(sz. Dordrecht, Hollandia, 1625. szeptember 24.; megh. Hága, Hollandia, 1672. augusztus 20.)
matematikus.
De Witt Jacob de Witt, dordrechti polgármester és Anna van de Corput fia volt. Mindkét család a Hollandia városait és tartományait kormányzó régensosztály kiemelkedő tagjai voltak. 1636-ban lépett be a dordrechti latin iskolába, majd 1641-ben a leideni egyetemre ment. Ott jogot tanult, majd 1645-ben Franciaországba távozott, hogy Angers-ben szerezzen diplomát. Leidenben magánúton tanult matematikát Frans van Schooten ifjabbal, akitől kiváló képzést kapott a karteziánus matematikában. De Witt tehetséges matematikus volt, akinek kevés ideje jutott a matematikára. 1650-ben dordrechti, 1653-ban pedig hollandiai nagypénztárnok lett, így ő lett az állampárt vezetője, és tulajdonképpen Hollandia miniszterelnöke. Szokatlan képességű és erős jellemű államférfi volt, aki az Oraniai Vilmos kisebbsége alatti húszéves interregnum alatt a Stadtholdingban irányította az Egyesült Tartományok ügyeit. Ez volt a holland történelem egyik legkritikusabb időszaka a három angol-holland háborúval; az orániai frakció ellenségeskedése abban csúcsosodott ki, hogy 1672-ben egy tömeg meggyilkolta de Wittet és testvérét, Cornelis-t.
De Witt legfontosabb matematikai munkája az 1650 előtt írt Elementa curvarum linearum című műve volt, amelyet Van Schooten Descartes Géométrie című művének második latin kiadásában (1659-1661) nyomtatott ki. A mű két könyvből áll: az első az Apollonius Kúpok korai könyveiben található geometriai elmélet szintetikus feldolgozása ; a második pedig az egyenes és a kúpok analitikus geometriájának egyik első szisztematikus kidolgozása. Az első könyvben a parabola, az ellipszis és a hiperbola tüneteit (arányokban kifejezve) nem a kúp metszeteiként, hanem síkbeli lókuszokként vezetik le. Az ellipszisre vonatkozó locusdefiníciói ma már ismerősek számunkra: az excentrikus szögkonstrukció (egy forgó szakaszhoz képest rögzített pont); a trammel-konstrukció (egy adott szakaszon rögzített pont, amely két egymást metsző egyenesen mozog); és a “húr” konstrukció, amely a kétfókuszú definíción alapul. A hiperbola és a parabola esetében a helypontot két párhuzamos és egy egybeeső egyenes ceruza megfelelő tagjainak metszéspontjaként konstruáljuk. Modern szempontból ezek érdekes, nem szándékos példái a kúpok Steiner-Chasles-féle projektív definíciójának, ahol az egyik ceruza csúcsa a végtelenben van.
De Wittnek tulajdonítják a “direktrix” kifejezés bevezetését a parabolára, de levezetéséből világos, hogy nem használja ezt a kifejezést a mi fókusz-directrix definíciónk fix vonalára. Adott DB és EF rögzített egyenesek, amelyek D-ben metszik egymást, B a pólus és EF a direktrix: az EF bármely H pontjára, ha ∠HBL egyenlő ∠FDB-vel, akkor a BD-vel párhuzamos, H-n áthaladó egyenes a BL-t G-ben, a lokusz egy pontjában metszi. AC-t húzunk B-n keresztül ∠DBC = ∠BDF értékkel, amely vágja HG-t I-ben, és GK-t húzunk AC-vel párhuzamosan. Mivel a BDH és a GKB háromszögek hasonlóak, (BI)2 =(BD) (BK) vagy y2 = px, egy parabola, amelynek csúcsa B-ben van, abszcissza BK = x, ordináta KG = y. Ha EF merőleges DB-re, akkor egy derékszögű koordinátarendszer adódik, de EF nem a mi direktrixunk.
Az Elementa első könyvében de Witt nem csak a kúpokat szabadította ki a kúptól kinematikus konstrukcióival, hanem a konstruálhatóság kartézi kritériumainak is megfelelt. Ez a könyv, mint arról van Schootennek beszámolt, azért íródott, hogy hátteret adjon a második könyv új analitikus fejlődéséhez. Az analitikus feldolgozást azzal kezdte, hogy megmutatta, hogy az elsőfokú egyenletek egyeneseket ábrázolnak. Az akkoriban szokásos módon nem használt negatív koordinátákat, csak az első kvadránsban lévő szakaszokat vagy sugarakat ábrázolta. Gondosan elmagyarázta az egyenesek tényleges felépítését tetszőleges együtthatókra
, mivel ezekre szükség lesz az általános kvadratikus egyenleteket típusos kúpokra redukáló transzformációiban. Minden egyes kúp esetében de Witt az I. könyvben szereplő standard formáival egyenértékű egyszerűsített egyenletekkel kezdte, majd fordításokat és forgatásokat használt, hogy a bonyolultabb egyenleteket a kanonikus formákra redukálja. Például a hiperbola
esetében hagyja
és aztán
v = x + h
ahol h az x-ben lévő lineáris tag együtthatója az első helyettesítés után, így
egy standard hiperbolát kapunk, amely az új v vagy z tengelyt aszerint vágja, hogy hh nagyobb vagy kisebb, mint. Bár úgy tűnik, hogy de Witt a példái kiválasztásakor tisztában van az általános kvadratikus egyenlet jellegzetességével, a parabola esetét kivéve nem említi kifejezetten annak használatát a kúp alakú egyenlet típusának meghatározására. Ott azt állítja, hogy ha a másodfokú tagok tökéletes négyzetet alkotnak, akkor az egyenlet parabolát ábrázol.
