Előszöveg (2020. június 26-i dátummal): Ezek az elemi matematikáról és fizikáról szóló bejegyzések nem sokat szenvedtek a sötét erő támadásától – ami jó, mert még mindig szeretem őket. Bár a fény, az anyag és a rájuk ható erő vagy erők valódi természetéről alkotott nézeteim jelentősen átalakultak a kvantummechanika reálisabb (klasszikus) magyarázatával kapcsolatos vizsgálódásaim részeként, úgy gondolom, hogy a legtöbb (ha nem az összes) elemzés ebben a posztban továbbra is érvényes és szórakoztató olvasmány. Sőt, szerintem gyakran a legegyszerűbb dolgok a legjobbak. 🙂
Original post:
Az első munkacíme ennek a posztnak az volt, hogy Music and Módok. Igen. Modes. Nem hangulatok. A zene és a hangulatok kapcsolata szintén érdekes kutatási téma, de így nem erről fogok írni. 🙂
Azzal kezdődött, hogy arra gondoltam, valóban írnom kellene valamit a móduszokról, mert egy hullám, vagy igazából bármilyen oszcillátor móduszának fogalma elég központi a fizikában, mind a klasszikus fizikában, mind a kvantumfizikában (a kvantummechanikai rendszereket is oszcillátorként elemzik!). De kíváncsi voltam, hogyan közelítsem meg, mivel ez egy elég unalmas téma, ha csak a matematikát nézzük. De aztán hazarepültem Európából, Ázsiába, ahol élek, és mivel én is gitározom egy kicsit, hirtelen kíváncsi lettem, miért szeretjük a zenét. És akkor arra gondoltam, hogy ezt a kérdést talán te is feltetted már magadnak valamikor! Így aztán arra gondoltam, hogy a módokról egy érdekesebb történet részeként kellene írnom: egy történetet a zenéről – pontosabban a zene mögötti fizikáról. Szóval… vágjunk bele.
Filozófia kontra fizika
A kérdésre, hogy miért szeretjük a zenét, természetesen van egy nagyon egyszerű válasz: azért szeretjük a zenét, mert az zene. Ha nem lenne zene, nem tetszene nekünk. Ez egy elég filozofikus válasz, és valószínűleg a legtöbb embert kielégíti. Egy fizikát tanuló ember számára azonban ez a válasz biztosan nem lehet elégséges. Mi áll a fizika mögött? Átnéztem Feynman előadását a hanghullámokról a síkban, kombináltam néhány más dologgal, amire rágugliztam, amikor megérkeztem, majd megírtam ezt a bejegyzést, ami egy sokkal kevésbé filozofikus választ ad. 🙂
A vita középpontjában álló megfigyelés megtévesztően egyszerű: miért van az, hogy hasonló húrok (ill. azonos anyagból készült, azonos vastagságú stb. húrok) azonos feszültség alatt, de eltérő hosszúságban “kellemesen” szólnak együtt megszólaltatva, ha – és csakis akkor – ha a húrok hosszának aránya olyan, mint 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 stb. (azaz mint két kis egész szám bármilyen más aránya)?
Vélhetően elgondolkodsz: tényleg ez a kérdés? Igen, ez az. A kérdés valóban megtévesztően egyszerű, mert, mint mindjárt látni fogod, a válasz meglehetősen bonyolult. Annyira bonyolult, hogy a püthagoreusoknak nem volt rá válaszuk. Senki másnak sem volt – egészen a 18. századig, amikor zenészek, fizikusok és matematikusok egyaránt rájöttek, hogy egy húr (egy gitárban, zongorában vagy bármilyen hangszerben, amire Pitagorasz akkoriban gondolt), vagy egy levegőoszlop (például egy orgonában vagy trombitában), vagy bármi más, ami valójában a zenei hangot létrehozza, valójában számos frekvencián rezeg egyszerre.
A püthagoreusok nem sejtették, hogy a húr önmagában egy meglehetősen bonyolult dolog – amit a fizikusok harmonikus oszcillátornak neveznek -, és hogy a hangját ezért valójában nem egy, hanem sok frekvencia hozza létre. A tiszta hang, azaz a felharmonikusoktól mentes (azaz az alapfrekvencián kívül minden más frekvenciától mentes) hang fogalma sem létezett akkoriban. És ha létezett volna, akkor sem tudtak volna tiszta hangot előállítani: a tiszta hangok – vagy hangok, ahogy én nevezem őket, kissé pontatlanul (inkább azt mondanám: tiszta hangmagasság) – előállítása feltűnően bonyolult, és a természetben nem léteznek. Ha a püthagoreusok képesek lettek volna tiszta hangokat előállítani, akkor megfigyelték volna, hogy a tiszta hangok nem keltenek sem konszonancia-, sem disszonanciaérzetet, ha relatív frekvenciáik tiszteletben tartják ezeket az egyszerű arányokat. Valóban, ismételt kísérletek, amelyekben ilyen tiszta hangokat állítottak elő, azt mutatták, hogy az ember nem igazán tudja megmondani, hogy ez zenei hang-e vagy sem: ez csak hang, és nem kellemes (vagy mondjuk úgy, hogy konszonáns) vagy kellemetlen (azaz disszonáns).
