Variációszámítás
A 17. század végének nagy részét és a 18. század elejének jó részét Newton és Leibniz tanítványainak munkája foglalta le, akik a fizika, a csillagászat és a mérnöki tudományok számos problémájának megoldására alkalmazták a számtanra vonatkozó elképzeléseiket.
A korszakot azonban egy család, a svájci Bázelben élő Bernoulli család uralta, amely két-három generációnyi kivételes matematikussal büszkélkedhetett, különösen a testvérek, Jacob és Johann. Nagyrészt ők voltak felelősek Leibniz infinitezimális számtanának továbbfejlesztéséért – különösen a “variációszámítás” néven ismert számtan általánosítása és kiterjesztése révén -, valamint Pascal és Fermat valószínűség- és számelméletéért.
Bázel volt a szülővárosa a 18. század legnagyobb matematikusának, Leonhard Eulernek is, bár Euler – részben a Bernoulli család által uralt városban való boldogulás nehézségei miatt – ideje nagy részét külföldön töltötte, Németországban és az oroszországi Szentpéterváron. A matematika minden területén jeleskedett, a geometriától a számtanon át a trigonometrián és az algebrán át a számelméletig, és képes volt váratlan kapcsolatokat találni a különböző területek között. Hosszú tudományos élete során számos tételt bizonyított, új módszereket vezetett be, egységesítette a matematikai jelöléseket, és számos befolyásos tankönyvet írt.
A német matematikus Christian Goldbach 1742-ben Eulernek írt levelében felvetette a Goldbach-sejtést, amely szerint minden 2-nél nagyobb páros egész szám kifejezhető két prímszám összegeként (e.pl. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; stb.), vagy egy másik egyenértékű változat szerint minden 5-nél nagyobb egész szám kifejezhető három prímszám összegeként. Még egy másik változat az úgynevezett “gyenge” Goldbach-sejtés, miszerint minden 7-nél nagyobb páratlan szám három páratlan prímszám összege. Ezek továbbra is a számelmélet (és az egész matematika) legrégebbi megoldatlan problémái közé tartoznak, bár úgy tűnik, hogy a sejtés gyenge formája közelebb áll a megoldáshoz, mint az erős. Goldbach más számelméleti tételeket is bizonyított, például a tökéletes hatványokra vonatkozó Goldbach-Euler-tételt.
Euler és Bernoullis dominanciája ellenére a 18. századi matematikában sok más fontos matematikus Franciaországból származott. A század elején Abraham de Moivre talán a legismertebb de Moivre képlete, a (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), amely összekapcsolja a komplex számokat és a trigonometriát. De ő általánosította Newton híres binomiális tételét is a multinomiális tételre, úttörő szerepet játszott az analitikus geometria fejlesztésében, és nagy jelentőségűek voltak a normális eloszlással (ő adta meg először a normális eloszlásgörbe képletét) és a valószínűségelmélettel kapcsolatos munkái.
A század vége felé Franciaország még inkább előtérbe került, és ezen a ponton különösen a 18. század végi francia matematikusok egy maroknyi csoportja érdemel említést, kezdve a “három L-vel”.
Joseph Louis Lagrange Eulerrel dolgozott együtt egy fontos közös munkában a variációszámításról, de hozzájárult a differenciálegyenletekhez és a számelmélethez is, és általában neki tulajdonítják a csoportok elméletének megalkotását, amely a 19. és 20. századi matematikában oly fontossá vált. Nevéhez fűződik egy korai csoportelméleti tétel, amely kimondja, hogy egy véges csoport minden alcsoportjának elemszáma egyenletesen oszlik meg az eredeti véges csoport elemszámaival.
