Comme le triangle 30-60-90 est basé sur un triangle équilatéral, le triangle 45-45-90 est basé sur un carré, les triangles 18-72-90 et 36-54-90 sont basés sur le pentagone régulier (voir https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), et le 22.5-67.5-90 est basé sur l’octogone régulier (voir post précédent), donc le triangle 15-75-90 est basé sur le dodécagone régulier, montré ici avec trois rayons (rouge) et une seule diagonale (violet). Le triangle 15-75-90 est représenté en jaune. Un argument de symétrie suffit à montrer que l’angle EFC est le triangle droit de ce triangle, et que le plus grand de ses deux angles aigus (angle FCE) est la moitié d’un angle intérieur de ce dodécagone. L’angle intérieur d’un décagone régulier mesure 150 degrés (la preuve en est triviale), et donc l’angle FCE doit mesurer la moitié de cette quantité, soit 75 degrés. Cela laisse 15 degrés pour l’angle FCE, via le théorème de la somme des triangles.
Qu’en est-il des longueurs des côtés du triangle 15-75-90, cependant ? Tout d’abord, considérez les diagonales rouges indiquées, et laissez-les avoir chacune une longueur de 2. Les angles DAF et FAE mesurent chacun 30 degrés, puisque 360/12 = 30, et qu’ils sont des angles centraux entre des rayons adjacents. L’angle DAE est donc de 60 degrés par addition d’angles, et on sait que le triangle DAE est isocèle, puisque les deux côtés rouges sont des rayons du même dodécagone régulier, et sont donc congruents. Par le théorème du triangle isocèle et le théorème de la somme des triangles, les angles ADE et AED mesurent donc également chacun (180-60)/2 = 60 degrés, et le triangle ADE est donc équilatéral, le côté violet, DE, ayant également une longueur de deux. La symétrie suffit pour voir que DE est bissecté par le rayon AC, ce qui permet de conclure que EF, la branche longue du triangle 15-75-90, a une longueur de 1.
Le segment AF est une médiane, et donc aussi une altitude, du triangle équilatéral ADE, et le divise en deux triangles 30-60-90, dont l’un est le triangle AEF. On sait déjà que son hypoténuse, AE, a une longueur de 2, et que sa branche courte, EF, a une longueur de 1. Le segment AF est donc la branche longue de ce triangle 30-60-90, dont la longueur est √3.
AF, de longueur √3, et FC, la branche courte du triangle 15-75-90, forment ensemble le rayon du dodécagone AC, déjà fixé à la longueur 2. Par soustraction de longueur, donc, FC, la branche courte du triangle 15-75-90, a une longueur de 2 – √3. Un test est prudent à ce stade, en prenant la tangente de l’angle de 15 degrés FEC dans le triangle jaune. Tan(15 degrés) est égal à 0,26794919…, ce qui est aussi l’approximation décimale de FC/EF, soit (2 – √3)/1.
Il ne reste plus, pour connaître les rapports de longueur des côtés du triangle 15-75-90, qu’à déterminer la longueur de EC, son hypoténuse, via le théorème de Pythagore. Le carré de la longueur EC doit être égal au carré de 1 plus le carré de (2 – √3), donc EC, au carré, est égal à 1 + 4 – 4√3 + 3, soit 8 – 4√3. L’hypoténuse (EC) doit donc être la racine carrée de 8 – 4√3, soit √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Le rapport jambe courte:jambe longue:hypoténuse dans un triangle 15-75-90 est donc (2-√3):1:2√(2-√3)).