Az utolsó fejezet a különböző transzformációk összegzése, amely megmutatja, hogyan lehet megkonstruálni az összes másodfokú egyenlet grafikonját. A pozitív és negatív együtthatók minden esetét külön-külön rajzban kell kezelni, de az egyes görbék tárgyalása teljesen általános, és mind az eredeti, mind az átalakított tengelyek fel vannak rajzolva.
A görbék normál alakra való algebrai egyszerűsítésein kívül a II. könyv tartalmazza a parabola szokásos fókuszirányú tulajdonságát, valamint az eilipszis és a hiperbola analitikus levezetéseit mint olyan pontok helyét, amelyek két fix ponttól való távolságának összege vagy különbsége egy állandó. Ezeket a modern módon, kétszeres négyzeteléssel, a Pitagorasz-tétel kifejezett használatával az újabb távolságképlet helyett.
De Witt Elementa és John Wallis Tractatus de sectionibus conicis (1655) című művét tekintik az analitikus geometria első tankönyveinek. Bár Wallis felvetette az elsőbbség kérdését, megközelítésük eltérő és teljesen független volt. Wallis először a kúpokat másodfokú egyenletként határozta meg, és az egyenletekből vezette le a görbék tulajdonságait, míg de Witt a síkban geometriailag határozta meg őket, majd megmutatta, hogy a kvadratikus egyenletek visszavezethetők az ő normálformáira.
Christiaan Huygens egyszer azt írta John Wallisnak de Wittről: “Ha minden erejét matematikai munkákra fordíthatta volna, mindannyiunkat felülmúlt volna”. Geometriája volt az egyetlen hozzájárulása a tiszta matematikához, de matematikai érdeklődését a holland tartomány pénzügyi problémáihoz kötötte hosszú nagypénztári működése alatt. A Statres számára a pénzszerzés legfőbb eszköze az életjáradékok vagy a fix járadékok voltak. 1665-ben de Wittnek sikerült a kamatlábat 5 százalékról 4 százalékra csökkentenie, és létrehozott egy süllyesztőalapot, amelynek a kamatos kamatozással felhalmozott, átváltással megtakarított kamatát Hollandia adósságára kellett fordítani, amelyet így negyvenegy év alatt ki lehetett fizetni. A második angol-holland háború(1665-1667) azonban meghiúsította ezt a tervet. Az angol háborúk örökös pénzszivárgást jelentettek, és a kiadások több mint felét (szinte csak a háború költségeit) elnyelték a kamatfizetések.
1671 áprilisában elhatározták, hogy az alapokat életjáradékokkal tárgyalják meg, így az adósságot egy generációra korlátozzák. De Witt készített egy értekezést a holland államok számára, amelyben matematikailag bizonyította, hogy az életjáradékokat a fix járadékokhoz képest túl magas kamatláb mellett kínálták. Sok éven át az életjáradékok kamatlába a szokásos kamatláb kétszerese volt.Hollandia nemrégiben huszonöt éves vásárlási időre (4 százalék) csökkentette a kamatlábat, és tizennégy éves vásárlási idővel (7 százalék) árulta az életjáradékokat. De Witt az árat tizenhat éves vásárlásra (6¼ százalék) akarta emelni. Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (1671. július) című munkája minden bizonnyal az első olyan kísérletek közé tartozik, amelyek a valószínűségelméletet gazdasági problémákra próbálták alkalmazni. Politikai értekezésként íródott, és csaknem kétszáz évig a levéltárakban maradt eltemetve. Mióta Frederick Hendriks 1852-ben felfedezte és közzétette, számos cikk jelent meg (ezek közül néhányat a bibliográfia felsorol), amelyek a modern biztosításmatematika alapján magyarázzák vagy kritizálják. Valójában egy nagyon egyszerű és zseniális disszertációról van szó, amely csupán a matematikai várakozás elvének alkalmazásán alapul az egyenlő szerződések kialakításához.
