Idea
La théorie de Yang-Mills est une théorie de jauge sur une (pseudo-)collecteur riemannien quadridimensionnel XX donné dont le champ est le champ de Yang-Mills â un cocycle ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) dans la cohomologie nonabélienne différentielle représentée par un faisceau de vecteurs avec connexion â et dont la fonctionnelle d’action est
for
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F âF_\nabla la force du champ, localement la courbure ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra valued differential form on XX ( avec ð²(n)\mathfrak{u}(n) l’algèbre de Lie du groupe unitaire U(n)U(n)) ;
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â\star l’opérateur étoile de Hodge de la métrique gg;
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1g 2\frac{1}{g^2} la constante de couplage de Yang-Mills et θ\theta l’angle thêta, quelques nombres réels (voir à S-dualité).
(Voir cet exemple à Une première idée de la théorie quantique des champs.)
Propriétés
Classification des solutions
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Théorème de Narasimhan-Seshadri
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Théorème de Donaldson-Uhlenbeck-Yau
Quantification
Malgré son rôle fondamental dans le modèle standard de la physique des particules, divers détails de la quantification de la théorie de Yang-Mills sont encore ouverts. Voir à quantification de la théorie de Yang-Mills.
Applications
Tous les champs de jauge dans le modèle standard de la physique des particules ainsi que dans les modèles GUT sont des champs de YangâMills.
Les champs de matière dans le modèle standard sont des spinors chargés sous le champ de Yang-Mills. Voir
- spinors dans la théorie de Yang-Mills
Histoire
De Jaffe-Witten:
Dans les années 1950, lorsque la théorie de YangâMills a été découverte, on savait déjà que la version quantique de la théorie de Maxwell â connue sous le nom d’électrodynamique quantique ou QED â donne un compte rendu extrêmement précis des champs et des forces électromagnétiques. En fait, la QED a amélioré de plusieurs ordres de grandeur la précision de certaines prédictions antérieures de la théorie quantique, tout en prédisant de nouveaux fractionnements des niveaux d’énergie.
Il était donc naturel de se demander si la théorie de jauge non abélienne décrivait d’autres forces dans la nature, notamment la force faible (responsable entre autres de certaines formes de radioactivité) et la force forte ou nucléaire (responsable entre autres de la liaison des protons et des neutrons dans les noyaux). La nature sans masse des ondes classiques de YangâMills était un obstacle sérieux à l’application de la théorie de YangâMills aux autres forces, car les forces faible et nucléaire sont de courte portée et beaucoup de particules sont massives. Par conséquent, ces phénomènes ne semblaient pas être associés à des champs à longue portée décrivant des particules sans masse.
Dans les années 1960 et 1970, les physiciens ont surmonté ces obstacles à l’interprétation physique de la théorie de jauge non abélienne. Dans le cas de la force faible, cela a été accompli par la théorie électrofaible de GlashowâSalamâWeinberg avec le groupe de jauge H=H = SU(2) Ã\times U(1). En élaborant la théorie avec un « champ de Higgs » supplémentaire, on a évité la nature sans masse des ondes classiques de YangâMills. Le champ de Higgs se transforme en une représentation bidimensionnelle de HH ; sa valeur non nulle et approximativement constante dans l’état de vide réduit le groupe de structure de HH à un sous-groupe U(1)U(1) (intégré diagonalement dans SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Cette théorie décrit à la fois les forces électromagnétiques et faibles, de manière plus ou moins unifiée ; du fait de la réduction du groupe de structure à U(1)U(1), les champs à longue portée sont ceux de l’électromagnétisme uniquement, en accord avec ce que l’on observe dans la nature.
