|
A kép a |
Ha sosem gondolta volna, hogy a szexuális vonzerő matematikailag is kiszámítható, gondolja megint. A hím fiddler rákok (Uca pugnax) rendelkeznek egy megnagyobbított nagy karmal, amellyel más hímek harcolnak vagy fenyegetőznek. Ráadásul a nagyobb karmokkal rendelkező hímek több nőstény társat vonzanak. Egy adott rákfaj nemi vonzerejét (karmának méretét) a következő allometrikus egyenlet határozza meg: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
|
|
Mi az allometria?
Az allometria egy tulajdonság arányának egy másik tulajdonsághoz viszonyított relatív változásának vizsgálata a szervezet növekedése során. Ezek az attribútumok lehetnek morfológiai, fiziológiai vagy más jellegűek. Az allometrikus kapcsolat jól ismert példája a csontváz tömege és a testtömeg. Konkrétan, egy nagyobb szervezet csontváza viszonylag nehezebb lesz, mint egy kisebb szervezeté. Természetesen nyilvánvalónak tűnik, hogy a nehezebb szervezeteknek nehezebb csontvázra van szükségük. De vajon ugyanilyen egyértelmű-e, hogy a nehezebb szervezeteknek aránytalanul nehezebb csontvázra van szükségük? Hogyan működik ez az összefüggés? Tekintsük a következő adatokat:
- egy 10 kg-os szervezetnek 0,75 kg-os csontvázra lehet szüksége,
- egy 60 kg-os szervezetnek 5,3 kg-os csontvázra, és még
- egy 110 kg-os szervezetnek 10,2 kg-os csontvázra lehet szüksége.
Amint e számokat megvizsgálva láthatjuk, a nehezebb testeknek viszonylag izmosabb csontvázra van szükségük ahhoz, hogy megtartsák őket. A csontváz tömege nem növekszik állandóan a testtömeg minden 50 kg-os növekedése esetén; a csontváz tömege a testtömeggel arányosan növekszik .
Az allometrikus skálázási törvények empirikus adatokból származnak. Az e törvények feltárásában érdekelt tudósok számos taxonban mérnek egy közös jellemzőt, például a felnőtt emlősök testtömegét és agyméretét . Ezután az adatokból összefüggéseket keresnek, amelyekből egyenleteket írnak.
Allometrikus növekedés
Allometrikus skálázódási összefüggések leírhatók egy allometrikus egyenlet segítségével, amely a következő formájú, f (s) = c s d,
(1) ahol c és d konstansok. Az s és f (s) változók a két különböző tulajdonságot képviselik, amelyeket összehasonlítunk (pl. testtömeg és csontváztömeg). Ez az egyenlet használható két attribútum közötti kapcsolat megértéséhez. Pontosabban, a d konstans ebben a modellben meghatározza az s és f (s) által reprezentált két attribútum relatív növekedési sebességét. Az egyszerűség kedvéért tekintsük csak a d > 0 esetet.
- Ha d > 1, akkor az f (s) által adott attribútum aránytalanul nő az s által adott attribútumhoz képest. Például, ha s a testméretet képviseli, akkor f (s) nagyobb testek esetén relatíve nagyobb, mint kisebb testek esetén.
- Ha 0 < d < 1, akkor az f (s) attribútum az s attribútummal együtt nő, de az arányosságnál lassabban.
- Ha d = 1, akkor az f (s) attribútum az s attribútum állandó arányában változik. Ezt a speciális esetet nem allometriának, hanem izometriának nevezzük.
Allometrikus egyenletek használata
Megjegyezzük, hogy (1) egy hatványfüggvény és nem egy exponenciális egyenlet (az s változó helyett a d állandó áll az exponens helyén). Más alkalmazásokkal ellentétben, ahol logaritmusokra van szükségünk az egyenlet megoldásához, itt logaritmusokat használunk, hogy az allometrikus egyenletet lineáris egyenletté egyszerűsítsük.
Így működik
Az (1) egyenletet átírjuk logaritmikus egyenletként a következő alakban:
log (f (s)) = log (c s d). (2) Ezután a logaritmusok tulajdonságait felhasználva a (2)-t a következőképpen rendezhetjük át, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Ha a változókat hagyással változtatjuk,
= log f, = log c, = d, = log s. láthatjuk, hogy (3) valójában a lineáris egyenlet = mx + b. (4) Ezért egy allometrikus egyenletet logaritmikus megfelelőjévé alakítva lineáris egyenletet kapunk.
Miért bajlódunk?
Az allometrikus egyenlet logaritmikus egyenletbe való átírásával egy kísérleti adatsorból könnyen kiszámíthatjuk a c és d konstansok értékét. Ha az x tengelyen log s-t, az y tengelyen pedig log f-et ábrázolunk, akkor egy olyan egyenest kell látnunk, amelynek meredeksége egyenlő d-vel, y-interceptusa pedig egyenlő log c-vel. Ne feledjük, hogy az x és y változók valóban logaritmikus skálán vannak (mivel x = log s és y = log f). Az ilyen ábrát log-log ábrának nevezzük.
Mivel az allometrikus egyenletek empirikus adatokból származnak, óvatosnak kell lennünk a log-log diagram xy-síkjában a legjobb illeszkedés vonala körül elszórt adatokkal. A legjobb illeszkedés vonalától való kis eltérések valójában nagyobbak, mint amilyennek látszanak. Ne feledje, mivel az x és y változók logaritmikus skálán vannak, a kimeneti változók (x és y) lineáris változásai a bemeneti változók (f (s) és s) exponenciális változásainak felelnek meg. Mivel végső soron az f és s közötti összefüggés érdekel bennünket, a legjobb illeszkedési egyenestől való kis eltérésekkel is foglalkoznunk kell.
Most térjünk vissza a hegedűs rákunkhoz, mint konkrét példához.