A fizika egyik legalapvetőbb fogalma az energia. Nehéz meghatározni, hogy mi is az energia valójában, de egy hasznos definíció lehet a következő: “egy rendszerben végbemenő változás mértékegysége, vagy a rendszerben végbemenő változás lehetősége”.
Gyakorlatilag az energia két formára osztható, a kinetikus és a potenciális energiára. A mozgási energia a mozgás vagy a változás energiája. A potenciális energia az az energia, amellyel egy rendszer rendelkezik, mivel képes valamilyen változáson keresztülmenni. Egy konkrét példával élve, egy zuhanó könyvnek kinetikus energiája van, mivel a térbeli helyzete változik (lefelé mozog). Egy polcon nyugvó könyvnek nincs potenciális energiája a polchoz képest, mivel a polchoz képest nulla méter magasan van. Ha azonban a könyvet valamilyen magasságba emeljük a polc fölé, akkor potenciális energiája arányos azzal a magassággal, amelyen a polc fölött tartózkodik.
Egy tárgy egyszerre rendelkezhet mozgási és potenciális energiával. Például egy tárgy, amelyik zuhan, de még nem érte el a földet, rendelkezik mozgási energiával, mert lefelé mozog, és potenciális energiával, mert még tovább tud lefelé mozogni, mint amennyit már elért. Egy tárgy potenciális és kinetikus energiájának összegét nevezzük a tárgy mechanikai energiájának.
Amint egy tárgy esik, a potenciális energiája csökken, míg a kinetikus energiája nő. A potenciális energia csökkenése pontosan megegyezik a kinetikus energia növekedésével.
A másik fontos fogalom a munka. Hasonlóan ahhoz, ahogyan az energiát definiáltuk, a munkát úgy határozhatjuk meg, mint “az energia alkalmazásával egy rendszerben előidézett változás mértékét”. Például munkát végezhetünk egy könyvvel, ha felvesszük a padlóról és felrakjuk egy polcra. Ezzel megnövelted a könyv potenciális energiáját (azáltal, hogy megnövelted a könyv potenciálját, hogy a padlóra essen). Az a potenciális energia, amelyet a könyvnek “adtál”, pontosan megegyezik azzal a munkával, amelyet a könyv polcra emelésével végeztél.
Matematikailag azonban az energiát nagyon könnyű meghatározni. A mozgási energia 1/2 m v^2. A potenciális energia egy kicsit trükkösebb. Tegyük fel, hogy van egy erőnk, amit felírhatunk gradiensnek (egy háromdimenziós deriváltnak. Ha nem tudod, hogy mi az, tegyél úgy, mintha ez egy normál derivált lenne, és máris megértheted a dolgokat egy dimenzióban.) valamilyen függvény, ϕ {\displaystyle \phi } gradiens. 
Könnyedén megfogalmazhatjuk a következő elvet, amely zárt rendszerekre vonatkozik (vagyis amikor nincsenek kölcsönhatások a rendszeren kívüli dolgokkal):
Minden zárt rendszerben lejátszódó fizikai folyamatban a mozgási energia változásának mértéke megegyezik a potenciális energia változásának mértékével. Ha a mozgási energia nő, a potenciális energia csökken, és fordítva.
Ha nyitott rendszereket tekintünk (vagyis amikor kölcsönhatások vannak a rendszeren kívüli dolgokkal), akkor lehetséges, hogy energiát adunk a rendszerhez (azáltal, hogy munkát végzünk rajta), vagy elveszünk a rendszerből (azáltal, hogy a rendszer munkát végez). Ebben az esetben a következő szabály érvényes:
A rendszer teljes energiája (kinetikus plusz potenciális) a rendszerben végzett munkával nő, és a rendszerben végzett munkával csökken.
Ez elvezet bennünket az energia és más mennyiségek megőrzésének megfontolásához.
Sok esetben “azt kapod ki, amit beleteszel”.
Ha 3 pár zoknit teszel egy üres szárítóba, nem kell elemezned a szárító pontos konfigurációját, a hőmérsékleti profilt vagy más dolgokat ahhoz, hogy kitaláld, hány zokni fog kijönni a szárítóból. 3 pár zokni fog kijönni.
A megőrzési törvény a legáltalánosabb formájában egyszerűen azt mondja ki, hogy egy zárt rendszeren belül valamilyen mennyiség teljes mennyisége nem változik. A fenti példában a megőrzött mennyiség a zokni, a rendszer a szárító, és a rendszer mindaddig zárt, amíg senki nem tesz zoknit a szárítóba, illetve nem vesz ki zoknit a szárítóból. Ha a rendszer nem zárt, mindig tekinthetünk egy nagyobb rendszert, amely zárt, és amely magában foglalja az eredetileg vizsgált rendszert (pl. a házat, amelyben a szárító található), még akkor is, ha szélsőséges esetben ez oda vezethet, hogy az egész Univerzumban lévő zoknik (vagy bármi más) számát kell figyelembe vennünk!
