Mivel a 30-60-90 háromszög alapja az egyenlő oldalú háromszög, a 45-45-90 háromszög alapja a négyzet, a 18-72-90 és 36-54-90 háromszögek alapja a szabályos ötszög (lásd https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), a 22.5-67,5-90 háromszög a szabályos nyolcszögön alapul (lásd előző bejegyzés), így a 15-75-90 háromszög a szabályos kétszögön alapul, itt három sugárral (piros) és egyetlen átlóval (lila) ábrázolva. A 15-75-90 háromszöget sárgával ábrázoljuk. A szimmetriából származó érv elegendő ahhoz, hogy megmutassuk, hogy az EFC szög ebben a háromszögben a derékszögű háromszög, és a két hegyesszög közül a nagyobbik (FCE szög) ennek a dodekogonnak a belső szögének a fele. Egy szabályos tízszög belső szöge 150 fokos (ennek bizonyítása triviális), tehát az FCE szögnek ennek felét, azaz 75 fokot kell mérnie. Így a háromszögösszeg-tétel alapján 15 fok marad a CEF szög számára.
Mi a helyzet azonban a 15-75-90 háromszög oldalhosszaival? Először is tekintsük az ábrán látható piros átlósokat, és legyen mindegyikük hossza 2. A DAF és FAE szögek egyenként 30 fokot mérnek, mivel 360/12 = 30, és ezek a szomszédos sugarak közötti középszögek. Ezáltal a DAE szög a szögek összeadásával 60 fokos lesz, és a DAE háromszögről tudjuk, hogy egyenlő szárú, mivel a két piros oldal ugyanannak a szabályos kétszögnek a sugara, és ezért kongruensek. Az egyenlő szárú háromszögtétel és a háromszögösszeg-tétel szerint tehát az ADE és az AED szögek szintén (180-60)/2 = 60 fokosak, tehát az ADE háromszög egyenlő oldalú, és a lila oldal, DE, szintén két hosszúságú. A szimmetria elégséges ahhoz, hogy lássuk, hogy DE-t kettévágja az AC sugár, amiből arra következtetünk, hogy EF, a 15-75-90-es háromszög hosszú lába 1 hosszúságú.
Az AF szakasz az ADE egyenlő oldalú háromszög középvonala, tehát magassága is, és két 30-60-90-es háromszögre osztja azt, amelyek közül az egyik az AEF háromszög. Az AE hipotenuzáról már tudjuk, hogy hossza 2, míg a rövid lábáról, az EF-ről már tudjuk, hogy hossza 1. Az AF szakasz tehát ennek a 30-60-90-es háromszögnek a hosszú lába, amelynek hossza √3.
AF, hossza √3, és FC, a 15-75-90-es háromszög rövid lába együttesen alkotják az AC nevű kétszög sugarát, amelynek hossza már 2. A hosszelvonással tehát FC, a 15-75-90-es háromszög rövid lába 2 – √3 hosszúságú. Ezen a ponton célszerű egy próbát végezni, mégpedig úgy, hogy a sárga háromszög FEC 15 fokos szögének érintőjét vesszük. Tan(15 fok) egyenlő 0,26794919…, ami egyben az FC/EF, vagy (2 – √3)/1 tizedes közelítése is.
A 15-75-90 háromszög oldalainak hosszarányait már csak annyit kell tudnunk, hogy a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározzuk az EC, a hipotenúza hosszát. Az EC hosszának négyzetének egyenlőnek kell lennie az 1 négyzetével és a (2 – √3) négyzetével, tehát az EC négyzete egyenlő 1 + 4 – 4√3 + 3, vagy 8 – 4√3. A hipotenuzának (EC) tehát 8 – 4√3 négyzetgyökének kell lennie, ami √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
A 15-75-90 háromszögben tehát a rövid láb:hosszú láb:hipotenzus aránya (2-√3):1:2√(2-√3))).