nLab Yang-Mills elmélet

Idea

A YangâMills elmélet egy adott 4 dimenziós (pszeudo-)Riemann sokaságon, amelynek mezője a YangâMills mező â egy kokciklus ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) a differenciális nem-abeli kohomológiában, amelyet egy kapcsolattal rendelkező vektorköteg képvisel â és amelynek hatásfüggvénye

for

• F âF_\nabla a térerősség, lokálisan a görbület ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra értékű differenciálforma XX-en ( ahol ð²(n)\mathfrak{u}(n) az U(n)U(n) egységcsoport Lie-algebrája);

• â\star a gg metrika Hodge-csillagoperátora;

• 1g 2\frac{1}{g^2} a Yang-Mills csatolási állandó és θ\theta a theta-szög, néhány valós szám (lásd az S-dualitásnál).

(Lásd ezt a példát A kvantumtérelmélet első gondolata címen.)

Tulajdonságok

A megoldások osztályozása

• Narasimhan-Seshadri-tétel

• Donaldson-Uhlenbeck-Yau-tétel

Kvantálás

A részecskefizika standard modelljében betöltött alapvető szerepe ellenére, a Yang-Mills elmélet kvantálásának számos részlete még mindig nyitott. Lásd: A Yang-Mills elmélet kvantálása.

Alkalmazások

A részecskefizika standard modelljében, valamint a GUT modellekben minden mérőmező YangâMills-mező.

A standard modellben az anyagmezők a Yang-Mills-mező alatt töltött spinorok. Lásd

• spinorok a Yang-Mills elméletben

történet

A Jaffe-Witten-től:

Az 1950-es években, amikor a YangâMills elméletet felfedezték, már ismert volt, hogy a Maxwell elmélet kvantum változata – amelyet kvantum elektrodinamikának vagy QED-nek neveznek – rendkívül pontos képet ad az elektromágneses terekről és erőkről. Valójában a QED több nagyságrenddel javította bizonyos korábbi kvantumelméleti előrejelzések pontosságát, valamint az energiaszintek új felosztásait is megjósolta.

Ezért természetes volt az a kérdés, hogy a nem-abeli gauge-elmélet leírja-e a természet más erőit, nevezetesen a gyenge erőt (amely többek között a radioaktivitás bizonyos formáiért felelős) és az erős vagy nukleáris erőt (amely többek között a protonok és neutronok atommagokban való megkötéséért felelős). A klasszikus YangâMills-hullámok tömeg nélküli jellege komoly akadálya volt annak, hogy a YangâMills-elméletet a többi erőre is alkalmazzák, mivel a gyenge és a nukleáris erő rövid hatótávolságú, és sok részecske tömeges. Ezért úgy tűnt, hogy ezek a jelenségek nem kapcsolódnak a tömeg nélküli részecskéket leíró nagy hatótávolságú mezőkhöz.

Az 1960-as és 1970-es években a fizikusok leküzdötték ezeket az akadályokat a nem-abeli gauge-elmélet fizikai értelmezése előtt. A gyenge erő esetében ezt a GlashowâSalamâWeinberg-féle elektrogyenge elmélet valósította meg H=H = SU(2) Ã\times U(1) gauzcsoporttal. Azáltal, hogy az elméletet egy további Higgs-mezővel dolgozták ki, sikerült elkerülni a klasszikus YangâMills-hullámok tömeg nélküli jellegét. A Higgs-mező a HH kétdimenziós ábrázolásába transzformálódik; nem nulla és közelítőleg állandó értéke a vákuumállapotban a HH struktúracsoportot egy U(1)U(1) alcsoportra redukálja (diagonálisan beágyazva az SU(2)ÃU(1)SU(2)\times U(1)-be). Ez az elmélet többé-kevésbé egységes módon írja le mind az elektromágneses, mind a gyenge erőket; a szerkezetcsoport U(1)U(1)-re való redukciója miatt a nagy hatótávolságú mezők csak az elektromágnesesség mezői, összhangban azzal, amit a természetben látunk.