La solution au problème des champs YangâMills sans masse pour les interactions fortes est d’une toute autre nature. Cette solution n’est pas venue de l’ajout de champs à la théorie de YangâMills, mais de la découverte d’une propriété remarquable de la théorie quantique de YangâMills elle-même, c’est-à-dire de la théorie quantique dont le Lagrangien classique a été donné ]. Cette propriété est appelée « liberté asymptotique ». Grossièrement, cela signifie qu’à courte distance, le champ affiche un comportement quantique très similaire à son comportement classique ; pourtant, à longue distance, la théorie classique n’est plus un bon guide pour le comportement quantique du champ.
La liberté asymptotique, ainsi que d’autres découvertes expérimentales et théoriques faites dans les années 1960 et 1970, ont permis de décrire la force nucléaire par une théorie de jauge non abélienne dans laquelle le groupe de jauge est G=G = SU(3). Les champs supplémentaires décrivent, au niveau classique, les « quarks », qui sont des objets de spin 1/2 quelque peu analogues à l’électron, mais se transformant dans la représentation fondamentale de SU(3)SU(3). La théorie de jauge non abélienne de la force forte est appelée Chromodynamique Quantique (QCD).
L’utilisation de la QCD pour décrire la force forte a été motivée par toute une série de découvertes expérimentales et théoriques faites dans les années 1960 et 1970, impliquant les symétries et le comportement à haute énergie des interactions fortes. Mais la théorie de jauge classique non abélienne est très différente du monde observé des interactions fortes ; pour que la QCD décrive avec succès la force forte, elle doit avoir au niveau quantique les trois propriétés suivantes, chacune d’entre elles étant dramatiquement différente du comportement de la théorie classique :
(1) Elle doit avoir un « gap de masse » ; à savoir qu’il doit y avoir une certaine constante Î>0\Delta \gt 0 telle que chaque excitation du vide a une énergie au moins Î\Delta.
(2) Elle doit avoir un « confinement des quark », c’est-à-dire que même si la théorie est décrite en termes de champs élémentaires, tels que les champs de quark, qui se transforment de manière non triviale sous SU(3), les états des particules physiques â tels que le proton, le neutron et le pion â sont invariants sous SU(3).
(3) Il doit avoir une « rupture de symétrie chirale », ce qui signifie que le vide est potentiellement invariant (dans la limite, que les masses nues des quarks disparaissent) seulement sous un certain sous-groupe du groupe de symétrie complet qui agit sur les champs de quarks.
Le premier point est nécessaire pour expliquer pourquoi la force nucléaire est forte mais de courte portée ; le second est nécessaire pour expliquer pourquoi nous ne voyons jamais de quarks individuels ; et le troisième est nécessaire pour rendre compte de la théorie de l’algèbre actuelle des pions mous qui a été développée dans les années 1960.
L’expérience – puisque la CDQ a de nombreux succès dans la confrontation avec l’expérience – et les simulations informatiques, réalisées depuis la fin des années 1970, ont fortement encouragé le fait que la CDQ a bien les propriétés citées ci-dessus. Ces propriétés peuvent être observées, dans une certaine mesure, dans les calculs théoriques effectués dans une variété de modèles très simplifiés (comme la théorie de jauge à réseau fortement couplé). Mais elles ne sont pas entièrement comprises théoriquement ; il n’existe pas de calcul théorique convaincant, qu’il soit ou non mathématiquement complet, démontrant l’une des trois propriétés dans la QCD, par opposition à une troncation sévèrement simplifiée de celle-ci.
C’est le problème de la quantification non-perturbative de la théorie de Yang-Mills. Voir là pour plus de détails.
