les 2n premières colonnes de S.
Les matrices R2n et S2n satisfont la relation suivante:
En utilisant les relations dans Eq. (17) au problème de décomposition en valeurs singulières, il en résulte :
et, si S=S-1 (Watkins, 1991), il s’ensuit :
Considérant que
et en substituant l’équation (19) et l’équation (20) dans l’équation. (15)
où
D’après l’équation (18), il s’ensuit :
L’équation (24) peut être comparée à l’équation. (13) et, alors, la matrice du système peut être évaluée comme suit :
La matrice du système Ad est une réalisation minimale du système. La dimension de cette matrice est 2n et elle détermine aussi la dimension du système identifié. Cette réalisation peut être transformée en équations d’état en coordonnées modales et les fréquences propres et l’amortissement peuvent être obtenus en calculant les valeurs propres. L’expression ci-dessus ne diffère de l’expression de l’ERA que par la présence du terme d’entrée. Lorsque les réponses sont dues à des entrées impulsives, l’expression est identique aux expressions observées dans ERA (Juang, 1994).
Vérification expérimentale des battements
Une carte processeur dSPACE® DS 1103 est utilisée pour développer le contrôle en temps réel du volet et pour l’acquisition des données. Cette carte possède un processeur Power PC 604e de 400 MHz, des interfaces d’E/S avec 16 canaux A/D et 8 D/A et une interface d’encodeur incrémental (DSPACE®, 2001). Les signaux des accéléromètres, des ponts à jauges de contrainte et de la position du volet peuvent être acquis simultanément. Les codes de calcul pour l’acquisition des données et le traitement des signaux sont développés dans Matlab/Simulink®. Le code Simulink® est compilé dans Matlab® à l’aide du compilateur Real-Time Workshop®, ce qui donne lieu à un code C. Ce code C est téléchargé dans le système d’exploitation de l’entreprise. Ce code C est téléchargé sur la carte dSPACE® pour effectuer le traitement du signal et le contrôle des E/S.
La figure 2 montre un schéma simplifié du système d’acquisition de données. Les gains du système de calcul sont utilisés pour convertir les signaux mesurés dans les unités physiques nécessaires, mV en m/s2 ou rad/s2 pour les accéléromètres et mV en m ou rad pour les jauges de contrainte. Le codeur du moteur électrique utilisé pour entraîner le volet de bord de fuite comporte 1000 lignes. Par conséquent, une résolution de 0,36 degrés peut être obtenue dans les mesures de la position du bord de fuite. Pendant les expériences, un taux d’acquisition de 1000 échantillons par seconde est employé.
Dans le premier essai expérimental, la vérification de la vitesse critique de battement est effectuée. La vitesse en soufflerie est progressivement augmentée et les signaux de tangage et de plongée sont mesurés à l’aide du système dSPACE®. La vitesse en soufflerie est obtenue à partir des mesures de pression effectuées avec un tube de Pitot statique associé à un manomètre Betz, un baromètre et un capteur de température installés dans la chambre d’essai. Le flottement est observé à la vitesse d’écoulement critique de 25 m/s, lorsque le comportement oscillatoire est mesuré. La figure 3 présente les signaux de tangage et de plongée, respectivement, mesurés pendant les expériences.
Une des caractéristiques du phénomène de flutter est le couplage des modes impliqués dans le phénomène c’est-à-dire le tangage et la plongée dans le cas présent. Cette condition est vérifiée sur la figure 4, où les signaux du domaine temporel présentés sur la figure 3 sont présentés en fonction de leur contenu fréquentiel.
Ce test montre le comportement du système uniquement à la vitesse critique. Mais certaines caractéristiques dynamiques changent avec l’augmentation de la vitesse d’écoulement en soufflerie. Afin de vérifier ces changements, d’autres tests sont effectués. Fondamentalement, les fonctions de réponse en fréquence sont obtenues à plusieurs vitesses montrant l’évolution des premiers modes de flexion et de torsion avec l’augmentation de la vitesse. Le signal d’entrée considéré lors de ces essais est la position du bord de fuite et le signal de sortie est l’accélération mesurée dans le bord de fuite de l’aile.