A püthagoraszi megfigyelés azonban a tényleges (azaz nem tiszta) zenei hangokra érvényes. Röviden, különbséget kell tennünk a hangok és a hangjegyek (azaz a tiszta hangok) között: ez két nagyon különböző dolog, és az egész érvelés lényege az, hogy az egy (vagy több) megfeszített húr(ok)ból kijövő zenei hangok tele vannak felharmonikusokkal, és, ahogy egy perc múlva elmagyarázom, ez magyarázza az említett húrok hossza és a konszonancia jelenségének megfigyelt összefüggését (azaz i.azaz a “kellemes” hangzás) vagy a disszonancia (azaz a “kellemetlen” hangzás) között.
Persze könnyű azt mondani, amit fentebb mondtam: most 2015-ben vagyunk, és így megvan a visszatekintés előnye. Akkoriban – tehát több mint 2500 évvel ezelőtt! – az az egyszerű, de figyelemre méltó tény, hogy a hasonló hangsorok hosszának valamilyen egyszerű arányt kell betartania ahhoz, hogy együtt “szépen” szóljanak, kiváltotta a számelmélet iránti rajongást (valójában a püthagoreusok alapozták meg a mai számelmélet alapjait). Püthagorasz úgy vélte, hogy hasonló összefüggéseknek más természeti jelenségekre is érvényesnek kell lenniük! Hogy csak egy példát említsek, a püthagoreusok azt is hitték, hogy a bolygók pályái is tiszteletben tartják az ilyen egyszerű számszerű összefüggéseket, ezért beszéltek a “szférák zenéjéről” (Musica Universalis).
Ma már tudjuk, hogy a püthagoreusok tévedtek. A bolygók Nap körüli mozgásának arányai nem tartják tiszteletben az egyszerű számarányokat, és – megint csak visszatekintve – sajnálatos, hogy sok bátor és zseniális emberre, például Galileo Galileire és Kopernikuszra volt szükség ahhoz, hogy erről a tényről meggyőzzék az egyházat. 😦 Továbbá, bár Püthagorasz megfigyelései a hangok tekintetében, amelyek bármilyen húrokból jöttek ki, amiket nézett, helyesek voltak, a következtetései tévesek voltak: a megfigyelésből nem következik, hogy a hangjegyek frekvenciáinak mindegyike valamilyen egyszerű arányban kellene, hogy álljon egymással.
Hadd ismételjem meg, amit fentebb írtam: a hangjegyek frekvenciái nem állnak valamilyen egyszerű arányban egymással. Az összes zenei hang frekvenciaskálája logaritmikus, és bár ez azt jelenti, hogy a logaritmikus skála tulajdonságain alapuló arányokkal gyakorlatilag trükközhetünk (amint azt mindjárt kifejtem), az egyszerű arányokon alapuló, úgynevezett “püthagoreus” hangolási rendszer egyszerűen téves volt, még ha ezt – vagy annak valamilyen változatát (a 3:2 arány helyett a zenészek kb. 1510-től kezdve az 5:4 arányt használták) – a 18. századig általánosan használták is! Röviden, Pitagorasz valóban tévedett – legalábbis ebben a tekintetben: ezekkel az egyszerű arányokkal nem sokat tudunk kezdeni.
Ezzel együtt Pitagorasz alapvető intuíciója helyes volt, és ez az intuíció ma is nagymértékben meghatározza a fizikát: ez az elképzelés az, hogy a természetet csak mennyiségi összefüggésekkel lehet leírni vagy magyarázni (bármit is jelentsen ez). Nézzük meg, hogyan is működik ez valójában a zene esetében.
Hangok, zajok és hangjegyek
Meghatározzuk és megkülönböztessük először a hangokat és a hangjegyeket. A zenei hang a zaj ellentéte, és a kettő között az a különbség, hogy a zenei hangok periodikus hullámformák, tehát T periódussal rendelkeznek, ahogy az alábbi ábrán látható. Ezzel szemben a zaj nem periodikus hullámforma. Ennyire egyszerű.
A korábbi bejegyzésekből tudod, hogy bármilyen periódusú függvényt felírhatunk potenciálisan végtelen számú egyszerű harmonikus függvény összegeként, és hogy ezt az összeget Fourier-sorozatnak nevezzük. Ezt most csak megjegyzem, úgyhogy egyelőre ne foglalkozz vele. Később még visszatérek rá.
Azt is tudod, hogy hét hangjegyünk van: Do-Re-Mi-Mi-Fa-Sol-La-Si vagy az angol nyelvterületen elterjedtebb A-B-C-D-E-F-G. Aztán megint A-val (vagy Do-val) kezdődik. Tehát van két hangunk, amelyeket egy intervallum választ el egymástól, amit oktávnak nevezünk (a görög octo, azaz nyolc), a kettő között pedig hat hang van, tehát összesen nyolc hang. Azonban azt is tudod, hogy vannak hangok a kettő között, kivéve az E és az F, valamint a B és a C között. Ezeket félhangoknak vagy féllépéseknek nevezzük. Én jobban szeretem a “féllépés” kifejezést a “félhang” helyett, mert valójában hangokról beszélünk, nem hangokról.
Létezik például az Fisz (jelölése Fisz), amit nevezhetünk Gisznek is (jelölése Gb). Ez ugyanaz a dolog: egy szisz # egy félhanggal (azaz féllépéssel) megemeli a hangot, egy fisz b pedig ugyanennyivel csökkenti, tehát az F# az Gb. Ez az, ami alább látható: egy oktávban nyolc hang van, de tizenkét féllépés.
Most nézzük meg a frekvenciákat. A fenti frekvenciaskála (másodpercenkénti rezgésekben kifejezve, tehát ez a hertz mértékegység) logaritmikus skála: a frekvenciák megduplázódnak, ahogy egyik oktávból a másikba lépünk: a fenti C4 hang (az úgynevezett középső C) frekvenciája 261,626 Hz, míg a következő C hang (C5) frekvenciája ennek duplája: 523,251 Hz.
Most, ha a C4 és C5 közötti intervallumot egyenlővé tesszük az 1-gyel (tehát az oktáv a mi zenei “egységünk”), akkor a tizenkét félhang közötti intervallum nyilvánvalóan 1/12-nek felel meg. Hogy miért? Mert a zenei egységünkben 12 féllépés van. Azt is könnyen ellenőrizhetjük, hogy a logaritmusok működése miatt két olyan hang frekvenciájának aránya, amelyeket egy féllépés választ el egymástól (például a Disz és az E között), egyenlő lesz 21/12-vel. Hasonlóképpen, két olyan hang frekvenciáinak aránya, amelyeket n féllépés választ el egymástól, egyenlő 2n/12-vel.
Most, mivel a különböző C hangok frekvenciái valamilyen tizedes törtet tartalmazó számként vannak kifejezve (például 523,251 Hz, és a 0,251 valójában csak közelítés), és mivel ezért kicsit nehéz olvasni és/vagy dolgozni velük, illusztrálom a következő gondolatot – i.azaz a felharmonikusok fogalmát – a C helyett az A-val. 🙂
Harmonikusok
A zongorán a legalacsonyabb A-t A0-val jelöljük, és a frekvenciája 27,5 Hz. Léteznek alacsonyabb A hangok is (van például egy 13,75 Hz-es hangunk), de nem használjuk őket, mert közel vannak az általunk hallható legalacsonyabb frekvenciák határához (vagy éppenséggel azon túl). Maradjunk tehát a nagyzongoránknál, és kezdjük ezzel a 27,5 Hz-es frekvenciával. A következő A hang az A1, és a frekvenciája 55 Hz. Ezután következik az A2, amely olyan, mint az én (vagy a te) gitárom A hangja: frekvenciája 2×55 = 110 Hz. A következő az A3, amelynek frekvenciáját ismét megduplázzuk: most már 220 Hz-en vagyunk. A következő az A a fenti C skála illusztrációján: A4, amelynek frekvenciája 440 Hz.
A hangok, amelyekről itt szó van, mind úgynevezett tiszta hangok. Valójában, amikor azt mondom, hogy a gitárunkon az A-t A2-nek nevezzük, és hogy 110 Hz a frekvenciája, akkor valójában egy hatalmas egyszerűsítést teszek. Ami még rosszabb, hazudok, amikor ezt mondom: amikor a gitáron megszólaltatunk egy húrt, vagy amikor a zongorán leütünk egy billentyűt, mindenféle más frekvenciák – úgynevezett felharmonikusok – is rezonálnak, és ez adja a hang minőségét: ettől hangzik szépen. Tehát az alapfrekvencia (más néven első felharmonikus) 110 Hz, de lesznek második, harmadik, negyedik stb. felharmonikusok is, 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz stb. frekvenciával. A zenében az alap- vagy alapfrekvenciát a hangmagasságnak nevezik, és mint láthatod, gyakran használom a “hangjegy” (vagy tiszta hang) kifejezést a hangmagasság szinonimájaként – ami többé-kevésbé rendben van, de valójában nem egészen helyes.