A tömeg nélküli YangâMills-mezők problémájának megoldása az erős kölcsönhatásokra teljesen más jellegű. Ez a megoldás nem a YangâMills-elmélethez mezők hozzáadásával jött létre, hanem magának a kvantum YangâMills-elméletnek, vagyis annak a kvantumelméletnek egy figyelemre méltó tulajdonságának felfedezésével, amelynek klasszikus Lagrange-jét megadtuk ]. Ezt a tulajdonságot nevezzük âaszimptotikus szabadságnakâ. Ez nagyjából azt jelenti, hogy rövid távolságokon a mező a klasszikus viselkedéséhez nagyon hasonló kvantumos viselkedést mutat; ugyanakkor nagy távolságokon a klasszikus elmélet már nem jó útmutató a mező kvantumos viselkedéséhez.

Az 1960-as és 1970-es években tett egyéb kísérleti és elméleti felfedezésekkel együtt az aszimptotikus szabadság lehetővé tette, hogy a nukleáris erőt egy nem-abeli gauge-elmélettel írjuk le, amelyben a gauge-csoport G=G = SU(3). A kiegészítő mezők klasszikus szinten a kvarkokat írják le, amelyek az elektronhoz némileg hasonló spin 1/2 objektumok, de az SU(3)SU(3) SU(3) alapvető ábrázolásában átalakulva. Az erős erő nem-abeli gauge-elméletét kvantumkromodinamikának (QCD) nevezik.

A QCD használatát az erős erő leírására az 1960-as és 1970-es években tett kísérleti és elméleti felfedezések egész sora motiválta, amelyek az erős kölcsönhatások szimmetriáit és nagyenergiás viselkedését érintették. A klasszikus nem-abeli gauge-elmélet azonban nagyon különbözik az erős kölcsönhatások megfigyelt világától; ahhoz, hogy a QCD sikeresen leírja az erős erőt, kvantumszinten a következő három tulajdonsággal kell rendelkeznie, amelyek mindegyike drámaian különbözik a klasszikus elmélet viselkedésétől:

(1) A QCD-nek rendelkeznie kell egy âtömegrésszel;â azaz kell lennie egy olyan Î>0\Delta \gt 0 konstansnak, hogy a vákuum minden gerjesztése legalább Î\Delta energiájú legyen.

(2) Kell, hogy legyen âkvark-korlátozottsága,â vagyis annak ellenére, hogy az elméletet olyan elemi mezőkkel írják le, mint például a kvark-mezők, amelyek nem triviálisan átalakulnak az SU(3) szerint, a fizikai részecskék állapotai â mint például a proton, a neutron és a pion â SU(3)-invariánsak.

(3) Kell, hogy legyen âkirális szimmetriatörés,â ami azt jelenti, hogy a vákuum potenciálisan invariáns (abban a határértékben, hogy a kvark-mentes tömegek eltűnnek) csak a teljes szimmetriacsoport egy bizonyos alcsoportja alatt, amely a kvark-mezőkre hat.

Az első pont szükséges ahhoz, hogy megmagyarázzuk, miért erős, de rövid hatótávolságú a nukleáris erő; a második pont szükséges ahhoz, hogy megmagyarázzuk, miért nem látunk soha egyedi kvarkokat; a harmadik pont pedig szükséges ahhoz, hogy megmagyarázzuk a lágy pionok âáramló algebraiâ elméletét, amelyet az 1960-as években fejlesztettek ki.

Mind a kísérlet – mivel a QCD számos sikert aratott a kísérletekkel való szembesítés során -, mind a számítógépes szimulációk, amelyeket az 1970-es évek vége óta végeznek, erősen bátorítják, hogy a QCD valóban rendelkezik a fent említett tulajdonságokkal. Ezek a tulajdonságok bizonyos mértékig a különféle erősen leegyszerűsített modellekben (mint például az erősen kapcsolt rácsos mérőelmélet) végzett elméleti számításokban is kimutathatók. De elméletileg nincsenek teljesen megértve; nem létezik olyan meggyőző, akár matematikailag teljes, akár nem, olyan elméleti számítás, amely a három tulajdonság bármelyikét a QCD-ben bizonyítja, szemben annak egy erősen leegyszerűsített csonkításával.

