Fő tehetetlenségi momentumok
Mint a tehetetlenségi tenzorban látható, egy merev test szögnyomatéka a helyi vonatkoztatási rendszer origójához képest a következőképpen fejezhető ki
Ha véletlenül, az ábrán látható tehetetlenségi tenzor összes nem diagonális tagja nulla lesz, tovább egyszerűsíthető
Ez akkor történhet meg, ha a helyi vonatkoztatási rendszer tengelyeit úgy igazítjuk, hogy a test tömege egyenletesen oszlik el a tengelyek körül, így a tehetetlenségi tagok szorzata mind eltűnik. Az in ábrázolt tehetetlenségi tenzor nem nulla átlós tagjait a tárgy fő tehetetlenségi nyomatékainak nevezzük.
Top
Főtengelyek
Mint az in ábrán látható, nem biztos, hogy a szögnyomatékvektor iránya megegyezik a szögsebességvektoréval. Ez problémát okoz: ha a szögimpulzus iránya folyamatosan változik, akkor olyan nyomaték alakul ki, amely végül a forgástengelyt elmozdulásra kényszeríti. Ez a fő oka annak, hogy a forgó alkatrészeket tartalmazó gépekben kopás és rezgés keletkezik.
De néhány speciális esetben a következő feltétel is érvényesülhet, így a szögimpulzus és a sebességvektorok azonos irányt mutatnak:
ahol I = a test egyenértékű skaláris tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül. A test bármely elégséges forgástengelyét főtengelynek nevezzük. Egy háromdimenziós testnek egy csoport főtengelye van (elméletileg 3). Például az 1. ábrán látható rendszernek három egymásra merőleges főtengelye van.
Az 1. ábra
alapvetően azt mondja, hogy a tehetetlenségi tenzor helyettesíthető egyetlen skaláris tehetetlenségi nyomatékkal, ha a forgástengely egy főtengely.
Top
A tehetetlenségi tenzor diagonalizálása
Az :
Or egyszerűsíthető
ahol 1 = az identitásmátrix. I látható a nevezzük sajátértéknek, míg w a sajátvektor. a sajátérték-egyenlet.
Hogy ne legyen nemtriviális megoldás, az együtthatók determinánsának el kell tűnnie:
vezet a szekuláris egyenlethez, amely alapvetően köbös, tehát három gyökkel (sajátértékkel) rendelkezik: I1, I2 & I3. Minden gyök megfelel egy főtengely körüli tehetetlenségi nyomatéknak. Valójában a három gyök a :
-ban bevezetett merev test fő tehetetlenségi nyomatékait adja. Legyen
ahol n = a főtengely egységvektora, tehát,
Az & :
Minden egyes sajátértékre kiszámíthatjuk a megfelelő nx, ny & nz-t &-ból . Ennek során figyelni kell a sajátvektor irányára.
A mozgáselemzésben a testszegmensek tehetetlenségi tulajdonságaiból megkaphatók a fő tehetetlenségi nyomatékok. Az egyes szegmensek I1, I2 & I3 jellemzői általában ismertek. Az adatok a görbületi sugarak arányai (a görbületi sugár és a szegmens hosszának hányadosa), regressziós egyenletek és skálázási együtthatók formájában állnak rendelkezésre. A testszegmensek fő tehetetlenségi nyomatékait néhány geometriai alakzat felhasználásával történő modellezéssel is ki lehet számítani. A részletekért lásd: Individualizált BSP-becslés.
Top