1 termék került a kosárba.

ORDER STATA

Markov-változó modellek

Miről van szó?

Előfordul, hogy a folyamatok idővel fejlődnek, és a kimenetelek diszkrét változásaival járnak.

Gondoljunk csak a gazdasági recessziókra és expanziókra. A recesszió kezdetén a kibocsátás és a foglalkoztatás csökken és alacsony marad, majd később a kibocsátás és a foglalkoztatás nő. Gondoljunk a bipoláris zavarokra, ahol mániás időszakokat depressziós időszakok követnek, és a folyamat ismétlődik. Statisztikailag az átlagok, varianciák és egyéb paraméterek változnak az egyes epizódok (rezsimek) között. A mi problémánk az, hogy megbecsüljük, mikor változnak a rezsimek és az egyes rezsimekhez tartozó paraméterek értékei. Az a kérdés, hogy mikor változnak a rezsimek, egyenértékű azzal a kérdéssel, hogy meddig tartanak fenn a rezsimek.

A Markov-átmenet modellekben az egyes rezsimek átlagainak, varianciáinak stb. becslése mellett a rezsimváltás valószínűségét is becsüljük. A becsült átmenet valószínűségei valamilyen problémára a következők lehetnek:

Indulás az 1. állapotban. Az 1-es állapotból az 1-es állapotba való átmenet valószínűsége 0,82. Másképpen fogalmazva, ha egyszer az 1. állapotba kerültünk, a folyamat hajlamos ott maradni. A folyamat azonban 0,18 valószínűséggel lép át a 2. állapotba. A 2. állapot nem olyan tartós. A folyamatok 0,75 valószínűséggel térnek vissza a 2. állapotból az 1. állapotba a következő időszakban.

A Markov-váltó modellek nem korlátozódnak két rezsimre, bár a kétrezsimes modellek gyakoriak.

A fenti példában a váltást hirtelen váltásnak írtuk le; a valószínűség azonnal megváltozott. Az ilyen Markov-modelleket dinamikus modelleknek nevezzük. A Markov-modellek simább változásokat is képesek befogadni, ha az átmeneti valószínűségeket autoregresszív folyamatként modellezzük.

Így a váltás lehet sima vagy hirtelen.

Lássuk, hogyan működik

Nézzük meg a rezsimek közötti átlagos változásokat. Különösen a Federal Funds Rate-t fogjuk elemezni. A Federal Funds Rate az a kamatláb, amelyet az Egyesült Államok központi bankja a kereskedelmi bankoknak az egynapos hitelekért felszámít. A Federal Funds Rate változását 1954-től 2010 végéig fogjuk megvizsgálni. Itt vannak az adatok:

Negyedéves adatokkal rendelkezünk. Úgy tűnik, hogy a magas kamatlábak a hetvenes és nyolcvanas éveket jellemzik. Feltételezzük, hogy van egy másik rendszer az alacsonyabb kamatlábakra, amelyek úgy tűnik, hogy a többi évtizedet jellemzik.

Egy dinamikusan váltakozó (abrupt-change) modell illesztéséhez két rezsimmel, írjuk be a

. mswitch dr fedfundsPerforming EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-switching dynamic regressionMinta: 1954q3 – 2010q4 No. of obs = 226Number of states = 2 AIC = 4,5455Unconditional probabilities: transition HQIC = 4,5760 SBIC = 4,6211Log likelihood = -508.63592

A fenti kimenetben jelentett

• a két állapot átlaga (_cons);
• a teljes folyamatra vonatkozó egyetlen szórás (sigma); és
• az 1-es állapot 1-be és a 2-es állapot 1-be való átmenet valószínűsége (p11 és p21).

Az 1-es állapot a közepes arányú állapot (átlaga 3,71%).

Az állapot2 a nagy valószínűségű állapot (átlagosan 9,56%).

Mindkét állapot hihetetlenül tartós (1->1 és 2->2 valószínűsége 0,98 és 0,95).

A becslés után többek között a különböző állapotokban való tartózkodás valószínűségét lehet megjósolni. Nekünk csak két állapotunk van, így a (mondjuk) 2-es állapotban való tartózkodás valószínűsége mindkét állapot valószínűségét megmondja. Megkaphatjuk a megjósolt valószínűséget, és az eredeti adatokkal együtt grafikonon ábrázolhatjuk:

. predict prfed, pr

A modellben minden időpontban kevés a bizonytalanság a rendszerrel kapcsolatban. Három időszakot látunk a magas rátájú állapotokkal és négy időszakot a közepes rátájú állapotokkal.

Lássuk, hogyan működik

Nézzünk egy példát a betegségek kitörésére, nevezetesen a 10 000 lakosra jutó mumpszot New Yorkban 1929 és 1972 között. Azt gondolhatnánk, hogy a járványkitörések megfelelnek az átlagváltozásnak, de amit az adatokban látunk, az a variancia még nagyobb változása:

Az S12.mumpspc változót, vagyis az egy főre jutó szezonálisan differenciált mumpszes eseteket grafikonoztuk egy 12 hónapos időszak alatt, és az S12.mumpspc-t fogjuk elemezni.

Két rezsimet fogunk feltételezni, amelyekben az S12.mumpspc átlaga és varianciája változik. A dinamikus (abrupt-change) modell illesztéséhez a

. mswitch dr S12.mumpspc, varswitch switch(LS12.mumpspc, noconstant)Performing EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-váltó dinamikus regresszióMinta: 1929m2 – 1972m6 No. of obs = 521Number of states = 2 AIC = -0.4826Unconditional probabilities: transition HQIC = -0.4634 SBIC = -0.4336Log likelihood = 131.7225

Jelentjük

• az S12 két állapotának átlagait.mumpspc (0,42 és 0,98);
• a két állapot szórása (0,06 és 0,26); és
• az 1-es állapot 1-be és a 2-es állapot 1-be való átmenet valószínűsége (0,76 és 0,15).

Az 1-es állapot az alacsony szórású állapot.

Az átmenet valószínűségeinek teljes halmaza a következő: