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ORDER STATA

Modelli di Markov-switching

Di cosa si tratta?

A volte, i processi evolvono nel tempo con cambiamenti discreti nei risultati.

Pensate alle recessioni e alle espansioni economiche. All’inizio di una recessione, la produzione e l’occupazione cadono e rimangono basse, e poi, più tardi, la produzione e l’occupazione aumentano. Pensate ai disturbi bipolari in cui ci sono periodi maniacali seguiti da periodi depressivi, e il processo si ripete. Statisticamente, le medie, le varianze e altri parametri cambiano attraverso gli episodi (regimi). Il nostro problema è stimare quando i regimi cambiano e i valori dei parametri associati ad ogni regime. Chiedere quando i regimi cambiano è equivalente a chiedere per quanto tempo i regimi persistono.

Nei modelli di transizione di Markov, oltre a stimare le medie, le varianze, ecc. di ogni regime, stimiamo anche la probabilità di cambiamento di regime. Le probabilità di transizione stimate per qualche problema potrebbero essere le seguenti:

Inizia nello stato 1. La probabilità di transitare dallo stato 1 allo stato 1 è 0,82. Detto diversamente, una volta nello stato 1, il processo tende a rimanerci. Con una probabilità di 0,18, tuttavia, il processo passa allo stato 2. Lo stato 2 non è così persistente. Con probabilità 0,75, i processi ritornano dallo stato 2 allo stato 1 nel periodo di tempo successivo.

I modelli di Markov-switching non sono limitati a due regimi, anche se i modelli a due regimi sono comuni.

Nell’esempio precedente, abbiamo descritto la commutazione come brusca; la probabilità è cambiata istantaneamente. Tali modelli di Markov sono chiamati modelli dinamici. I modelli di Markov possono anche ospitare cambiamenti più morbidi modellando le probabilità di transizione come un processo autoregressivo.

Così la commutazione può essere liscia o brusca.

Vediamo come funziona

Osserviamo i cambiamenti medi tra i regimi. In particolare, analizzeremo il Federal Funds Rate. Il Federal Funds Rate è il tasso di interesse che la banca centrale degli Stati Uniti applica alle banche commerciali per i prestiti overnight. Guarderemo i cambiamenti nel tasso dei fondi federali dal 1954 alla fine del 2010. Ecco i dati:

Abbiamo dati trimestrali. Tassi di interesse elevati sembrano caratterizzare gli anni settanta e ottanta. Assumeremo che ci sia un altro regime per i tassi di interesse più bassi che sembrano caratterizzare gli altri decenni.

Per adattare un modello a commutazione dinamica (abrupt-change) con due regimi, digitiamo

. mswitch dr fedfundsPerforming EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Regressione dinamica markov-switchingCampione: 1954q3 – 2010q4 No. di oss = 226Numero di stati = 2 AIC = 4,5455Probabilità incondizionate: transizione HQIC = 4,5760 SBIC = 4,6211Log likelihood = -508,63592

Riportati nell’output sopra sono

• le medie dei due stati (_cons);
• una singola deviazione standard per l’intero processo (sigma); e
• le probabilità di transizione per lo stato 1 a 1 e lo stato 2 a 1 (p11 e p21).

Lo stato 1 è lo stato moderato (media del 3,71%).

Stato2 è lo stato ad alto tasso (media del 9,56%).

Entrambi gli stati sono incredibilmente persistenti (probabilità 1->1 e 2->2 di 0.98 e 0.95).

Tra le cose che si possono prevedere dopo la stima c’è la probabilità di essere nei vari stati. Abbiamo solo due stati, e quindi la probabilità di essere (diciamo) nello stato 2 ci dice la probabilità per entrambi gli stati. Possiamo ottenere la probabilità prevista e tracciarne il grafico insieme ai dati originali:

. predict prfed, pr

Il modello ha poca incertezza sul regime in ogni punto del tempo. Vediamo tre periodi di regime alto e quattro periodi di regime moderato.

Vediamolo funzionare

Guardiamo un esempio di epidemia, cioè gli orecchioni per 10.000 residenti a New York City tra il 1929 e il 1972. Si potrebbe pensare che le epidemie corrispondano a cambiamenti della media, ma quello che vediamo nei dati è un cambiamento ancora maggiore nella varianza:

Abbiamo graficato la variabile S12.mumpspc, cioè i casi di parotite pro capite destagionalizzati su un periodo di 12 mesi, e stiamo per analizzare S12.mumpspc.

Assumeremo due regimi in cui la media e la varianza di S12.mumpspc cambiano. Per adattare un modello dinamico (abrupt-change), digitiamo

. mswitch dr S12.mumpspc, varswitch switch(LS12.mumpspc, noconstant)Performing EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Regressione dinamica Markov-switchingCampione: 1929m2 – 1972m6 No. di oss = 521Numero di stati = 2 AIC = -0,4826Probabilità incondizionate: transizione HQIC = -0,4634 SBIC = -0,4336Log likelihood = 131,7225

Sono riportate

• le medie dei due stati di S12.mumpspc (0,42 e 0,98);
• le deviazioni standard dei due stati (0,06 e 0,26); e
• le probabilità di transizione per lo stato 1 a 1 e lo stato 2 a 1 (0,76 e 0,15).

Lo stato 1 è quello a bassa varianza.

L’insieme completo delle probabilità di transizione è il seguente: