Minden alkalommal, amikor valami újat hozunk létre, 0-ról 1-re lépünk. A teremtés aktusa egyedülálló, akárcsak a teremtés pillanata, és az eredmény valami friss és különös.
Peter Thiel, Zero to One
Egy 1992-ben a Nature-ben megjelent tanulmányban öt hónapos csecsemőkkel dolgoztak, hogy meghatározzák az összeadás és kivonás megértésének képességét. A kísérletezők megmutattak a csecsemőknek egy tárgyat, elrejtették azt egy paraván mögé, majd a csecsemőkkel megfigyeltették, amint a paraván mögött egy további tárgyat adnak hozzá. Egyes próbák során a kísérletezők titokban eltávolították az extra tárgyat. A csecsemők már ebben a korban is tudták, hogy valami nem stimmel, amikor azt látták, hogy “még nulla” tárgyat adtak hozzá a csoporthoz “még egy” tárgy helyett.
A legtöbb esetben ez az a veleszületett intuíció, amely végigkísért minket a korai matematikaórákon. Ha szerencsések voltunk (vagy szerencsétlenek, attól függ, kit kérdezünk), akkor a közép- vagy középiskolai geometriában kaptunk először ízelítőt ennek az intuíciónak a formalizálásából. Az “axiómáknak” nevezett tételekből kiindulva – olyan dolgokból, amelyeket magától értetődően igaznak tekintettünk – kénytelenek voltunk elgondolkodni azon, hogy intuíciónk hogyan eredeztethető ezekből az axiómákból, és formális, bár egyszerű matematikai “bizonyítékokat” konstruáltunk olyan eredményekre, mint a koszinuszok törvénye vagy két háromszög kongruenciája.
Ha elfelejtetted volna, a koszinuszok törvénye azt mondja, hogy c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), ahol aaa, bbb és ccc egy háromszög oldalhosszai, CCC pedig a ccc oldallal ellentétes szög. Ha CCC helyére 90 fokot teszünk, megkapjuk a Pitagorasz-tételt.
Az első geometriaórán megmondták nekünk, hogy mit vehetünk biztosra – de megálltunk-e valaha is megkérdezni, hogy miért?
Ki döntötte el, hogy pontosan mit vehetünk biztosra? Miért pont ezeket az axiómákat? Miért nem feltételezhettük, hogy a koszinuszok törvénye igaz, és miért kellett bebizonyítanunk?
A matematikusok hosszasan gondolkodtak ezeken a kérdéseken, és a közösség konszenzusa nem feltétlenül a konkrét axiómákban van, amelyeket magától értetődően igaznak tekintünk, hanem egy elvben: a feltételezések számát a lehető legkevesebbre kell csökkenteni. Ez hasonlít az Occam borotvája néven ismert híres problémamegoldási technikához: “Ha egy probléma megoldására egymással versengő hipotéziseket állítunk fel, azt a megoldást kell választani, amelyik a legkevesebb feltételezést tartalmazza.”
Az axiómák meghatározása
Az axiómák minimális készletének meghatározása, amelyből az egész matematika következik, nehezebb, mint amilyennek látszik. A matematikusok évekig fáradoztak ezen, és a leghíresebb kísérlet az Alfred North Whitehead és Bertrand Russell matematikusok által 1913-ban kiadott Principia Mathematica volt. 1931-ben azonban Kurt Gödel logikus bebizonyította, hogy bármilyen ilyen rendszer lehetetlen – röviden, az axiómák bármilyen választéka vagy hiányos lenne, és nem tudná bizonyítani az egész matematikát; vagy következetlen, és ellentmondások bizonyítására lehetne használni.
Mindezek ellenére a matematikának valahonnan el kell indulnia, ezért a matematikusok speciális axiómákat határoztak meg a szakterületeikhez, például a geometriához (gondoljunk csak Euklidész axiómáira). Ezek a speciális axiómák azok, amelyekről a geometrikusok, algebraiak és így tovább úgy döntöttek, hogy a feltételezések minimális készlete szükséges ahhoz, hogy produktív munkát végezzenek és érvényes következtetéseket vonjanak le.
Ezeken az axiómákon keresztül tudjuk megalapozottan megmutatni, hogy az 1 valójában nagyobb, mint a 0 – nem olyan ködös fogalmakból, mint az “intuíció”, hanem a matematikai közösség axiomatikus konszenzusára épülő szilárd matematikai alapokon.
Sőt, talán éppen ez különbözteti meg szellemi képességeinket az öthónaposokétól.
Még egy mellékes megjegyzés: a konvenciókkal való szembeszegülés és az alternatív axiómák következményeinek feltárása egészen új matematikai ágak létrejöttéhez vezetett. Ilyen például a gömbi geometria, amely a hagyományos euklideszi alapokat dobja ki az ablakon. Egy gömbön például egy háromszög szögei több mint 180 fokot is elérhetnek.”
Az axiómák, amelyekre szükségünk van
“Isten alkotta a természetes számokat; minden más az ember műve.”
Leopold Kronecker, német matematikus
Amikor azt mondom, hogy “a feltevések minimális halmaza”, a “minimális” sokféle szintjéről indulhatunk ki. Alapvető absztrakciós szintünk lehet az, hogy csak a természetes számokkal kell dolgoznunk – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3, …1,2,3,…1,2,3,… – ahogy azt Kronecker is képviselni látszik. Alternatívaként egyszerűen tekinthetjük axiómának az 1>01 > 01>0-t.
Az első megközelítéssel több irányba is elmehetünk. Ott vannak a Peano axiómák, amelyek a természetes számokra vonatkozó axiómák olyan halmaza, amelyek célja a természetes számok viselkedésének teljes leírása. Ezek az axiómák majdnem olyanok, mint Newton törvényei – nem konstruáltak, hanem inkább a természetes számok “természetes” tulajdonságainak leírása. Ebben a megközelítésben egyszerűen meghatározzuk a természetes számok sorrendjét, így konstruáltan 1>01 > 01>0-ra következtetünk.
A természetes számok sorrendjét a következőképpen határozzuk meg: aaa és bbb természetes számok esetén a≤ba \leq ba≤b, ha és csak akkor, ha a+c=ba + c = ba+c=b valamilyen ccc természetes számra.
Ez érvényes, de bizonyos mértékig egy kicsit olcsó húzásnak tűnik – lényegében a mi eredményünket definiáljuk a létezésbe.
Másrészt megpróbálhatnánk bizonyítani, hogy 1>01 > 01>0 a valós számokban. Az alapoktól ilyen irányban elindulni azonban szinte “túl közel van a hardverhez”, és ahhoz, hogy a naturális számoktól (1,2,31, 2, 31,2,3, stb.) a valós számokig (pl. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) eljussunk, olyan fogalmak használatára van szükség, mint a Cauchy-sorozatok, ekvivalenciaosztályok, és így tovább – olyan eszközökre, amelyekhez alapos modern algebrai háttér szükséges (ami nekem sajnos nincs).
Az utolsó megközelítés, az 1>01 > 01>0-ra vonatkozó következtetésünk axiomatizálása az igazsághoz hasonló lenne, mintha vacsora előtt desszertet ennénk.
A megközelítést, amelyet a legmegvilágítóbbnak – hozzáférhetőnek, mégis kielégítően szigorúnak – találtam, Stephen DeBacker professzor mutatta be a Michigan Egyetemen a bevezető analízis órámon. Az absztrakciónak egy olyan szintjén kezdünk, amely könnyen érthető – mégis kellően logikailag elkülönül az eredményünktől -, így még mindig első kézből láthatjuk, hogyan lehet az alapfeltevéseinkkel formalizálni a látszólag egyszerű következtetést, amelyre törekszünk. Ráadásul az alapfeltevéseink ugyanazok a feltevések lesznek, amelyeket a modern algebra és a valós analízis szakemberei is használnak – így azt mondanám, hogy indokolt, hogy ezt a helyet válasszuk kiindulópontnak.
A “minimális feltevésünk” az, hogy a valós számok kielégítik az alábbi tulajdonságokat, ahol aaa, bbb és ccc tetszőleges valós számok. Az egyes tulajdonságok mellett zárójelben szerepel a matematikusok által az egyes tulajdonságokra általánosan használt kifejezés.
- a+ba + ba+b egy valós szám (azaz. két valós szám összeadása egy másik valós számot eredményez, más néven “zártság összeadás alatt”)
- a×ba \times ba×b egy valós szám (“zártság szorzás alatt”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (ill.azaz felcserélhetjük az addendumok sorrendjét, ez az úgynevezett “összeadás kommutativitása”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (azaz. bármilyen sorrendben összeadhatunk, az úgynevezett “összeadás asszociativitása”)
- Létezik olyan 000 valós szám, hogy a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 egy “additív azonossági elem”)
- Létezik egy olyan 000 valós szám, hogy a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 egy “additív azonossági elem”)
- Léteznek létezik olyan valós szám xxx, hogy a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx egy “additív inverz elem”)
- a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a (“commutativity of commutativity of szorzás”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c) (“a szorzás asszociativitása”)
- Ez itt létezik olyan valós szám 111, hogy a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 “multiplikatív azonosság”)
- Létezik olyan valós szám yyy, hogy a×y=1a \times y = 1a×y=1, ha aaa nem nulla (yyy egy “multiplikatív inverz”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c (“disztributivitás”)
- 1≠01 \neq 01=0
- A valós számokat pozitív és negatív részhalmazokra osztjuk
- A pozitív számok összeadása és szorzása (i.e. 000-nél nagyobb számok) összevonása pozitív számot eredményez
- Minden valós szám aaa vagy pozitív (a>0a > 0a>0), vagy negatív (a<0a < 0a<0), vagy maga nulla (a=0a = 0a=0)
Egyelőre beilleszthetünk néhány aaa, bbb és ccc értéket, hogy megértsük, miért érvényesek ezek a tulajdonságok. Ismétlem, a modern algebra eszközeivel is be lehet bizonyítani, hogy a valós számok a fenti tulajdonságok mindegyikének megfelelnek, de e háttér nélkül a fentiek egy nagyon jól használható kiindulópontot jelentenek.
A fent megadott tulajdonságok mindegyikét nem kell használnunk a bizonyításban, de azért soroltam fel mindet itt, mert az első tizenkét tulajdonságot kielégítő számok (potenciálisan végtelen) gyűjteményének a matematikusok között van egy különleges neve – “mező”. Ha ez a számgyűjtemény az utolsó három tulajdonságnak is megfelel, akkor “rendezett mezőnek” nevezik. Lényegében azt feltételezzük, hogy a valós számok rendezett mezőt alkotnak.
A bizonyítás
A bizonyítás megkezdéséhez feltételezzük axiómánkat – hogy a valós számok rendezett mezőt alkotnak, és következésképpen teljesítik a fenti tizenöt tulajdonságot.
A fenti (5) és (9) tulajdonságok alapján tudjuk, hogy a 000 és 111 valós számok léteznek. A (15) tulajdonság alapján tudjuk, hogy a 111 vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla. A (12) tulajdonságból tudjuk, hogy 1≠01 \neq 01=0. Ez két lehetőséget hagy: vagy 111 pozitív, és 1>01 > 01>0; vagy 111 negatív, és 1<01 < 01<0.
Most az úgynevezett “ellentmondásos bizonyítás” módszerével haladunk. Lényegében azt feltételezzük, hogy valami, amiről meg akarjuk mutatni, hogy nem igaz, igaz, és a feltételezett igazságot arra használjuk, hogy bizonyítsunk valamit, amiről biztosan tudjuk, hogy nem igaz. Az ilyen manőver logikai következménye az, hogy lehetetlen, hogy az általunk igaznak feltételezett dolog valóban igaz legyen, mert lehetetlenséghez vezetett. Ennélfogva hamisnak kell lennie.
Ha több lehetőség közül választhatunk, amelyek közül az egyiknek igaznak kell lennie, ez a taktika jó módszer arra, hogy kizárjuk a lehetetlen lehetőségeket, és leszűkítsük a valódi lehetőség körét.
Ha az ellentmondásos bizonyítás bonyolultnak hangzik, az is – de egyben alapvető matematikai eszköz is. Néha valaminek a közvetlen – ellentmondás nélküli – bizonyításának bonyolultsága eléggé megnehezíti a problémát ahhoz, hogy valójában könnyebb legyen megmutatni, hogy az alternatív lehetőségek egyszerűen nem lehetnek igazak.