Ez a Yang-Mills-elmélet nem-perturbatív kvantálásának problémája. Lásd ott bővebben.

• D=5 Yang-Mills elmélet

• masszív Yang-Mills elmélet

• self-duális Yang-Mills elmélet

• szuper Yang-elmélet

• .Mills elmélet

• minimális csatolás

• ‘t Hooft kettős vonal jelölés

• Einstein-Yang-Mills elmélet

  • Einstein-Maxwell elmélet

  • Einstein-Yang-Mills-Dirac elmélet

  • Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs elmélet

• Yang-Mills-egyenlet

• a részecskefizika standard modellje

  • elektromágnesesség

  • spinorok a Yang-Mills elméletben

  • QED, QCD,

  • elektrogyenge mező

• Yang-monopol, ‘t Hooft-Poljakov-monopol

• S-dualitás, Montonen-Olive dualitás

  • elektromos-mágneses dualitás

  • geometrikus Langlands dualitás

• Chern-Simons elmélet

• Yang-Mills-instanton

  • konfiníció

• aszimptotikus szabadság

Az általános

Yang-Mills elméletet a cikk

• Chen Ning Yangról nevezte el, Robert Mills, Az izotópos spin megőrzése és az izotópos gauge-invariancia. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

amely elsőként általánosította az elektromágnesesség elvét egy nem abalikus gauge-csoportra. Ez a QCD és a gyenge kölcsönhatások megfogalmazásaként (csak) azután vált elfogadottá, hogy az 1960-as években megértették a spontán szimmetriatörést (a Higgs-mechanizmust).

Modern áttekintések az alapokról

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory

• Karen Uhlenbeck, jegyzetek Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, előadás a Temple University-n, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, 468-481. oldal, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, szerző pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Section 10.5.4 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Lásd még a hivatkozásokat a QCD, a gauge-elmélet, a Yang-Mills monopólus, a Yang-Mills instanton és a szuper Yang-Mills elméletnél.

A Riemann-felületek feletti YM-elmélet klasszikus tárgyalása (amely szorosan kapcsolódik a Chern-Simons-elmélethez, lásd még a lapos kapcsolatok moduláris terében) a

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

melyet az előadás jegyzeteiben

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Az instanton Floer-homológiával való kapcsolatról lásd még

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

A Tamagawa-számokkal való kapcsolatról lásd

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klasszikus megoldások

Wu és Yang (1968) találtak egy statikus megoldást a forrás nélküli SU(2)SU(2) Yang-Mills egyenletekre. A legújabb hivatkozások között szerepel

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Egy régi áttekintés,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

amely az SU(2)SU(2) gauge theory néhány ismert megoldását közli a Minkowski-térben (monopólusok, síkhullámok stb.) és az euklideszi térben (instantonok és rokonaik). Általános mérőcsoportok esetén SU(2)SU(2)â-k beágyazásával kaphatunk megoldásokat.

A Yang-Mills instantonokra a legáltalánosabb megoldás ismert, amelyet először

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

a klasszikus SU, SO , Sp csoportokra, majd

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

a kivételes Lie csoportok esetében. A Yang-Mills instantonok történetének legújabb csavarja a nem triviális holonómiával rendelkező megoldások konstruálása:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Van egy szép előadás jegyzete

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

a különböző együttdimenziójú topológiai megoldásokról (instantonok, monopólusok, örvények, tartományfalak). Megjegyzendő azonban, hogy az instantonok kivételével ezek a megoldások jellemzően extra skalárokat és törött U(1)â-kat igényelnek, mint amilyeneket a szuper Yang-Mills elméletekben találhatunk.

Az itt felhasznált anyag egy része a

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

Egy másik Yang-Mills-mezőket tartalmazó modellt Curci és Ferrari javasolt, lásd Curci-Ferrari modell.

See also

• DispersiveWiki, Yang-Mills egyenletek

.