A B&K analyseur de spectre numérique à double canal de type 2032 est employé pour obtenir les réponses en fréquence. Ces réponses sont obtenues à partir de la condition d’arrêt de la soufflerie jusqu’à des vitesses aussi proches que possible de la vitesse critique. Le signal d’entrée est un bruit blanc généré dans le système dSPACE® et envoyé au volet de bord de fuite. Ce signal et l’accélération sont traités dans l’analyseur de spectre. Cette procédure est répétée pour toutes les vitesses d’essai intermédiaires.
Dans la figure 5, on peut vérifier l’évolution des modes avec l’augmentation de la vitesse en soufflerie. La réponse en fréquence obtenue à la vitesse zéro présente des pics relatifs aux premiers modes de flexion et de torsion bien définis et les mêmes fréquences propres obtenues pendant l’EMA, comme prévu. Dans la dernière réponse en fréquence, mesurée à proximité de la vitesse critique, on peut vérifier la tendance au couplage entre les modes impliqués dans le flottement. Ce couplage tend à se produire à une fréquence d’environ 1,6 Hz, confirmant le résultat observé dans la figure 4.
Dans les réponses en fréquence obtenues à des vitesses intermédiaires, on peut observer les variations des fréquences de tangage et de plongée. De plus, il est clair que les pics des modes pitch et plunge ne sont pas aussi nets que les pics de la réponse en fréquence à vitesse nulle. Ce fait peut être considéré comme l’effet de l’interaction fluide-structure sur l’augmentation de l’amortissement. Cette tendance est attendue jusqu’à des vitesses proches de la critique, lorsque l’amortissement est censé disparaître et que le flutter se produit.
Résultats de l’identification
L’algorithme de réalisation d’un système propre étendu (EERA) est employé pour quantifier la variation des fréquences et des valeurs d’amortissement avec la vitesse croissante en soufflerie par rapport aux modes impliqués dans le flutter. En inspectant l’évolution de l’amortissement avec la variation de la vitesse à l’aide de l’EERA, on peut prédire le moment où le flottement est susceptible de se produire. Les données utilisées dans le processus d’identification sont acquises lors des essais aéroélastiques réalisés pour obtenir la fonction de réponse en fréquence décrite précédemment dans cet article. Simultanément aux essais dans le domaine fréquentiel, le signal d’entrée (mouvement du volet de bord de fuite) et le signal mesuré par les jauges de contrainte (déplacements en tangage et en plongée) ont été capturés dans le domaine temporel à l’aide du système d’acquisition dSPACE®. Les Figures 6 à 8 montrent des exemples de signaux d’entrée et de sortie mesurés pendant l’un des essais en soufflerie. La Fig. 6 représente la déflexion du volet en degrés. Elle représente un signal généré aléatoirement (distribution uniforme) de l’angle du volet afin de fonctionner comme une excitation du système aéroélastique. Les réponses en plongée et en tangage, par rapport au mouvement du volet (voir la figure 6), sont représentées dans les figures 7 et 8, respectivement.
Le processus d’identification a été effectué après l’acquisition des données du domaine temporel d’entrée et de sortie. Les dimensions des matrices de Hankel en bloc des entrées et des sorties (M et N=2M) et le nombre de valeurs singulières (2n) à considérer ont été modifiés pour chaque identification effectuée pour chaque vitesse d’écoulement. Cette variation peut s’expliquer par les difficultés liées à l’identification des paramètres à partir de données acquises à des vitesses plus élevées en soufflerie, lorsque les modes se couplent.