Mi áll a fizika mögött? Nézd meg az alábbi ábrát (a Physics Classroom oldalról kölcsönöztem). A vastag fekete vonal a húr, és az alapfrekvenciájának (azaz az első felharmonikusnak) a hullámhossza a hossza kétszerese, tehát λ1 = 2-L-t írunk, vagy fordítva: L = (1/2)-λ1. Ez most a húr úgynevezett első módusza.
Van még egy második, harmadik, stb. móduszunk is, amelyeket alább ábrázolunk, és ezek a móduszok a második, harmadik, stb. felharmonikusnak felelnek meg.
A második, harmadik, stb. módusz esetében a hullámhossz és a húr hossza közötti kapcsolat értelemszerűen a következő: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = L = (3/2)-λ3 stb. Általánosabban, az n-edik módus esetében L egyenlő lesz L = (n/2)-λn, n = 1, 2, és így tovább. Valójában, mivel L-nek valamilyen fix hossznak kell lennie, fordítva kellene írnunk: λn = (2/n)-L.
Mit jelent ez a frekvenciákra nézve? Tudjuk, hogy a hullám sebessége – jelöljük c-vel – ahogy felfelé és lefelé halad a húrban, a húr tulajdonsága, és csakis a húr tulajdonsága. Más szóval, nem függ a frekvenciától. Nos, a hullámsebesség mindig egyenlő a frekvencia és a hullámhossz szorzatával, tehát c = f-λ. Vegyük a (klasszikus) gitárhúr példáját: hossza 650 mm, azaz 0,65 m. Így a λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L stb. azonosságok λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m stb. lesznek. Most ezeket a hullámhosszakat a fent említett frekvenciákkal kombinálva megkapjuk a hullámsebességet c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433.. m) = 143 m/s.
Hadd térjek most vissza Pitagorasz húrjához. Meg kell jegyeznünk, hogy az egyszerű gitárhúr által keltett felharmonikusok frekvenciái egyszerű egész számok arányával kapcsolódnak egymáshoz. Valóban, az első és a második felharmonikus frekvenciája egyszerű 2:1 arányban (2:1) áll. A második és harmadik felharmonikusok frekvenciaaránya 3:2. A harmadik és a negyedik felharmonikus 4:3 arányú. Az ötödik és a negyedik harmonikus 5:4, és így tovább és így tovább. Ezeknek így kell lenniük. Miért? Mert a felharmonikusok az alapfrekvencia egyszerű többszörösei. Nos, valójában ez áll Püthagorasz megfigyelése mögött: amikor hasonló húrokat szólaltatott meg azonos feszültséggel, de különböző hosszúsággal, ugyanolyan felharmonikusokkal rendelkező hangokat adott ki. Semmi több, semmi kevesebb.
Hadd legyek itt egészen egyértelmű, mert a lényeg, amire itt próbálok rávilágítani, kissé árnyalt. Pitagorasz húrja az Pitagorasz húrja: hasonló húrokról beszélt. Tehát nem valami tényleges gitárról, zongoráról vagy bármilyen más húros hangszerről beszélünk. A (modern) vonós hangszerek húrjai nem hasonlóak, és nem ugyanolyan feszességűek. Például egy gitárhúr hat húrja nem különbözik a hosszukban (mind 650 mm), de a feszültségük különböző. A klasszikus gitár hat húrja is más átmérőjű, és az első három húr sima húr, szemben a legalsó húrokkal, amelyek tekercseltek. A húrok tehát nem hasonlóak, hanem valóban nagyon különbözőek. A lényeg illusztrálására bemásoltam az alábbi értékeket a számos kereskedelmi forgalomban kapható gitárhúrkészlet közül csak egynek az értékeit. 
A zongorahúrok esetében ugyanez a helyzet. Bár ezek valamivel egyszerűbbek (mindegyik zongorahúrból készül, ami alapvetően nagyon jó minőségű acélhuzal), ezek is különböznek – nemcsak hosszukban, hanem átmérőjükben is, jellemzően 0,85 mm-től a legmagasabb magasságú húrok esetében 8,5 mm-ig (tehát tízszer 0,85 mm) a legalacsonyabb basszushúrok esetében.