Tegyük fel, hogy 1<01 < 01<0 – hogy a 111 negatív – és mutassuk meg, hogy ez lehetetlenséghez vezet. Az egyik lehetséges lehetetlenség, amit bebizonyíthatunk, hogy ez a feltételezés azt jelenti, hogy 1≥01 \geq 01≥0, mert a (15) tulajdonság szerint 111 nem lehet egyszerre kisebb nullánál és nagyobb vagy egyenlő nullánál.
A (6) tulajdonság szerint létezik olyan xxx valós szám, hogy 1+x=01 + x = 01+x=0.
Az xxx-et mindkét oldalhoz hozzáadva megkapjuk: 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Mivel az (5) tulajdonság szerint 0+x=x0 + x = x0+x=x, az egyenlőtlenséget egyszerűsíthetjük 0<x0 < x0<x-re.
Azt azonban még nem mondhatjuk, hogy xxx-nek -1-1-1-nek kell lennie – a (6) tulajdonság csak azt mondja ki, hogy létezik xxx valós szám. Ezt be kell bizonyítanunk.
A lemma egy köztes igazság, amelyet egy nagyobb eredmény bizonyítására használhatunk. Az, hogy valamit tételnek vagy lemmának nevezünk-e, nem feltétlenül jól definiált, de általában a lemmák “segítenek” nekünk abban, hogy bebizonyítsuk azt, amit valójában akarunk.
Lemma: Az additív inverz elemek egyediek
A mi esetünkben annak bizonyítására, hogy a (6) tulajdonságban szereplő xxx egyedi – pontosabban, hogy csak egy olyan xxx valós szám létezik, hogy 1+x=01 + x = 01+x=0 (és következésképpen az xxx valós számnak -1-1-1-nek kell lennie), ismét ellentmondással tudunk eljárni.
Tegyük fel, hogy létezik egy másik valós szám zzz, ahol z≠xz \neq xz=x, olyan, hogy 1+z=01 + z = 01+z=0. Tekintsük most az x+1+zx + 1 + zx+1+z kifejezést. Mivel az egyenlőség reflexív – azaz a=aa = aa=a minden aaa-ra – tudjuk, hogy x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
A (4) tulajdonság, az összeadás asszociativitása alapján a kifejezéseket úgy csoportosíthatjuk, hogy (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
A (3) tulajdonság, az összeadás kommutativitása alapján az első mennyiséget átrendezhetjük, így (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z) kapjuk.
Mivel 1+x1 + x1+x és 1+z1 + z1+z mindkettő egyenlő nullával, akkor 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, és az (5) tulajdonság, az additív azonossági elem alapján z=xz = xz=x. Feltételeztük azonban, hogy z≠xz \neq xz=x, így ellentmondást kapunk!
Ezért csak egy olyan xxx valós szám létezhet, hogy 1+x=01 + x = 01+x=0. Ha a fenti sorokban a 111 minden példányát egy tetszőleges aaa valós számmal helyettesítjük, akkor ez a lemma azt mutatja, hogy bármely aaa valós számhoz létezik egy olyan xxx, hogy a+x=0a + x = 0a+x=0a. Mivel ez az xxx egyedi, nyugodtan adhatunk ennek az xxx-nek egy egyedi nevet, -a-a-a, ami a negatívok ismert fogalmát eredményezi, ahol a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. A mi konkrét esetünkben ez azt mutatja, hogy xxx-nek egyenlőnek kell lennie -1-1-1.
Lemma: Negatív előjelek “törlése”
A fenti lemma eredményeit alkalmazva a korábbi egyenlőtlenségünk, 0<x0 < x0<x, 0<-10 < -10<-1 lesz.
A (14) tulajdonság alapján a pozitív számok szorzata pozitív, tehát 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Azt azonban még nem mondhatjuk, hogy “két negatív kioltja egymást” – ezt egyik axióma sem implikálja! Be kell bizonyítanunk, hogy (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1). Szükségünk lesz egy másik lemmára.
