A szűrt visszavetítés technikája az egyik legelterjedtebb algoritmikus technika erre a problémára. Koncepcionálisan egyszerű, hangolható és determinisztikus. Számítási szempontból is igénytelen, a modern szkennerek mindössze néhány milliszekundumot igényelnek képenként.azonban nem ez az egyetlen elérhető technika: az eredeti EMI-szkenner a tomográfiás rekonstrukciós problémát lineáris algebrával oldotta meg, de ezt a megközelítést a magas számítási komplexitás korlátozta, különösen az akkoriban rendelkezésre álló számítástechnika mellett. A közelmúltban a gyártók iteratív fizikai modell alapú maximális valószínűségű várakozásmaximalizálási technikákat fejlesztettek ki. Ezek a technikák azért előnyösek, mert a szkenner fizikai tulajdonságainak és a röntgensugarak kölcsönhatásának fizikai törvényszerűségeinek belső modelljét használják. A korábbi módszerek, mint például a szűrt visszavetítés, tökéletes szkennert és erősen leegyszerűsített fizikát feltételeznek, ami számos lelethez, nagy zajhoz és csökkent képfelbontáshoz vezet. Az iteratív technikák jobb felbontású, kisebb zajjal és kevesebb artefaktummal rendelkező képeket eredményeznek, valamint bizonyos körülmények között nagymértékben csökkenthetik a sugárdózist. Hátránya a nagyon magas számítási igény, de a számítástechnika és a nagy teljesítményű számítási technikák fejlődése, például a nagy párhuzamosságú GPU-algoritmusok vagy speciális hardverek, például FPGA-k vagy ASIC-ek használata ma már lehetővé teszi a gyakorlati alkalmazást.
AlapelvSzerkesztés
Ez a szakasz a tomográfia alapelvét ismerteti abban az esetben, amikor kifejezetten a párhuzamos sugárzási optikai rendszert használó tomográfiát alkalmazzuk.
A tomográfia olyan technológia, amely tomográfiai optikai rendszert használ, hogy virtuális “szeleteket” (tomográfiai képet) kapjon egy szkennelt tárgy meghatározott keresztmetszetéről, lehetővé téve a felhasználó számára, hogy vágás nélkül belelásson a tárgy belsejébe. Többféle tomográfiai optikai rendszer létezik, köztük a párhuzamos sugárzással működő optikai rendszer. A párhuzamos sugárzási optikai rendszer lehet a legegyszerűbb és legpraktikusabb példa a tomográfiai optikai rendszerre, ezért ebben a cikkben a “Hogyan kapunk tomográfiai képet” magyarázata a “párhuzamos sugárzási optikai rendszeren” alapul. A tomográfiában a felbontást jellemzően a Crowther-kritériummal írják le.
A 3. ábra a matematikai modell illusztrálására és a tomográfia elvének szemléltetésére szolgál. A 3. ábrán az alany (x, y) keresztmetszeti koordinátájánál az abszorpciós együtthatót μ(x, y)-ként modellezzük. A fenti feltételezéseken alapuló megfontolás a következő tételeket tisztázhatja. Ezért ebben a szakaszban a magyarázat a következő sorrendben halad előre:
- (1)A mérési eredményeket, azaz az áteresztett fény által kapott képsorozatot p (s,θ) függvényként fejezik ki (modellezik), amelyet a μ(x, y) radon-transzformáció elvégzésével kapunk, és
- (2)μ(x, y) a mérési eredmények inverz radon-transzformációjának elvégzésével állítják vissza.
(1)A párhuzamos sugarú besugárzó optikai rendszer p(s,θ) mérési eredményeiSzerkesztés
A matematikai modellt úgy tekinti, hogy a tárgy abszorpciós együtthatóját minden (x,y) pontban μ(x,y) képviseli, és feltételezzük, hogy “az átviteli sugár diffrakció, diffúzió vagy reflexió nélkül hatol át, bár a tárgy elnyeli, és a csillapítása a Beer-Lambert-törvénynek megfelelően feltételezhető.Ebben a kérdésben, amit tudni akarunk” az μ(x,y), és amit mérni tudunk, az a következő lesz p(s,θ).
Ha a csillapítás a Beer-Lambert-törvénynek megfelelő, az I 0 {\displaystyle {I}_{0}}} közötti összefüggés.
és I {\displaystyle I}
a következő (1. egyenlet), és ezért az abszorbancia ( p l {\displaystyle p_{l}}
) a fénysugár útja (l(t)) mentén a következő (2. egyenlet). Itt az I 0 {\displaystyle {I}_{0}}}
a fénysugár intenzitása az átvitel előtt I {\displaystyle I}
az átvitel utáni intenzitás. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)}
(egyenlet. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}
(egyenlet. 2)
Itt a fényforrástól a képernyő felé mutató irányt t iránynak, a t irányra merőleges és a képernyővel párhuzamos irányt pedig s iránynak nevezzük. (Mind a t-s, mind az x-y koordinátarendszer úgy van beállítva, hogy tükörreflexiós transzformáció nélkül tükrözik egymást.)
Párhuzamos sugarú besugárzó optikai rendszer alkalmazásával kísérletileg megkaphatjuk a fluoroszkópiai képek sorozatát (a pθ(s) egydimenziós kép” a letapogatott tárgy meghatározott keresztmetszetéről) minden θ. Itt θ a tárgy és a transzmissziós fénysugár közötti szöget jelenti. A 3. ábrán az X-Y sík az óramutató járásával ellentétes irányban forog a sík origópontja körül oly módon, “hogy a fényforrás (2) és a fénysugár (7) közötti kölcsönös helyzeti kapcsolat megmaradjon a pályán (5) áthaladó képernyő (7) között”. A forgási szög ebben az esetben megegyezik a fent említett θ-vel.
A θ szöggel rendelkező sugárnyaláb,to lesz a lájkok gyűjteménye, amelyet az l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)} ábrázol.
a következő (3. egyenlet). l ( t ) = t + {\displaystyle {l}_{}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\\\cos \theta \\\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\\\s\sin \theta \\\\\\end{bmatrix}}}
(eq. 3)
A pθ(s) meghatározása a következő (4. egyenlet). Ez a p θ ( s ) {\displaystyle p_{\theta }(s)}
egyenlő μ(x,y) l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)} mentén vett vonalintegráljával.
a (3. egyenletből) a (2. egyenlethez hasonló módon.) Ez azt jelenti, hogy p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
a következő (5. egyenlet) μ(x,y) Radon-transzformációjának eredője. p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p_\theta }(s)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}}
(4. egyenlet)
Meghatározhatjuk a következő két változó függvényét (5. egyenlet). Ebben a cikkben a következő p(s, θ) a “fluoroszkópos képek gyűjteménye”.
p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) a mérési eredmények inverz radon-transzformációjának elvégzésével állítható visszaSzerkesztés
“Amit tudni akarunk (μ(x,y))” rekonstruálható “Amit mértünk ( p(s,θ))” az inverz radon-transzformáció alkalmazásával .A fent említett leírásokban “Amit mértünk” a p(s,θ) . Másrészt “Amit tudni akarunk” az μ(x,y). Tehát a következő az lesz, hogy “Hogyan rekonstruáljuk μ(x,y) értékét p(s,θ) értékéből”.