Röviden, Püthagorasz nem gitáron vagy zongorán játszott (vagy bármilyen más, kifinomultabb húros hangszeren, ami a görögöknek is biztosan volt), amikor ezeken a harmonikus összefüggéseken gondolkodott. A híres megfigyelése mögött álló fizikai magyarázat tehát igen egyszerű: az azonos felharmonikusokkal rendelkező zenei hangok kellemesen, vagy mondhatnánk úgy is, hogy konszonánsan hangzanak – a latin con-sonare szóból, ami szó szerint azt jelenti, hogy “együtt hangzanak” (a sonare = hang és a con = együtt). Másképp pedig… Nos… Akkor nem hangzanak kellemesen: disszonánsak.”
Hogy a lényegre rávilágítsak, hadd hangsúlyozzam, hogy amikor egy húrt pengetünk, sok frekvenciából álló hangot produkálunk, méghozzá egyszerre. Ezt a gyakorlatban is láthatjuk: ha egy zongorán megütünk egy alsó A húrt – mondjuk a 110 Hz-es A2 húrt – akkor annak második felharmonikusa (220 Hz) az A3 húrt is rezgésbe hozza, mert annak ugyanez a frekvenciája! A negyedik felharmonikusa pedig az A4 húrt is rezgésbe hozza, mert mindkettő 440 Hz-es frekvenciájú. Természetesen ezeknek a többi rezgésnek az erőssége (vagy mondjuk úgy, hogy amplitúdója) a többi felharmonikus erősségétől függ, és természetesen azt kell várnunk, hogy az alapfrekvencia (azaz az első felharmonikus) fogja elnyelni az energia nagy részét. Tehát egy húrt pengetünk, és így egyetlen hangot, egyetlen hangot kapunk, de egyszerre számos hangot!”
Ezzel kapcsolatban azt is meg kell jegyeznünk, hogy a mi 110 Hz-es A2 húrunk harmadik felharmonikusa megfelel az E4 hang alapfrekvenciájának: mindkettő 330 Hz! És természetesen az E felharmonikusai, mint például a második felharmonikusa (2-330 Hz = 660 Hz) is megfelelnek az A magasabb felharmonikusainak! Konkrétan: az E húr második felharmonikusa megegyezik az A2 húr hatodik felharmonikusával. Ha jó a gitárod, és ha a húrjaid is megfelelő minőségűek, akkor valóban látni fogod: az (alsó) E és A húr együttrezeg, ha az A-dúr akkordot játszod, de csak a felső négy húr megpengetésével. Tehát energia – valójában mozgás – kerül át a négy húrról a két húrra, amelyet nem ütünk meg! Azt fogod mondani: és akkor mi van? Nos… Ha van valami jobb bizonyítékod a különböző frekvenciák egyidejű jelenlétének aktualitására (vagy valóságára), kérlek, mondd el! 🙂
Az A és az E tehát ezért hangzik nagyon jól együtt (az A, az E és a Cisz együtt játszva alkotják az úgynevezett A-dúr akkordot): a fülünk szereti az egymáshoz illeszkedő harmóniákat. És ezért szeretjük tehát a zenei hangokat – vagy ezért definiáljuk ezeket a hangokat zenei hangként! 🙂 Hadd foglaljam össze még egyszer: a zenei hangok összetett hanghullámok, amelyek egy alapfrekvenciából és úgynevezett felharmonikusokból állnak (tehát egy zenei hangban összesen sok hang vagy tiszta hang van). Nos, ha más zenei hangoknak is vannak közös felharmonikusai, és ezeket a hangokat is megszólaltatjuk, akkor a harmónia érzetét kapjuk, azaz a kombináció mássalhangzónak hangzik.
Nem nehéz belátni, hogy mindig lesznek ilyen közös felharmonikusok, ha hasonló húrokat, azonos feszültséggel, de különböző hosszúsággal együtt szólaltatunk meg. Röviden, amit Püthagorasz megfigyelt, annak nem sok köze van a hangjegyekhez, hanem a hangokhoz. Menjünk most egy kicsit tovább az elemzésben, még egy kis matematika bevezetésével. És igen, nagyon sajnálom: ez bizony a rettegett Fourier-analízis! 🙂
Fourier-analízis
Tudjuk, hogy bármilyen periodikus függvényt felbonthatunk egyszerű szinuszos függvények (potenciálisan végtelen) sorozatainak összegére, ahogy azt az alábbi ábra mutatja. Az illusztrációt a Wikipédiából vettem: a piros s6(x) függvény hat különböző amplitúdójú és (harmonikusan összefüggő) frekvenciájú szinuszfüggvény összege. Az úgynevezett Fourier-transzformáció S(f) (kékkel) a hat frekvenciát a megfelelő amplitúdókkal hozza összefüggésbe.
