Valószínűleg százszor találkozott már egyoldalú tárgyakkal a mindennapokban – például az újrahasznosítás univerzális szimbólumával, amely az alumíniumdobozok és műanyag palackok hátuljára van nyomtatva.
Ezt a matematikai objektumot Mobius szalagnak nevezik. Azóta lenyűgözte a környezetvédőket, művészeket, mérnököket, matematikusokat és sok mást, amióta 1858-ban felfedezte August Möbius német matematikus, aki 150 éve, 1868. szeptember 26-án halt meg.
Möbius 1858-ban fedezte fel az egyoldalú csíkot, miközben a lipcsei egyetem csillagászati és magasabb mechanikai tanszékén dolgozott. (Egy másik, Listing nevű matematikus néhány hónappal korábban valóban leírta, de munkáját csak 1861-ben publikálta.) Úgy tűnik, Möbius akkor találkozott a Möbius-szalaggal, amikor a poliéderek – csúcsokból, élekből és lapos felületekből álló szilárd testek – geometriai elméletén dolgozott.
A Möbius-szalagot úgy lehet létrehozni, hogy veszünk egy papírcsíkot, páratlan számú félcsavart teszünk rá, majd a végeket ismét összefogjuk, és hurkot alkotunk. Ha fogunk egy ceruzát, és húzunk egy vonalat a csík közepe mentén, láthatjuk, hogy a vonal látszólag a hurok mindkét oldalán végigfut.
Az egyoldalú tárgy koncepciója olyan művészeket inspirált, mint M. C. Escher holland grafikus, akinek “Möbius Strip II” című fametszete vörös hangyákat ábrázol, amelyek egymás után kúsznak egy Möbius-szalag mentén.
A Möbius-szalagnak nem csak egy meglepő tulajdonsága van. Próbáljuk meg például fogni egy ollót, és az imént rajzolt vonal mentén kettévágni a szalagot. Meglepődve tapasztalhatod, hogy nem két kisebb egyoldalas Möbius-csíkot kapsz, hanem egy hosszú kétoldalas hurkot. Ha nincs kéznél egy darab papír, Escher “Möbius-szalag I” című fametszete megmutatja, mi történik, ha egy Möbius-szalagot a középvonala mentén vágunk el.
Míg a szalagnak kétségtelenül van vizuális vonzereje, legnagyobb hatása a matematikában volt, ahol hozzájárult egy egész terület, a topológia fejlődéséhez.
A topológus a tárgyak olyan tulajdonságait tanulmányozza, amelyek megmaradnak, ha mozgatják, hajlítják, nyújtják vagy csavarják őket, anélkül, hogy a részeket elvágnák vagy összeragasztanák. Például egy összegabalyodott fülhallgató pár topológiai értelemben ugyanaz, mint egy össze nem gabalyodott fülhallgató pár, mert az egyiket a másikra cserélve csak mozgatni, hajlítani és csavarni kell. A kettő közötti átalakuláshoz nincs szükség vágásra vagy ragasztásra.
Egy másik topológiailag azonos tárgypár egy kávéscsésze és egy fánk. Mivel mindkét tárgynak csak egy lyuk van, az egyiket a másikba lehet deformálni pusztán nyújtással és hajlítással.
A lyukak száma egy tárgyban olyan tulajdonság, amelyet csak vágással vagy ragasztással lehet megváltoztatni. Ez a tulajdonság – amelyet egy tárgy “genusának” nevezünk – lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy egy pár fülhallgató és egy fánk topológiailag különbözik egymástól, mivel a fánknak egy lyuk van, míg egy pár fülhallgatónak nincs lyuk.
Egy Möbius-szalag és egy kétoldalas hurok, mint például egy tipikus szilikonos tudatossági karszalag, sajnos mindkettőnek látszólag egy lyuk van, így ez a tulajdonság nem elegendő a megkülönböztetésükhöz – legalábbis a topológus szemszögéből.
Ehelyett azt a tulajdonságot, amely megkülönbözteti a Möbius-szalagot a kétoldalas hurkától, orientálhatóságnak nevezzük. A lyukak számához hasonlóan egy objektum orientálhatóságát is csak vágással vagy ragasztással lehet megváltoztatni.
Képzeljük el, hogy írunk magunknak egy jegyzetet egy átlátszó felületre, majd sétálunk egyet ezen a felületen. A felület akkor orientálható, ha a sétából visszatérve mindig el tudod olvasni a jegyzetet. Egy nem orientálható felületen előfordulhat, hogy a sétából visszatérve csak azt látod, hogy az általad írt szavak látszólag tükörképükké váltak, és csak jobbról balra olvashatók. A kétoldalas hurokon a jegyzet mindig balról jobbra olvasható, függetlenül attól, hogy merre vezetett az útja.
Mivel a Möbius-szalag nem orientálható, míg a kétoldalas hurok orientálható, ez azt jelenti, hogy a Möbius-szalag és a kétoldalas hurok topológiailag különbözik egymástól.
Az orientálhatóság fogalmának fontos következményei vannak. Vegyük az enantiomereket. Ezek a kémiai vegyületek egy kulcsfontosságú különbség kivételével azonos kémiai szerkezetűek: Egymás tükörképei. Például az L-metamfetamin nevű vegyi anyag a Vicks párainhalátorok egyik összetevője. Tükörképe, a D-metamfetamin az A osztályba tartozó illegális kábítószer. Ha egy nem orientálható világban élnénk, ezek a vegyi anyagok megkülönböztethetetlenek lennének.
August Möbius felfedezése új utakat nyitott a természet tanulmányozására. A topológia tanulmányozása továbbra is megdöbbentő eredményeket produkál. Tavaly például a topológia segítségével a tudósok furcsa új anyagállapotokat fedeztek fel. Az idei Fields-érmet, a matematika legmagasabb kitüntetését Akshay Venkatesh matematikus kapta, aki segített integrálni a topológiát más területekkel, például a számelmélettel.