Vous avez très probablement rencontré des objets unilatéraux des centaines de fois dans votre vie quotidienne – comme le symbole universel du recyclage, que l’on trouve imprimé au dos des canettes en aluminium et des bouteilles en plastique.
Cet objet mathématique s’appelle un ruban de Möbius. Il a fasciné les environnementalistes, les artistes, les ingénieurs, les mathématiciens et bien d’autres depuis sa découverte en 1858 par August Möbius, un mathématicien allemand qui est mort il y a 150 ans, le 26 septembre 1868.
Möbius a découvert la bande unilatérale en 1858 alors qu’il occupait la chaire d’astronomie et de mécanique supérieure à l’université de Leipzig. (Un autre mathématicien nommé Listing l’a en fait décrite quelques mois plus tôt, mais n’a pas publié ses travaux avant 1861). Möbius semble avoir rencontré le ruban de Möbius alors qu’il travaillait sur la théorie géométrique des polyèdres, des figures solides composées de sommets, d’arêtes et de faces planes.
Un ruban de Möbius peut être créé en prenant une bande de papier, en lui donnant un nombre impair de demi-tours, puis en scotchant les extrémités pour former une boucle. Si vous prenez un crayon et tracez une ligne le long du centre de la bande, vous verrez que la ligne longe apparemment les deux côtés de la boucle.
Le concept d’un objet unilatéral a inspiré des artistes comme le graphiste néerlandais M.C. Escher, dont la gravure sur bois « Möbius Strip II » montre des fourmis rouges rampant les unes après les autres le long d’un ruban de Möbius.
Le ruban de Möbius possède plus d’une seule propriété surprenante. Par exemple, essayez de prendre une paire de ciseaux et de couper la bande en deux le long de la ligne que vous venez de tracer. Vous serez peut-être étonné de constater que vous ne vous retrouvez pas avec deux bandes de Möbius unilatérales plus petites, mais plutôt avec une longue boucle à deux côtés. Si vous n’avez pas de morceau de papier sous la main, la gravure sur bois d’Escher « Bande de Möbius I » montre ce qui se passe lorsqu’une bande de Möbius est coupée le long de sa ligne centrale.
Bien que la bande ait certainement un attrait visuel, son plus grand impact a été dans les mathématiques, où elle a contribué à stimuler le développement d’un domaine entier appelé topologie.
Un topologue étudie les propriétés des objets qui sont préservées lorsqu’ils sont déplacés, pliés, étirés ou tordus, sans couper ou coller les parties ensemble. Par exemple, une paire d’oreillettes emmêlées est, dans un sens topologique, la même qu’une paire d’oreillettes non emmêlées, car la transformation de l’une en l’autre ne nécessite qu’un déplacement, une flexion et une torsion. Aucun découpage ou collage n’est nécessaire pour se transformer entre eux.
Une autre paire d’objets qui sont topologiquement les mêmes sont une tasse à café et un beignet. Comme les deux objets n’ont qu’un seul trou, l’un peut être déformé en l’autre par simple étirement et flexion.
Le nombre de trous dans un objet est une propriété qui ne peut être modifiée que par découpage ou collage. Cette propriété – appelée le « genre » d’un objet – nous permet de dire qu’une paire d’écouteurs et un beignet sont topologiquement différents, puisqu’un beignet a un trou, alors qu’une paire d’écouteurs n’en a pas.
Malheureusement, un ruban de Möbius et une boucle à deux côtés, comme un bracelet de sensibilisation typique en silicone, semblent tous deux avoir un trou, donc cette propriété est insuffisante pour les distinguer – du moins du point de vue du topologue.
Au lieu de cela, la propriété qui distingue un ruban de Möbius d’une boucle à deux côtés est appelée orientabilité. Comme son nombre de trous, l’orientabilité d’un objet ne peut être modifiée que par découpage ou collage.
Imaginez que vous écrivez vous-même une note sur une surface transparente, puis que vous vous promenez sur cette surface. La surface est orientable si, lorsque vous revenez de votre promenade, vous pouvez toujours lire la note. Sur une surface non orientable, vous pouvez revenir de votre promenade et constater que les mots que vous avez écrits se sont apparemment transformés en leur image miroir et ne peuvent être lus que de droite à gauche. Sur la boucle à double face, la note se lira toujours de gauche à droite, peu importe où votre voyage vous a mené.
Puisque le ruban de Möbius est non orientable, alors que la boucle à deux côtés est orientable, cela signifie que le ruban de Möbius et la boucle à deux côtés sont topologiquement différents.
Le concept d’orientabilité a des implications importantes. Prenez les énantiomères. Ces composés chimiques ont les mêmes structures chimiques à l’exception d’une différence essentielle : Ils sont des images miroir l’un de l’autre. Par exemple, le composé chimique L-méthamphétamine est un ingrédient des inhalateurs de vapeur Vicks. Son image miroir, la D-méthamphétamine, est une drogue illégale de classe A. Si nous vivions dans un monde non orientable, ces produits chimiques seraient indiscernables.
La découverte d’August Möbius a ouvert de nouvelles voies pour étudier le monde naturel. L’étude de la topologie continue à produire des résultats étonnants. Par exemple, l’année dernière, la topologie a conduit les scientifiques à découvrir d’étranges nouveaux états de la matière. Cette année, la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, a été décernée à Akshay Venkatesh, un mathématicien qui a contribué à intégrer la topologie à d’autres domaines tels que la théorie des nombres.