A fenti értekezés fényében könnyen belátható, hogy ez mit jelent a pengetett húrból érkező hangra nézve. A szögfrekvenciás jelölést használva (tehát mindent ω-val írunk f helyett), tudjuk, hogy a normál vagy természetes rezgésmódok frekvenciája ω = 2π/T = 2πf (tehát ez az alapfrekvencia vagy első harmonikus), 2ω (második harmonikus), 3ω (harmadik harmonikus), és így tovább és így tovább.
Most nincs okunk feltételezni, hogy a hangunkat alkotó összes szinuszfüggvénynek ugyanolyan fázisúnak kell lennie: előfordulhat némi Φ fáziseltolódás, és ezért a szinuszfüggvényünket nem cos(ωt), hanem cos(ωt + Φ) alakban kell leírnunk, hogy elemzésünk elég általános legyen. Nos, a geometria órákról tudjuk, hogy a cos(ωt + Φ) átírható így:
cos(ωt + Φ) =
Ezekből a függvényekből természetesen sok van – tulajdonképpen minden felharmonikushoz tartozik egy -, és ezért indexeket kell használnunk, amit az alábbi képletben meg is teszünk, amely szerint bármely f(t) függvény, amely T periódussal periodikus, matematikailag így írható fel:
Azt kérdezhetjük: mi az a T periódus? Ez az alapmódus, azaz az első felharmonikus periódusa. Valóban, a második, harmadik stb. felharmonikus periódusa csak az első felharmonikus periódusának fele, harmada stb. lesz. Valóban, T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, és T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1, és így tovább. Könnyen belátható azonban, hogy ezek a függvények is megismétlődnek két, három stb. periódus után. Tehát minden rendben van, és a Fourier-analízis általános gondolatát az alábbiakban tovább szemléltetjük.
Mondjuk: Mi a fene! Minek itt a matematikai torna? Csak azért, hogy megértsük a zenei hangok másik jellemzőjét: a minőségét (szemben a hangmagassággal). Egy úgynevezett gazdag hangnak erős felharmonikusai lesznek, míg egy tiszta hangnak csak az első felharmonikusa. Az összes többi jellemző – a különbség egy hegedű és egy zongora által produkált hang között – aztán az összes ilyen felharmonikus “keverékével” függ össze.
Így most már minden megvan, kivéve a hangosságot, ami természetesen a légnyomás változásának nagyságával függ össze, ahogy a hullámformánk a levegőben mozog: a hangmagasság, a hangerő és a minőség. ez teszi a zenei hangot. 🙂
Diszonancia
Mint már említettük, ha a hangok nem konszonánsak, akkor disszonánsak. De mi is az a disszonancia valójában? Mi az, hogy disszonancia? A válasz a következő: amikor két frekvencia közel van egy egyszerű törthez, de nem pontosan, akkor úgynevezett ütéseket kapunk, amit a fülünk nem szeret.
Huh? Nyugi. Az alábbi ábra, amelyet a Wikipedia zongorahangolásról szóló cikkéből másoltam ki, jól szemlélteti a jelenséget. A kék hullám a piros és a zöld hullám összege, amelyek eredetileg azonosak. De aztán a zöld hullám frekvenciája megnő, és így a két hullám már nem fázisban van, és az interferencia lüktető mintát eredményez. Természetesen a mi zenei hangunkban különböző frekvenciák, és így különböző periódusok T1,T2, T3 stb. szerepelnek, de érted a lényeget: a magasabb felharmonikusok is T1 periódussal rezegnek, és ha a frekvenciák nem állnak valamilyen pontos arányban, akkor hasonló problémánk lesz: lüktetés, és a fülünk nem fogja szeretni a hangot.
Az ember persze elgondolkodik: miért nem szeretjük a lüktetést a hangokban? Ezt megkérdezhetjük, nem igaz? Ez olyan, mintha azt kérdeznénk, hogy miért szeretjük a zenét, nem? Hát… Ez is és nem is az. Olyan, mintha azt kérdeznénk, hogy miért szereti a fülünk (vagy az agyunk) a harmóniákat. Nem tudjuk. Így vagyunk összedrótozva. A “fizikai” magyarázat arra, hogy mi a zenei és mi nem, csak eddig terjed, azt hiszem. 😦
Pythagoras kontra Bach
A fentebb írtakból nyilvánvaló, hogy egy zenei hang felharmonikusainak frekvenciái valóban kis egész számok egyszerű arányai révén kapcsolódnak egymáshoz: az első és a második felharmonikus frekvenciái egyszerű 2:1 arányban (2:1); a második és a harmadik felharmonikus frekvenciája 3:2; a harmadik és a negyedik felharmonikusé 4:3; az ötödik és a negyedik felharmonikusé 5:4, és így tovább. Ennyi az egész. Semmi több, semmi kevesebb.