Les résultats finaux obtenus lors du processus d’identification peuvent être observés sur la figure 9. L’évolution avec la vitesse de l’air des fréquences de tangage et de plongée et des facteurs d’amortissement sont montrés. On peut voir que le flottement peut être prédit à une vitesse d’air proche de 25 m/s, en accord avec les résultats expérimentaux (voir section précédente). Pour chaque essai, la fréquence et le facteur d’amortissement pour les mouvements de tangage et de plongée sont obtenus en termes de valeurs moyennes pour une variété de paramètres d’identification conduisant à différentes matrices d’état du système identifié. Sur la figure 9, le nuage de points est lié à la variation des paramètres identifiés et les courbes représentent les valeurs moyennes de la fréquence et de l’amortissement. Pour les calculs de fréquence, on peut observer que la méthode EERA a été capable de fournir une bonne prédiction pour une variété de paramètres d’identification. Néanmoins, pour l’identification du facteur d’amortissement, les valeurs par vitesse d’air étaient plus dispersées. Les valeurs d’amortissement pour le mode tangage semblent moins dispersées que celles pour le mode plongée. Les raisons de ce phénomène ne sont pas encore déterminées et doivent faire l’objet d’une recherche continue sur la prédiction du flutter avec l’EERA. Bien que ces résultats soient moins bons que ceux de la fréquence, les valeurs moyennes d’amortissement montrent des courbes qui sont cohérentes avec la physique du flutter 2D classique. Alors que le mode de tangage (torsion) conduit au flutter, le mode de plongée (flexion) va vers le suramortissement.
Conclusions
L’essai aéroélastique expérimental en soufflerie a été utilisé pour l’identification des paramètres de flutter. Des essais en soufflerie ont été réalisés pour la caractérisation du flutter et le phénomène a pu être observé dans les domaines temporel et fréquentiel. Dans les résultats du domaine temporel, le comportement oscillatoire auto-entretenu du flutter a été montré. Dans les réponses du domaine fréquentiel, l’évolution des modes avec la vitesse croissante de la soufflerie a également été observée. À la vitesse critique, la tendance au couplage a pu être clairement démontrée. Les variations de l’amortissement en tangage et en plongée ont pu être obtenues uniquement de manière qualitative dans ces essais.
Afin de quantifier l’évolution des modes en tangage et en plongée avec l’augmentation de la vitesse, une méthode d’identification a été appliquée. L’algorithme de réalisation de l’Eigensystem étendu a été employé en utilisant les données d’entrée et de sortie obtenues, dans le domaine temporel, lors des essais réalisés pour la caractérisation du flutter. Cette méthode a été employée pour l’identification des paramètres de flottement afin de vérifier ses performances en termes de vitesse et de problèmes numériques éventuels au cours du processus. L’utilisation de l’EERA peut être considérée comme appropriée compte tenu de la cohérence entre les résultats obtenus avec cette méthode d’identification et les résultats obtenus lors des essais précédents en soufflerie. Certaines difficultés sont apparues dans l’identification des valeurs du facteur d’amortissement, en particulier, pour le mode de plongée. Des recherches plus approfondies sur les raisons de ces problèmes sont nécessaires et sont en cours.
Même en considérant que le processus d’identification présenté dans ce travail est un processus hors ligne, les résultats obtenus jusqu’à présent indiquent que l’identification en ligne des paramètres de flottement pendant les essais en soufflerie peut être explorée. Le développement d’un système de contrôle adaptatif obtenu avec l’association de la méthode d’identification en ligne et d’une loi de contrôle pour la suppression du flutter peut être réalisable dans des recherches ultérieures.
Reconnaissance
Les auteurs reconnaissent avec gratitude le soutien financier fourni par CAPES et FAPESP (Fondation d’État de Sao Paulo pour le soutien à la recherche Brésil) à travers les numéros de contrat 1999/04980-0 et 2000/00390-3.
Ashley, H., 1970, « Aeroelasticity », Applied Mechanics Reviews, pp.119-129.
Collar, A.R., 1959, « Aeroelasticity Retrospect and Prospect », The Journal of the Royal Aeronautical Society, vol. 63, n° 577, pp.1-15, 1959.
Cooper, J.E. et Crowther, W.J., 1999, « Flutter Speed Prediction During Flight Testing Using Neural Networks », CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, pp. 255-264.
Cooper, J.E., Emmett, P.R. et Wright, J.R., 1993, « Envelope Function : A Tool for Analysing Flutter Data », Journal of Aircraft, vol. 30, n° 5, pp. 785-790.
