Un modèle ARMAX (c’est-à-dire un modèle ARIMA avec une variable exogène) sans constante prend la forme
C’est simplement un modèle ARMAX avec une variable indépendante supplémentaire (covariante) du côté droit de l’équation. En utilisant l’opérateur lag, cela équivaut à
ou
Une façon de traiter un tel modèle est de le réinterpréter comme une régression linéaire plus des erreurs ARMA :
où
Ce modèle est équivalent à
Exemple 1 : Créez un modèle ARIMAX pour les données du côté gauche de la figure 1 où X1 et X2 sont des variables exogènes et Y est une série chronologique. Créez une prévision pour les 3 prochains éléments sur la base de ce modèle.
Figure 1 – Initialisation du modèle ARIMAX
Outil d’analyse de données de statistiques réelles : Vous pouvez utiliser l’outil d’analyse de données ARIMAX pour effectuer cette opération. Appuyez sur Ctrl-m, sélectionnez ARIMAX dans l’onglet Time S et remplissez la boîte de dialogue qui apparaît comme indiqué sur la figure 2.
Figure 2 – Boîte de dialogue ARIMAX
Les résultats sont indiqués sur le côté droit de la figure 1 ainsi que sur les figures 3 et 4.
Dans la figure 1, la plage G4:G22 contient la formule de tableau =ADIFF(B4:B23,1), la plage H5:H22 contient =ADIFF(C4:C23,1) et I5:I22 contient =ADIFF(D:D23,1).
La partie gauche de la figure 3 contient l’analyse de régression habituelle de X1 et X2 sur Y, ce qui donne le modèle de régression
Les résidus sont calculés par
où nous nous attendons à ce que les résidus suivent un modèle ARIMA(0,0,1). Ces résidus sont indiqués dans la plage J5:J22 de la figure 1, tels que calculés par la formule du tableau
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4 :H22,,TRUE)
Figure 3 – Modèle de régression MCO
Les résidus du modèle de régression MCO deviennent maintenant les éléments de données du modèle ARIMA, comme le montre la figure 4. Notez que le terme constant est subsumé dans le modèle de régression et n’est donc pas inclus dans le modèle ARIMA. De même, la différenciation a déjà été prise en compte et ne fait donc pas partie du modèle ARIMA. Ainsi, nous supposons que les résidus suivent un modèle MA(1).
Figure 4 – Modèle ARIMA(0,0,1) pour les résidus
La prévision pour le modèle présenté dans la figure 4 est présentée dans la figure 5. Notez que les valeurs de prévision nulles indiquées dans les cellules AV24 et AV25 ne seraient pas nécessairement nulles si nous avions utilisé un modèle ARIMA différent pour les résidus.
Figure 5 – Prévision des résidus
La prévision de la figure 5 ne concerne que la série chronologique des résidus. Nous devons maintenant créer une prévision pour la série temporelle originale aux temps t = 21, 22 et 23, en fonction des valeurs que nous attendons pour les variables exogènes X1 et X2 à ces moments-là.
Supposons que ces variables exogènes prennent les valeurs indiquées dans la plage B24:C26 de la figure 6. Notez que cette figure montre la partie inférieure des colonnes correspondantes de la figure 1, où les lignes ajoutées correspondent aux trois valeurs prévues.
Les entrées ajoutées dans la plage D24:D26 montrent les valeurs prévues pour la série temporelle originale aux temps t = 21, 22 et 24 correspondant aux valeurs X1 et X2 indiquées dans B24:C26. Ces valeurs prévisionnelles sont calculées comme indiqué dans la figure 6.
Figure 6 – Prévision de la série temporelle
Placez la formule =B24-B23 dans la cellule G23, mettez en surbrillance la plage G23:H25 et appuyez sur Ctrl-R et Ctrl-D. Cela différencie les nouvelles valeurs X1 et X2. Ensuite, placez la formule =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) dans la plage I23:I25. Cela permet de calculer les valeurs prévisionnelles Y différentiées.
Prenez maintenant la formule =AV23 dans la cellule J23, mettez en surbrillance la plage J23:J25 et appuyez sur Ctrl-D, pour afficher les valeurs résiduelles prévues. Enfin, insérez la formule =D23+I23+J23 dans la cellule D24, mettez en surbrillance la plage D24:D26 et appuyez sur Ctrl-D pour obtenir la prévision demandée pour Y.
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