Más szóval, Püthagorasz zenei hangokat figyelt meg: a mögötte lévő tiszta hangokat, vagyis a tényleges hangokat nem tudta megfigyelni. Az esztétika azonban arra késztette Püthagoraszt, és utána minden zenészt – egészen a 18. század közepéig -, hogy azt is gondolja, hogy az oktávon belüli hangok frekvenciáinak aránya is egyszerű arányok legyenek. Abból, amit fentebb kifejtettem, nyilvánvaló, hogy ez nem így kell, hogy működjön: két n féllépéssel elválasztott hang frekvenciáinak aránya 2n/12, és n legtöbb értéke esetén a 2n/12 nem valamilyen egyszerű arány.
Így – már mondtam – Püthagorasz tévedett – nemcsak ebben, hanem más tekintetben is, például amikor a Naprendszerről vallott nézeteit hirdette. Ismétlem, sajnálom, hogy ezt kell mondanom, de ez van, ami van: a püthagoreusok, úgy tűnik, valóban a matematikai elképzeléseket részesítették előnyben a fizikai kísérletekkel szemben 🙂 Ezt leszámítva, a zenészek nyilvánvalóan nem ismertek semmilyen alternatívát Püthagorasz mellett, és akkoriban biztosan nem hallottak a logaritmikus skálákról. Tehát… Nos… Ők valóban az úgynevezett püthagoraszi hangolási rendszert használták. Pontosabban úgy hangolták hangszereiket, hogy a C-skála első és ötödik hangja (azaz a C és a G, mivel a Cisz, Disz és Fisz félhangokat nem számolták bele a számolásba) közötti frekvenciaarányt a 3/2 arányszámmal tették egyenlővé, majd a köztes hangokra más, úgynevezett harmonikus arányszámokat használtak.
Most, a 3/2 arány valójában majdnem helyes, mert a tényleges frekvenciaarány 27/12 (hét hangunk van, a félhangokkal együtt – nem öt!), és így ez körülbelül 1,4983. Na, ez elég közel van a 3/2 = 1,5-höz, azt mondanám. 🙂 Ezt a közelítést használva (ami, elismerem, valóban elég pontos), a többi húr hangolását is úgy kellene ezután elvégezni, hogy feltételezzük, hogy bizonyos arányokat be kell tartani, például az alábbiakat.
Az egész tehát elég jó volt. Mindezek után a jó zenészek és néhány nagy matematikus úgy érezte, hogy valami nincs rendben – már csak azért is, mert több úgynevezett just intonációs rendszer is létezett (áttekintésért nézd meg a Wikipedia just intonációról szóló szócikkét). Ami ennél is fontosabb, úgy érezték, hogy elég nehéz transzponálni a zenét a püthagoraszi hangolási rendszerrel. A zene transzponálása a zenemű úgynevezett hangnemének megváltoztatását jelenti: az ember lényegében az egész darabot egy állandó, nem oktávval egyenlő intervallummal felfelé vagy lefelé mozgatja a hangmagasságban. Manapság a transzponálás gyerekjáték – legalábbis a nyugati zenében. De ez csak azért van így, mert minden nyugati zenét olyan hangszereken játszanak, amelyeket e logaritmikus skála szerint hangolnak (technikailag ezt 12-tónusú, egyenlő temperálású (12-TET) rendszernek nevezik). Ha a püthagoraszi rendszerek valamelyikét használnánk a hangoláshoz, egy transzponált darab nem hangzik egészen jól.
Az első matematikus, aki valóban úgy tűnt, hogy tudja, mi a baj (és ezért azt is tudta, mit kell tennie), Simon Stevin volt, aki Kr. u. 1600 körül írt egy kéziratot a “12. gyök 2 elvén” alapulva. Nem kellene meglepődnünk: ennek a bruges-i matematikusnak a gondolkodása inspirálta majd John Napier logaritmusokkal kapcsolatos munkáját. Sajnos, bár ez a kézirat leírja a 12-TET rendszer alapelveit, nem került publikálásra (Stevinnek el kellett menekülnie Brugesből Hollandiába, mert protestáns volt, és ez nem tetszett az akkori spanyol uralkodóknak). Ezért a zenészek, miközben nem igazán értették a saját zenéjük mögött álló matematikát (vagy inkább fizikát), folyamatosan más hangolási rendszerekkel próbálkoztak, mivel úgy érezték, hogy ettől valóban jobban szól a zenéjük.