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D=5 théorie de Yang-Mills
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théorie de Yang-Mills massive
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théorie de Yang-Mills auto-duale
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super théorie de Yang-.Mills
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couplage minimal
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notation à double ligne de ‘t Hooft
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Théorie d’Einstein-Yang-Mills
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Théorie d’Einstein-Maxwell
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Théorie d’Einstein-Yang-Mills-Dirac
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Théorie d’Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs
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Théorie d’Einstein-Yang-Mills.Mills
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modèle standard de la physique des particules
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électromagnétisme
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spinors dans la théorie de Yang-Mills
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QED, QCD,
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champ électrofaible
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Monopole de Yang, monopole ‘t Hooft-Polyakov
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S-dualité, dualité de Montonen-Olive
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dualité électrique-magnétique
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dualité géométrique de Langlands
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Théorie de Chern-Simons
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Monopole de Yang.Mills instanton
- confinement
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liberté asmptotique
Général
La théorie de Yang-Mills est nommée d’après l’article
- Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservation du spin isotopique et invariance de jauge isotopique. Physical Review 96 (1) : 191â 195. (1954) (web)
qui a été le premier à généraliser le principe de l’électromagnétisme à un groupe de jauge non abalien. Cela a été accepté comme formulation de la QCD et des interactions faibles (seulement) après que la rupture spontanée de symétrie (le mécanisme de Higgs) a été comprise dans les années 1960.
Revues modernes des bases
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Arthur Jaffe, Edward Witten, Théorie quantique de Yang-Mills (pdf)
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Simon Donaldson, Théorie et géométrie de Yang-Mills (2005) pdf
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José Figueroa-O’Farrill, Théorie de jauge
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Karen Uhlenbeck, notes de Laura Fredrickson, Equations de la théorie de jauge, conférence à l’Université Temple, 2012 (pdf, pdf)
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Simon Donaldson, Théorie de jauge : Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, auteur pdf, pdf)
-
Mikio Nakahara, Section 10.5.4 de : Géométrie, Topologie et Physique, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)
Voir aussi les références à la QCD, à la théorie de jauge, au monopole de Yang-Mills, à l’instanton de Yang-Mills et à la super théorie de Yang-Mills.
La discussion classique de la théorie YM sur les surfaces de Riemann (qui est étroitement liée à la théorie de Chern-Simons, voir aussi à espace moduli des connexions plates) est dans
- Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, résumé lighning)
qui est revue dans les notes de cours
- Jonathan EvansAspects de la théorie de Yang-Mills, (web)
Pour la relation avec l’homologie de Floer instantanée, voir aussi
- Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)
Pour la relation avec les nombres de Tamagawa, voir
- Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv :0801.4733)
Solutions classiques
Wu et Yang (1968) ont trouvé une solution statique aux équations de Yang-Mills sans source SU(2)SU(2). Les références récentes comprennent
- J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole : classical solutions and conformal invariance
Il existe une ancienne revue,
- Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),
qui fournit certaines des solutions connues de la théorie de jauge SU(2)SU(2) dans l’espace de Minkowski (monopoles, ondes planes, etc) et euclidien (instantons et leurs cousins). Pour les groupes de jauge généraux, on peut obtenir des solutions en encastrant SU(2)SU(2)âs.
Pour les instantons de Yang-Mills, on connaît la solution la plus générale, élaborée d’abord par
- Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf
pour les groupes classiques SU, SO , Sp, puis par
- C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)
pour les groupes de Lie exceptionnels. Le dernier rebondissement de l’histoire des instantons de Yang-Mills est la construction de solutions avec une holonomie non triviale:
- Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with non-trivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168
Il existe un bel ensemble de notes de cours
- David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),
sur les solutions topologiques avec différentes codimension (instantons, monopoles, tourbillons, murs de domaine). Notez cependant qu’à l’exception des instantons, ces solutions nécessitent typiquement des scalaires supplémentaires et des U(1)âs brisés, comme on peut le trouver dans les théories super Yang-Mills.
Une partie du matériel utilisé ici a été reprise de
- TP.SE, Quelles solutions exactes des équations classiques de Yang-Mills sont connues ?
Un autre modèle comportant des champs de Yang-Mills a été proposé par Curci et Ferrari, voir le modèle de Curci-Ferrari.
Voir aussi
- DispersiveWiki, Équations de Yang-Mills
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