Lagrange középértéktétele
Lagrange középértéktétele
Lagrange nevéhez fűződik a négynégyzet-tétel is, amely szerint bármely természetes szám ábrázolható négy négyzet összegeként (e.pl. 3 = 12 + 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 22 + 12; stb.), valamint egy másik tételt, amelyet zavaróan Lagrange-tételnek vagy Lagrange középérték-tételnek is neveznek, és amely kimondja, hogy egy sima folytonos (differenciálható) görbe egy szakasza esetén a szakasznak van legalább egy olyan pontja, ahol a görbe deriváltja (vagy meredeksége) egyenlő (vagy párhuzamos) a szakasz átlagos (vagy átlagos) deriváltjával. Lagrange 1788-as, az analitikus mechanikáról szóló értekezése Newton óta a klasszikus mechanika legátfogóbb feldolgozását nyújtotta, és alapját képezte a matematikai fizika 19. századi fejlődésének.
Pierre-Simon Laplace, akit néha “a francia Newton”-ként emlegetnek, jelentős matematikus és csillagász volt, akinek monumentális műve, az “Égi mechanika” a klasszikus mechanika geometriai vizsgálatát a számításon alapulóra fordította, és ezzel a problémák sokkal szélesebb körét nyitotta meg. Bár korai munkássága főként a differenciálegyenletekkel és a véges differenciákkal foglalkozott, már az 1770-es években elkezdett gondolkodni a valószínűség és a statisztika matematikai és filozófiai fogalmain, és Thomas Bayes-től függetlenül kidolgozta a valószínűség úgynevezett bayesi értelmezésének saját változatát. Laplace közismert arról, hogy hitt a teljes tudományos determinizmusban, és azt vallotta, hogy léteznie kell egy sor olyan tudományos törvénynek, amely lehetővé teszi, hogy – legalábbis elvileg – mindent megjósoljunk az univerzummal és annak működésével kapcsolatban.
Az első hat Legendre-polinom
Az első hat Legendre-polinom (a Legendre-féle differenciálegyenlet megoldásai)
Adrien-Marie Legendre a statisztika, a számelmélet területén is jelentős eredményeket ért el, az absztrakt algebrához és a matematikai analízishez a 18. század végén és a 19. század elején, bár munkásságának nagy részét (például a legkisebb négyzetek módszerét a görbék illesztésére és a lineáris regresszióra, a kvadratikus reciprocitási törvényt, a prímszámtételt és az elliptikus függvényekkel kapcsolatos munkáit) csak mások, különösen Gauss vitte tökélyre – vagy legalábbis általános figyelemre -. “A geometria elemei” című műve, amely Euklidész könyvének átdolgozása, majdnem 100 évig a vezető geometriai tankönyv lett, és a földi hosszúsági kör rendkívül pontos mérése inspirálta a metrikus mérték- és súlyrendszer megalkotását és szinte általános elfogadását.
Még egy másik francia, Gaspard Monge volt a leíró geometria feltalálója, a háromdimenziós tárgyak kétdimenziós síkra való vetítéssel történő ábrázolásának egy okos módszere, amely egy meghatározott eljárásrendet alkalmazva, később a mérnöki, építészeti és tervezési területeken vált fontossá. Az ő ortográfiai vetülete lett az a grafikai módszer, amelyet szinte minden modern gépészeti rajzban használnak.
Az egyre pontosabb közelítések sok évszázada után Johann Lambert svájci matematikus és neves csillagász 1761-ben végre szigorúan bizonyította, hogy a π irracionális, azaz nem fejezhető ki egyszerű törtként, csak egész számokat használva, vagy végződő vagy ismétlődő tizedesjegyként. Ezzel végérvényesen bebizonyosodott, hogy soha nem lehet pontosan kiszámítani, bár az egyre pontosabb közelítések megszerzésének megszállottsága a mai napig tart. (Több mint száz évvel később, 1882-ben Ferdinand von Lindemann bebizonyította, hogy π transzcendens is, azaz nem lehet gyöke egyetlen racionális együtthatójú polinomegyenletnek sem). Lambert volt az első, aki bevezette a hiperbolikus függvényeket a trigonometriába, és tett néhány előrelátó feltevést a nem-euklideszi térrel és a hiperbolikus háromszögek tulajdonságaival kapcsolatban.
| << Vissza Leibnizhez | Előre a Bernoulli testvérekhez >> |