Egyik ilyen “más rendszer” az úgynevezett “jó” temperálás, amiről biztosan hallottál már, mivel Bach híres művében, a Das Wohltemperierte Klavierban is szerepel, amelyet a 18. század első felében véglegesített. Mi is ez a “jó” temperálás valójában? Nos… Az, ami: egyike azoknak a hangolási rendszereknek, amelyek miatt a zenészek több okból is jobban érezték magukat a zenében, és amelyek mindegyikét jól leírja a Wikipédia róla szóló szócikke. De a fő ok az, hogy a Bach által ajánlott hangolási rendszer sokkal jobb volt, amikor ugyanazt a darabot más hangnemben kellett játszani. Azonban még mindig nem volt teljesen helyes, mivel ez nem az a kiegyenlített temperálási rendszer (azaz a 12-TET rendszer) volt, amely ma is érvényben van (legalábbis nyugaton – az indiai zenei skála például még mindig egyszerű arányokon alapul).”
Miért említem ezt a Bach-darabot? Az ok egyszerű: valószínűleg azért hallottál róla, mert ez az egyik fő hivatkozási pont egy meglehetősen híres könyvben: Gödel, Escher és Bach – egy örök aranyfonat. Ha nem, akkor felejtsd el. Azért említem meg, mert az egyik testvérem imádja. A mesterséges intelligenciáról szól. Nem olvastam, de feltételezem, hogy Bach remekművét a szerkezete miatt elemzik benne, nem pedig a hangolási rendszer miatt, amit az embernek használnia kellene, amikor játssza. Szóval… Hát… én azt mondanám: ne tedd még misztikusabbá azt a kompozíciót, mint amilyen amúgy is. 🙂 A mögötte lévő “varázslat” összefügg azzal, amit arról mondtam, hogy az A4 a “referenciapont” a zenében: mivel most már egy univerzális logaritmikus skálát használunk, nincs többé abszolút referenciapont: amint meghatározzuk a zenei “egységünket” (tehát az úgynevezett oktávot a nyugati zenében), és azt is, hogy hány lépést akarunk a kettő között (tehát a nyugati zenében ez a 12), megkapjuk az összes többit. Így működnek a logaritmusok.”
A zene tehát röviden szólva a struktúráról szól, azaz matematikai összefüggésekről, és csakis matematikai összefüggésekről. Ismétlem, Püthagorasz következtetései tévesek voltak, de az intuíciója helyes volt. És természetesen az ő intuíciója szülte a tudományt: az általa készített egyszerű “modellek” – a hangjegyek egymáshoz való viszonyáról vagy a Naprendszerünkről – nyilvánvalóan csak a kezdetét jelentették. És milyen nagyszerű kezdet volt! Ha még egyszer visszatekintünk, elég szomorú, hogy a konzervatív erők (például az egyház) gyakran a fejlődés útjába álltak. Valójában hirtelen elgondolkodom: ha a tudósokat nem zavarták volna ezek a konzervatív erők, akkor az emberiség már V. Károly születése körül, azaz Kr. u. 1500 körül küldhetett volna embereket? 🙂
Post scriptum: A példám, hogy a (alsó) E és A gitárhúr együttrezgése az A-dúr akkordot játszva csak a felső négy húrra ütve, kissé trükkös. Az (alsó) E és A húrokhoz mélyebb hangmagasságok tartoznak, és azt mondtuk, hogy a felhangok (azaz a második, harmadik, negyedik, stb. felharmonikusok) az alapfrekvencia többszörösei. Akkor miért van az, hogy az alsó húrok együttrezegnek? A válasz egyszerű: csak a magasabb frekvenciákon rezegnek. Ha van egy gitárja: csak próbálja ki. Az a két húr, amit nem pengetsz, valóban rezeg – és nagyon is láthatóan -, de az alacsony alapfrekvenciák, amelyek akkor jönnek ki belőlük, amikor megütnéd őket, nem hallhatóak. Röviden: csak a magasabb frekvenciákon rezonálnak. 🙂
A Feynman által említett példa sokkal egyszerűbb: példája szerint a zongora alsó C (vagy A, B, stb.) hangjai rezgéseket okoznak a magasabb C húrokban (illetve a magasabb A, B, stb. húrban). Például a C2 billentyű (és így a zongorán belül a C2 húr) leütése a (magasabb) C3 húrt is rezgésbe hozza. De gondolom, kevesünknek van otthon nagyzongora. Ezért inkább a gitárpéldámat részesítem előnyben. 🙂