Az általános esetben bármely valós aaa számra meg kell mutatnunk, hogy (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. A (6) tulajdonság – az a feltételezés, hogy minden elemnek van egy additív inverze – a negatív előjelekkel foglalkozik, és érdekes utat nyújthat ennek megmutatására.
Ha úgy érzed, hogy kezdesz belejönni a dolgokba, nyugodtan állj meg itt, és próbáld meg az axiómák segítségével önállóan bizonyítani néhány köztes eredményt. Ha elakadsz, bármikor lejjebb görgethetsz!
Mivel az additív inverzek egyediek, tudjuk, hogy van egy olyan egyedi valós szám -a2-a^2-a2, hogy a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
A (3) tulajdonság, az összeadás kommutativitása alapján -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Az előző lemma azt mondta, hogy ha -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, akkor xxx egyedi, tehát ha van egy -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0 alakú kifejezésünk, akkor x=a2x = a^2x=a2. Ha tehát meg tudjuk mutatni, hogy -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, akkor biztosan tudjuk, hogy (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Munkálkodjunk a -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)(-a) kifejezéssel. Valahogyan fel kell bontanunk a -a2-a^2-a2-t alkotó tagokra, hogy faktorálhassuk, tehát szükségünk van egy újabb lemma – annak bizonyítására, hogy -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Negatív és pozitív szorzata negatív
Ehhez a lemmához hasonlóan fogunk eljárni, mint a fentebb megkezdetthez: az additív inverzek egyediségét használjuk fel annak bizonyítására, hogy az egyik szorzatnak egyenlőnek kell lennie egy másik szorzattal. Mivel -a2-a^2-a2 az a2a^2a2 egyedi additív inverze, ha megmutatjuk, hogy a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, akkor (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Megjegyezzük, hogy a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), tehát a (7) tulajdonság, a szorzás kommutativitása alapján a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
A (11) tulajdonság alapján a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) faktorálható a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
A (6) tulajdonság alapján a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, tehát a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Végeznénk, ha a0=0a0 = 0a0=0, de ezt még nem bizonyítottuk!
Lemma: A 0-val való szorzat 0
Az (5) tulajdonság alapján 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Így azt írhatjuk, hogy a0=a(0+0)a0 = a(0+0)a0=a(0+0).
A (11) tulajdonság alapján ez a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0-ra oszlik.
A (6) tulajdonság alapján a0a0a0a0-nak létezik egy egyedi additív inverze -a0-a0-a0, így azt hozzáadhatjuk az egyenletünk mindkét oldalához, így kapjuk a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0+(-a0) = a0 + a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Egyszerűsítve azt kapjuk, hogy 0=a00 = a00=a0.
Összeillesztve
Ezzel megállapíthatjuk, hogy a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, tehát (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Az előző lemmába beillesztve azt kapjuk, hogy -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
A (11) tulajdonság alapján ezt a kifejezést ezután faktorálhatjuk -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
A (6) tulajdonság alapján, az additív inverzeket összeadva, kapjuk, hogy -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, tehát -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Ezért (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) az -a2-a^2-a2 egyetlen additív inverze, tehát (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Felfelé haladva egészen a csúcsig, 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1)-nél hagytuk abba. Ez az utolsó lemma azt mondja, hogy (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1)(1). A (9) tulajdonság alapján a multiplikatív azonossági elem, (1)(1)=1(1)(1)(1) = 1(1)(1)=1. Tehát 0<10 < 10<1, tehát 1>01 > 01>0.
Ez ellentmondás, mert feltételeztük, hogy 1<01 < 01<0! A (15) tulajdonság szerint minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla – egyetlen szám sem lehet egyszerre pozitív és negatív! Tehát lehetetlenségről van szó, és az eredeti feltételezésünk – 1<01 < 01<0 – nem állhat fenn. Ezt a lehetőséget kizárhatjuk, így csak egy eset marad: 1>01 > 01>0. Mivel tudjuk, hogy minden valós számnak bele kell esnie a három eset valamelyikébe, és ezek közül kettőt már kizártunk, akkor 1>01 > 01>0.
Ahogy Peter Thiel olyan szépen fogalmazott, milyen friss és különös.