A megőrzési törvények segítenek a problémák gyors megoldásában, mert tudjuk, hogy a megőrzött mennyiségből ugyanannyi lesz valamilyen folyamat végén, mint az elején. Az alapvető megőrzési törvények a következők;
- a tömeg megőrzése
- az energia megőrzése
- a lendület megőrzése
- a szögnyomaték megőrzése
- a töltés megőrzése
Visszatérve a fenti példánkhoz, a “zoknik megőrzése” valójában a tömeg megőrzési törvény következménye.
Megjegyzendő, hogy a nukleáris reakciókkal összefüggésben az energia tömeggé alakítható és fordítva. Az ilyen reakciókban a tömeg és az energia összmennyisége nem változik. Ezért e megőrzési törvények közül az első kettőt gyakran egyetlen tömeg-energia megőrzési törvényként kezelik
Ezeket a törvényeket Newton törvényeivel kombinálva más származtatott megőrzött mennyiségeket kapunk, mint például
- a szögimpulzus megőrzése
Egy zárt rendszerben a teljes energiamennyiség mindig megmarad. Ez úgy fordítható le, hogy az n energiaváltozás összege összesen 0.
∑ k = 1 n Δ E k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\Delta \mathbf {E} _{k}=0}
Egy ilyen energiaváltozásra példa egy labda ledobása a talaj fölötti távolságból. A labda energiája esés közben potenciális energiából kinetikus energiává változik.
U g = m g h K = 1 2 m v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\K&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\end{mátrix}}}
Mivel ez az egyetlen energiaváltozás a rendszerünkben, egy egyszerű fizikai problémát fogunk venni és modellezni, hogy demonstráljuk.
Egy 10kg tömegű tárgyat 3m magasságból ledobunk. Mekkora a sebessége, amikor 1 méterrel a talaj felett van?
A tárgy kiindulási állapotában a potenciális energia kiértékelésével kezdjük.
U g = m g h U g = 30 g g = 9,807 m s – 2 U g = 30 ⋅ 9,807 U g 3 = 294,21 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\\U_{g}&=&30\mathbf {g} \\\\mathbf {g} &=&9.807ms^{-2}\\U_{g}&=&30\cdot 9.807\\U_{g3}&=&294.21J\end{matrix}}}
A tárgy potenciális energiája a talaj felett 1m magasságban hasonló módon adódik.
U g = m g h U g = 10 g U g = 10 ⋅ 9.807 U g 1 = 98.07 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\\U_{g}&=&10\mathbf {g} \\U_{g}&=&10\cdot 9.807\\U_{g1}&=&98.07J\end{matrix}}}
A potenciális energia változása tehát adott
Δ U g = 294.21 – 98.07 = 196.14 J {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&294.21-98.07=196.14J\end{matrix}}}}
A definíció szerint a potenciális energia változása egyenértékű a kinetikus energia változásával. A tárgy kezdeti KE-je 0, mert nyugalomban van. Ezért a végső mozgási energia egyenlő a KE változásával.
Δ U g = Δ K 196,14 J = 1 2 m v 2 196.14 = 5 v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\\196.14J&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\196.14&=&5\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}}
Visszarendezés v
196.14 5 = v 2 196.14 5 = v v v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{196.14 \over 5}&=&\mathbf {v} ^{2}\\\{\\sqrt {196.14 \over 5}}&=&\mathbf {v} \\\\\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}\end{matrix}}}
A következő kinematikai egyenlet segítségével ellenőrizhetjük a munkánkat.
v 2 = u 2 + 2 a s v 2 = 0 2 + 2 g s v = 2 g s v = 2 ⋅ 9.807 ⋅ 2 v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \\\\\mathbf {v} ^{2}&=&0^{2}+2\mathbf {gs} \\\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\mathbf {gs} }}\\\\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\cdot 9.807\cdot 2}}}\\\\\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}\end{matrix}}}}
Ez azért következik, mert a fenti kinematikai egyenlet előállításához ténylegesen felhasználhatjuk az energiaegyenleteket.
Δ U g = Δ K m g h = 1 2 m v 2 m g Δ h = 1 2 m Δ ( v 2 ) s = Δ h g s = 1 2 Δ ( v 2 ) 2 g s = v 2 – v 0 2 2 a s = v 2 – u 2 v 2 = u 2 + 2 a s {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\\m\m\mathbf {g} h&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\\\m\m\mathbf {g} \Delta h&=&{1 \over 2}m{\Delta (\mathbf {v} }^{2})\\\\\mathbf {s} &=&\Delta h\\\\\mathbf {gs} &=&{1 \over 2}\Delta (\mathbf {v} ^{2})\\\2\mathbf {gs} &=&\mathbf {v} ^{2}-{\mathbf {v} _{0}}^{2}\\\2\mathbf {as} &=&\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {u} ^{2}\\\\\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \end{matrix}}} {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}=\Delta K\\m\m\mathbf {g} h=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\\\m\mathbf {g} \Delta h=&{1 \over 2}m{\Delta (\mathbf {v}^{2})\\\\mathbf {s} =\Delta h\\\\\mathbf {gs} =&{1 \over 2}\Delta (\mathbf {v} ^{2})\\\\\2\mathbf {gs} =\mathbf {v} ^{2}-{\mathbf {v} _{0}}^{2}\\\2\mathbf {as} =\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {u} ^{2}\\\\\\mathbf {v} ^{2}=\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \end{matrix}}}}