Un percentile est un emplacement dans une distribution qui a une quantité spécifiée (ou un pourcentage) de la distribution « en dessous » (à sa gauche). En d’autres termes, si le #n^ »ième « # percentile est #x#, et que nous tirons un nombre aléatoire #X# de la distribution, alors la probabilité que #X# soit inférieur à #x# est de #n %#:
#n^ »ième » » percentile » = x » « #means# » » P(X < x)=n%.#
Par exemple, dans une courbe normale standard (avec #mu = 0# et #sigma = 1#), le point où #x=0# (c’est-à-dire. l’axe #y#) est le 50e percentile, parce que 50% de l’aire de la courbe tombe à gauche de #x=0#:
La distribution normale standard #Z# est une si bonne base de référence, nous avons en fait une table de valeurs conçue spécifiquement pour rechercher les percentiles de cette courbe. On l’appelle une table #z#, et elle ressemble à quelque chose comme ceci :
Comment l’utiliser ? Disons que nous voulons le 25e percentile pour la distribution normale standard. Nous trouvons la valeur la plus proche de 0,25 dans le tableau (qui se trouve être 0,2514) et voyons qu’elle se trouve dans la ligne # »-« 0,6# et la colonne #0,07#. Pour ce tableau, cela signifie que le 25e percentile est (approximativement) # »-« 0.67#.
Mais attendez – comment cela peut-il nous aider lorsque nous voulons un percentile pour toute distribution normale #X# ? Nous devons trouver une connexion entre toute courbe et la courbe normale standard. Cette connexion est trouvée en décalant la distribution #X# de gauche à droite de sorte qu’elle soit centrée sur #0#, puis en l’étirant/équilibrant de sorte que son écart-type soit #1#. La formule pour cela est :
#Z=(X-mu)/sigma#
où #mu# est la moyenne de #X# et #sigma# est l’écart-type de #X#.
Si nous connaissons le percentile que nous voulons de la distribution #Z#, nous pouvons résoudre #X# en réarrangeant l’équation en
#X=sigma Z + mu#.
À titre d’exemple, utilisons la première question que vous avez posée, où #X# est normalement distribué avec #mu = 81,2# et #sigma = 12,4#, et nous cherchons le 16e percentile.
D’après le tableau ci-dessus, le 16e percentile de la distribution #Z# est approximativement # »-« 0,99#. L’emplacement équivalent dans notre distribution #X# est alors :
#X=(12,4)(« -« 0,99)+81,2#
#color(white)X= »-« 12,276+81.2#
#color(white)X=68.924#
Ce que ça dit, c’est que si #X# est une courbe normale avec #mu=81.2 » feet « # et #sigma = 12.4 » pieds « #, alors il y a 16% de chance qu’une observation de #X# soit inférieure à #68,924 » pieds « #.
Je vous laisse le reste comme exercice ; avec les formules ci-dessus, cela ne devrait pas être si difficile.
J’espère que cela vous aidera!