Dansberry, B.E., Durham, M. H., Bennett, R. M., Turnock, D. L., Silva, E. A. et Rivera Jr, J. A., 1993, « Physical Properties of the Benchmark Models Program Supercritical Wing », NASA TM-4457.
De Marqui Jr, C., Belo, E.M. et Marques, F.D., 2005, « A flutter suppression active controller », Proc I.Mech.E Part G – Journal of Aerospace Engineering, Vol. 219.
De Marqui Jr, C., Belo, E.M., Tsunaki, R.H., Rebolho, D.C. et Marques, F.D., 2004, « Design and Tests of an Experimental Flutter Mount System », Proceedings of the XXII IMAC, Dearborn, MI.
DS1103 PPC Controller Board, 2001, Hardware Reference, www.dspace.de.
Favoreel, W., Huffel, S.V., De Moor, B, Sima, V. et Verhaegen, M., 1999, « Comparative study between three subspace identification algorithms », Proceedings of the European Control Conference, Karlsruhe-Germany, 31st August-3rd September, 6p.
Försching, H., 1979, « Aeroelastic Problems in Aircraft Desing », von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 08 : A Survey of Aeroelastic Problems.
Garrick, I.E. et Reed, W.H., 1981, « Historical Development of Aircraft Flutter », Journal of Aircraft, Vol.18, No. 11, pp. 897-912.
Garrick, I.E., 1976, « Aeroelasticity frontiers and beyond », 13th Von Karman Lecture, Journal of Aircraft, Vol.13, No. 9, pp. 641-657.
Juang, J.N., 1994, « Applied System Identification », Prentice Hall PTR, New Jersey, USA.
Kehoe, M.W., 1995, « A Historical Overview of Flight Flutter Testing », NASA TM-4720.
Ko, J., Kurdila, A.J. et Strganac, T.J., 1997, « Adaptive Feedback Linearization for the Control of a Typical Wing Section with Structural Nonlinearity », ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Dallas, Texas.
Lind, R. et Brenner, M., 2000, « Flutterometer : An On-Line Tool to Predict Robust Flutter Margins », Journal of Aircraft, Vol. 37, No. 6, pp. 1105-1112.
Lind, R., 2003, « Flight-Test Evaluation of Flutter Prediction Methods », Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 5, pp. 964-970.
Mukhopadhyay, V., 1995, « Flutter suppression control law design and testing for the active flexible wing », Journal of Aircraft, Vol.32, No. 1, pp 45-51.
Tasker, F., Bosse, A. et Fisher, S., 1998, « Real-time modal parameters estimation using subspace methods : Theory ». Systèmes mécaniques et traitement des signaux, vol.12, n° 6, pp. 797-808.
Torii, H. et Matsuzaki, Y., 2001, « Flutter Margin Evaluation for Discrete-Time Systems », Journal of Aircraft, Vol. 38, No. 1, pp. 42-47.
Tsunaki, R. H., 1999, « Identificação Automatizada de Modelos Dinâmicos no Espaço de Estados », thèse de doctorat, Université de Sao Paulo.
Van Overschee, P. et De Moor, B., 1996, « Subspace identification for linear systems : theory, implementation, applications », Kluwer Academic Publishers, Boston, États-Unis.
Verhaegen, M. et Dewilde, P., 1992, « Subspace model identification part 1. La classe d’algorithmes d’identification de modèle d’espace d’état d’erreur de sortie », International Journal of Control, Vol. 56, pp. 1187-1210.
Waszak, M.R., 1998, « Modeling the benchmark active control technology wind-tunnel model for active control design applications », NASA TP-1998-206270.
Watkins, D.S., 1991, « Fundamental of Matrix Computations », New York, Wiley,USA.
Wright, J.R., 1991, « Introduction au flottement des aéronefs à ailes », Institut von Karman pour la dynamique des fluides, série de conférences 01 : analyse élémentaire du flottement.
Zimmerman, N.H. et Weissnburger, J.T., 1964, « Prediction of Flutter Onset Speed Based on Flight Testing at Subcritical Speeds », Journal of Aircraft, Vol. 1, No. 4, pp. 190-202.