De Witt felsorolta a félévenként 10 000 000 stuyvers (a tizedesjegyek elkerülése végett) összegű járadékfizetések jelenértékeit 4 százalékkal, és a matematikai várakozásokat különböző életkorokra vonatkozó hipotetikus halálozási ráták felhasználásával összegezte. Először feltételezte, hogy egy ember ugyanolyan valószínűséggel hal meg bármelyik év első vagy utolsó felében, majd – mivel a járadékokat általában fiatal életévekre vásárolták – ezt kiterjesztette a “teljes életkorú évek” bármelyik félévére, háromtól ötvenhárom éves korig. Az egyszerűség kedvéért az első száz fél évet egyformán pusztítónak vagy halálosnak tekintette, bár kijelentette, hogy a halálozás valószínűsége valójában kisebb az első években. Így a nyolcvanéves korban is megállt, bár sokan túl is élnek ezen a koron. A következő tíz évben, ötvenháromtól hatvanháromig, az elhalálozás esélye nem haladja meg több mint 3:2 arányban az első időszak elhalálozásának esélyét; hatvanháromtól hetvenháromig az elhalálozás esélye nem több mint 2:1; hetvenháromtól nyolcvanig pedig nem több mint 3:1.
De Witt számos példát hoz a matematikai várakozás fogalmának használatára. A következő alapvető a későbbi számításaihoz, és sok kommentátor figyelmen kívül hagyta. Vegyünk egy negyvenéves és egy ötvennyolc éves embert. Feltételei szerint az idősebb ember halálának esélye a fiatalabbal szemben 3:2. Egy egyenlő szerződést lehetne kidolgozni:ha az ötvennyolc éves ember hat hónapon belül meghal, a fiatalabb ember 2000 guldent örököl, de ha a negyvenéves ember hat hónapon belül meghal, az idősebb 3000 guldent örököl. Vagyis annak az esélye, hogy az ötvennyolc éves férfi 3000 guldenre tesz szert. olyan 2:3, vagy, de Witt járadékszámításai szerint, annak az esélye, hogy a második időszakban egy adott járadékfizetést kapjon, kétharmada az első időszakénak.
Ezzel az érveléssel de Witt számításai egyszerűek: az első száz félévre összeadja a jelenértékeket; a következő húsz félévre a jelenértékek kétharmadát; a következő húszra a jelenértékek felét; az utolsó tizennégyre pedig az egyharmadát. Mindezeket összeadjuk, és az átlagot vesszük, ami egy fiatal és egészséges életre egy florinnyi járadék jelenértékeként valamivel több mint tizenhat flintot ad. Ha a módszert a tényleges halandósági táblázatokra alkalmazták volna, a munka félelmetes lett volna. Később, 1671-ben de Witt és Jan Hudde leveleztek az egynél több életre járó túlélőjáradékok problémájáról, és itt mindketten a holland járadéknyilvántartásokból vett tényleges halandósági adatokat használták. De Witt több, legalább száz, adott korú személyből álló csoporttal dolgozva dolgozta ki a két életre szóló járadékok megfelelő arányait. Ezeket egy Pascal-háromszög segítségével utólagosan kiterjesztették tetszőleges számú életre, azzal az ígérettel, hogy Hudde az eredményeket a priori megállapítja. Ez volt de Witt járadékokkal kapcsolatos munkásságának csúcspontja, de politikai okokból azt javasolta Hudde-nak, hogy a nyilvánosságot ne tájékoztassák tanulmányuk eredményeiről, mivel hajlandóak voltak egynél több életre szóló járadékot vásárolni az aktuális, a kormány számára kedvező árfolyamon.
BIBLIOGRÁFIA
I. Eredeti művek. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten’ latin kiadásában: Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Hága, 1671; facs. szerk. Haarlem, 1879). Hat kötetnyi levél a Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). A XXXIII. kötet matematikusokhoz és matematikusoktól származó leveleket tartalmaz, beleértve a Jan Hudde-hoz írt leveleket a több életre szóló járadékokról.
II. Másodlagos irodalom. A de Wittről szóló számos életrajz közül Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amszterdam, 1915) című műve nélkülözhetetlen. Még mindig értékes G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 kötet. (Párizs, 1884); angol fordítás: S. F. Stephenson és A. Stephenson (London, 1885). A korszak megbízható tárgyalását, valamint de Witt és és III. Vilmos közötti kapcsolatokat lásd Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), valamint Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), angol ford., Arnold Pomerans (London. 1969). A geometriáról lásd P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige”, in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser, 11 (1915), 98-126; és C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Az életjáradékokról szóló mű angol fordítása megtalálható Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” in The Assurance Magazine (most Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. Az Archief voor Verzekeringe Wetenschap 3. (1901), 10. (1908) és 11. (1909) számai különböző kritikákat és magyarázatokat tartalmazó cikkeket tartalmaznak de Witt járadékokról szóló írásairól.
Joy B. Easton
.