Calcul des variations
La majeure partie de la fin du 17ème siècle et une bonne partie du début du 18ème ont été occupées par les travaux des disciples de Newton et Leibniz, qui ont appliqué leurs idées sur le calcul pour résoudre une variété de problèmes en physique, astronomie et ingénierie.
La période est cependant dominée par une famille, les Bernoulli de Bâle en Suisse, qui s’enorgueillit de deux ou trois générations de mathématiciens exceptionnels, en particulier les frères, Jacob et Johann. Ils ont été largement responsables du développement du calcul infinitésimal de Leibniz – en particulier par la généralisation et l’extension du calcul connu sous le nom de « calcul des variations » – ainsi que de la théorie des probabilités et des nombres de Pascal et Fermat.
Bâle était également la ville natale du plus grand des mathématiciens du 18ème siècle, Leonhard Euler, bien que, en partie en raison des difficultés à s’entendre dans une ville dominée par la famille Bernoulli, Euler ait passé la plupart de son temps à l’étranger, en Allemagne et à Saint-Pétersbourg, en Russie. Il excellait dans tous les aspects des mathématiques, de la géométrie au calcul, de la trigonométrie à l’algèbre et à la théorie des nombres, et était capable de trouver des liens inattendus entre les différents domaines. Il a prouvé de nombreux théorèmes, a été le pionnier de nouvelles méthodes, a standardisé la notation mathématique et a écrit de nombreux manuels influents tout au long de sa longue vie académique.
Dans une lettre à Euler en 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach a proposé la conjecture de Goldbach, qui stipule que tout entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers (par ex.4 = 2 + 2 ; 8 = 3 + 5 ; 14 = 3 + 11 = 7 + 7 ; etc.) ou, dans une autre version équivalente, tout nombre entier supérieur à 5 peut être exprimé comme la somme de trois nombres premiers. Une autre version encore est la conjecture de Goldbach dite « faible », selon laquelle tous les nombres impairs supérieurs à 7 sont la somme de trois nombres premiers impairs. Cette conjecture fait partie des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres (et de toutes les mathématiques), bien que la forme faible de la conjecture semble être plus proche de la résolution que la forme forte. Goldbach a également prouvé d’autres théorèmes en théorie des nombres, comme le théorème de Goldbach-Euler sur les puissances parfaites.
Malgré la domination d’Euler et des Bernoulli sur les mathématiques du 18e siècle, beaucoup d’autres mathématiciens importants venaient de France. Au début du siècle, Abraham de Moivre est peut-être plus connu pour la formule de de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), qui relie les nombres complexes et la trigonométrie. Mais il a également généralisé le célèbre théorème binomial de Newton en théorème multinomial, a été le pionnier du développement de la géométrie analytique, et ses travaux sur la distribution normale (il a donné le premier énoncé de la formule de la courbe de distribution normale) et la théorie des probabilités ont été d’une grande importance.
La France est devenue encore plus proéminente vers la fin du siècle, et une poignée de mathématiciens français de la fin du 18ème siècle en particulier méritent d’être mentionnés à ce stade, en commençant par « les trois L ».
Joseph Louis Lagrange a collaboré avec Euler dans un important travail commun sur le calcul des variations, mais il a également contribué aux équations différentielles et à la théorie des nombres, et on lui attribue généralement l’origine de la théorie des groupes, qui deviendra si importante dans les mathématiques des 19ème et 20ème siècles. Son nom est donné à un théorème précoce de la théorie des groupes, qui affirme que le nombre d’éléments de chaque sous-groupe d’un groupe fini se divise de manière égale en nombre d’éléments du groupe fini d’origine.
Théorème de la valeur moyenne de Lagrange
Théorème de la valeur moyenne de Lagrange
Lagrange est également crédité du théorème des quatre carrés, selon lequel tout nombre naturel peut être représenté comme la somme de quatre carrés (ex.3 = 12 + 12 + 12 + 02 ; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 ; 310 = 172 + 42 + 22 + 12 ; etc.), ainsi qu’un autre théorème, également connu sous le nom déroutant de théorème de Lagrange ou théorème de la valeur moyenne de Lagrange, selon lequel, étant donné une section d’une courbe continue lisse (différentiable), il existe au moins un point sur cette section où la dérivée (ou pente) de la courbe est égale (ou parallèle) à la dérivée moyenne (ou moyenne) de la section. Le traité de mécanique analytique de Lagrange, publié en 1788, offrait le traitement le plus complet de la mécanique classique depuis Newton, et constituait une base pour le développement de la physique mathématique au 19ème siècle.
Pierre-Simon Laplace, parfois appelé « le Newton français », était un important mathématicien et astronome, dont l’œuvre monumentale « Mécanique céleste » traduisait l’étude géométrique de la mécanique classique en une étude basée sur le calcul, ouvrant un éventail beaucoup plus large de problèmes. Bien que ses premiers travaux aient porté principalement sur les équations différentielles et les différences finies, il commençait déjà à réfléchir aux concepts mathématiques et philosophiques des probabilités et des statistiques dans les années 1770, et il a développé sa propre version de l’interprétation dite bayésienne des probabilités, indépendamment de Thomas Bayes. Laplace est bien connu pour sa croyance en un déterminisme scientifique complet, et il soutenait qu’il devrait y avoir un ensemble de lois scientifiques qui nous permettraient – au moins en principe – de tout prédire sur l’univers et son fonctionnement.
Les six premiers polynômes de Legendre
Les six premiers polynômes de Legendre (solutions de l’équation différentielle de Legendre)
Adrien-Marie Legendre a également apporté d’importantes contributions aux statistiques, à la théorie des nombres, l’algèbre abstraite et l’analyse mathématique à la fin du 18e et au début du 19e siècle, bien qu’une grande partie de son travail (comme la méthode des moindres carrés pour l’ajustement des courbes et la régression linéaire, la loi de réciprocité quadratique, le théorème des nombres premiers et son travail sur les fonctions elliptiques) n’a été portée à la perfection – ou du moins à la connaissance générale – que par d’autres, en particulier Gauss. Ses « Éléments de géométrie », une refonte du livre d’Euclide, sont devenus le principal manuel de géométrie pendant près de 100 ans, et sa mesure extrêmement précise du méridien terrestre a inspiré la création, et l’adoption quasi universelle, du système métrique de mesures et de poids.
Encore un autre Français, Gaspard Monge a été l’inventeur de la géométrie descriptive, une méthode astucieuse de représentation d’objets tridimensionnels par des projections sur le plan bidimensionnel en utilisant un ensemble spécifique de procédures, une technique qui deviendra plus tard importante dans les domaines de l’ingénierie, de l’architecture et du design. Sa projection orthographique est devenue la méthode graphique utilisée dans presque tous les dessins mécaniques modernes.
Après de nombreux siècles d’approximations de plus en plus précises, Johann Lambert, mathématicien suisse et astronome éminent, a finalement fourni une preuve rigoureuse en 1761 que π est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être exprimé comme une simple fraction utilisant uniquement des entiers ou comme une décimale terminale ou répétitive. Cela prouvait définitivement qu’il ne serait jamais possible de le calculer exactement, bien que l’obsession d’obtenir des approximations de plus en plus précises se poursuive encore aujourd’hui. (Plus de cent ans plus tard, en 1882, Ferdinand von Lindemann prouvera que π est également transcendantal, c’est-à-dire qu’il ne peut être la racine d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels). Lambert fut également le premier à introduire les fonctions hyperboliques en trigonométrie et fit quelques conjectures prémonitoires concernant l’espace non euclidien et les propriétés des triangles hyperboliques.
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