Tehnica de retroproiecție filtrată este una dintre cele mai consacrate tehnici algoritmice pentru această problemă. Ea este simplă din punct de vedere conceptual, reglabilă și deterministă. De asemenea, este puțin solicitantă din punct de vedere computațional, scanerele moderne necesitând doar câteva milisecunde pentru fiecare imagine. cu toate acestea, aceasta nu este singura tehnică disponibilă: scanerul EMI original a rezolvat problema reconstrucției tomografice prin algebră liniară, dar această abordare a fost limitată de complexitatea sa computațională ridicată, în special având în vedere tehnologia informatică disponibilă la acea vreme. Mai recent, producătorii au dezvoltat tehnici iterative de maximizare a așteptărilor de maximă verosimilitate bazate pe modele fizice. Aceste tehnici sunt avantajoase deoarece utilizează un model intern al proprietăților fizice ale scanerului și al legilor fizice ale interacțiunilor cu raze X. Metodele anterioare, cum ar fi proiecția posterioară filtrată, presupun un scaner perfect și o fizică foarte simplificată, ceea ce duce la o serie de artefacte, la un nivel ridicat de zgomot și la deteriorarea rezoluției imaginii. Tehnicile iterative oferă imagini cu rezoluție îmbunătățită, zgomot redus și mai puține artefacte, precum și capacitatea de a reduce foarte mult doza de radiații în anumite circumstanțe. Dezavantajul este reprezentat de o cerință de calcul foarte mare, dar progresele în tehnologia informatică și tehnicile de calcul de înaltă performanță, cum ar fi utilizarea algoritmilor GPU foarte paraleli sau utilizarea de hardware specializat, cum ar fi FPGA sau ASIC, permit acum utilizarea practică.
Principiul de bazăEdit
În această secțiune va fi explicat principiul de bază al tomografiei în cazul în care se utilizează în special tomografia care utilizează sistemul optic de iradiere cu fascicule paralele.
Tomografia este o tehnologie care utilizează un sistem optic tomografic pentru a obține „felii” virtuale (o imagine tomografică) ale unei secțiuni transversale specifice a unui obiect scanat, permițând utilizatorului să vadă interiorul obiectului fără a-l tăia. Există mai multe tipuri de sisteme optice tomografice, inclusiv sistemul optic de iradiere cu fascicule paralele. Sistemul optic de iradiere cu fascicule paralele poate fi cel mai simplu și mai practic exemplu de sistem optic tomografic, prin urmare, în acest articol, explicația „Cum se obține imaginea tomografică” se va baza pe „sistemul optic de iradiere cu fascicule paralele”. Rezoluția în tomografie este descrisă în mod obișnuit prin criteriul Crowther.
Figura 3 este destinată să ilustreze modelul matematic și să ilustreze principiul tomografiei. În Fig.3, coeficientul de absorbție la o coordonată a secțiunii transversale (x, y) a subiectului este modelat ca μ(x, y). Considerațiile bazate pe ipotezele de mai sus pot clarifica următoarele elemente. Prin urmare, în această secțiune, explicația este avansată în conformitate cu următoarea ordine:
- (1)Rezultatele măsurătorilor, adică o serie de imagini obținute prin lumină transmisă, sunt exprimate (modelate) ca o funcție p (s,θ) obținută prin efectuarea transformării radon la μ(x, y), și
- (2)μ(x, y) este restabilită prin efectuarea transformării radon inverse la rezultatele măsurătorilor.
(1)Rezultatele măsurătorii p(s,θ) a sistemului optic de iradiere cu fascicule paraleleEdit
Consideră modelul matematic astfel încât coeficientul de absorbție al obiectului la fiecare (x,y) sunt reprezentate de μ(x,y) și se presupune că „fasciculul de transmisie pătrunde fără difracție, difuzie sau reflexie, deși este absorbit de obiect și se presupune că atenuarea sa are loc în conformitate cu legea Beer-Lambert.În această chestiune, ceea ce dorim să știm” este μ(x,y) și ceea ce putem măsura va fi urmarea p(s,θ).
Când atenuarea este conformă cu legea Beer-Lambert, relația dintre I 0 {\displaystyle {I}_{0}}
și I {\displaystyle I}
este următoarea (ecuația 1) și, prin urmare, absorbanța ( p l {\displaystyle p_{l}}
) de-a lungul traseului fasciculului de lumină (l(t)) este următoarea (ecuația 2). Aici, I 0 {\displaystyle {I}_{0}}
este intensitatea fasciculului de lumină înainte de transmisie I {\displaystyle I}
este intensitatea după transmisie. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{{\dot {l}}(t)|dt}\right)}
(ecuația. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}
(ec. 2)
Aici, o direcție de la sursa de lumină spre ecran este definită ca direcție t, iar cea perpendiculară pe direcția t și paralelă cu ecranul este definită ca direcție s. (Atât sistemul de coordonate t-s, cât și sistemul de coordonate x-y sunt configurate astfel încât să se reflecte reciproc fără transformare prin reflexie în oglindă.)
Prin utilizarea unui sistem optic de iradiere cu fascicule paralele, se poate obține experimental seria de imagini fluoroscopice (o imagine unidimensională” pθ(s) a secțiunii transversale specifice a unui obiect scanat) pentru fiecare θ. Aici, θ reprezintă unghiul dintre obiect și fasciculul de lumină de transmisie. În figura 3, planul X-Y se rotește în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului de origine din plan, în așa fel încât „să se mențină relația de poziție reciprocă între sursa de lumină (2) și ecranul (7) care trece prin traiectoria (5)”. Unghiul de rotație din acest caz este același cu cel menționat mai sus θ.
Fasciculul având un unghi θ,to va fi colecția de layere, reprezentată prin l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
de mai jos (ecuația 3). l ( t ) = t + {\displaystyle {l}_{}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\\\cos \theta \\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \s\sin \theta \\\end{bmatrix}}}}}}
(ec. 3)
Pθ(s) se definește după cum urmează (ecuația 4). Că p θ ( s ) {\displaystyle p_{{\theta }(s)}
este egală cu integrala de linie a lui μ(x,y) de-a lungul lui l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
din (ecuația 3) în același mod ca și în cazul (ecuației 2). Aceasta înseamnă că, p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
din următoarea (ecuația 5) este o rezultantă a transformării Radon a lui μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p_{\theta }(s)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}
(ecuația 4)
Se poate defini următoarea funcție de două variabile (ecuația 5). În acest articol, următoarea p(s, θ) se numește „colecția de imagini fluoroscopice”.
p (s, θ)=pθ(s) (ec. 5)
(2)μ(x, y) se restabilește prin efectuarea transformării radon inverse la rezultatele măsurătorilorEdit
„Ceea ce vrem să știm (μ(x,y))” poate fi reconstruit din „Ceea ce am măsurat ( p(s,θ))” prin utilizarea transformării radon inverse .În descrierile menționate mai sus, „Ceea ce am măsurat” este p(s,θ) . Pe de altă parte, „Ceea ce vrem să știm” este μ(x,y). Așadar, următoarea va fi „Cum să reconstruim μ(x,y) din p(s,θ)”.
.