Momenti principali d’inerzia
Come mostrato nel tensore d’inerzia, il momento angolare di un corpo rigido rispetto all’origine del quadro di riferimento locale è espresso come
Se, per caso, tutti i termini fuori diagonale del tensore d’inerzia mostrato in diventano zero, può essere ulteriormente semplificato a
Questo può accadere quando si allineano gli assi del quadro di riferimento locale in modo tale che la massa del corpo si distribuisca uniformemente intorno agli assi, quindi, i termini del prodotto d’inerzia svaniscono tutti. I termini diagonali non nulli del tensore d’inerzia mostrato in sono chiamati momenti d’inerzia principali dell’oggetto.
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Assi principali
Come mostrato in , non è garantito che il vettore momento angolare abbia la stessa direzione del vettore velocità angolare. Questo causa un problema: se la direzione del momento angolare continua a cambiare, si sviluppa una coppia che alla fine costringe l’asse di rotazione a muoversi. Questa è la ragione principale che causa l’usura e le vibrazioni nei macchinari con parti rotanti.
Ma in alcuni casi speciali, la seguente condizione può essere soddisfatta in modo che i vettori momento angolare e velocità mostrino la stessa direzione:
dove I = il momento d’inerzia scalare equivalente del corpo attorno all’asse di rotazione. Qualsiasi asse di rotazione del corpo che sia sufficiente è chiamato asse principale. Esiste un gruppo di assi principali (teoricamente 3) in un corpo tridimensionale. Per esempio, ci sono tre assi principali perpendicolari per il sistema mostrato nella figura 1.
La figura 1
fondamentalmente dice che il tensore d’inerzia può essere sostituito con un singolo momento d’inerzia scalare quando l’asse di rotazione è un asse principale.
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Diagonalizzazione del tensore d’inerzia
Da :
O può essere semplificato a
dove 1 = la matrice identità. I mostrato in è chiamato un autovalore mentre w è l’autovettore. è l’equazione degli autovalori.
Per avere una soluzione non banale il determinante dei coefficienti deve svanire:
porta all’equazione secolare che è sostanzialmente cubica, quindi fornisce tre radici (autovalori): I1, I2 & I3. Ogni radice corrisponde a un momento d’inerzia intorno a un asse principale. Infatti le tre radici sono i momenti d’inerzia principali del corpo rigido introdotto in :
Una volta conosciuti gli autovalori, gli assi principali possono essere calcolati. Sia
dove n = il vettore unitario dell’asse principale, quindi,
Da & :
Per ogni autovalore, si può calcolare il corrispondente nx, ny & nz da & . Si deve prestare attenzione alla direzione dell’autovettore in questo processo.
Nell’analisi del movimento, i momenti principali di inerzia possono essere ottenuti dalle proprietà inerziali dei segmenti del corpo. I1, I2 & I3 di ogni segmento sono generalmente noti. I dati sono disponibili sotto forma di rapporti di raggio di giro (rapporto tra il raggio di giro e la lunghezza del segmento), equazioni di regressione e coefficienti di scala. Si possono anche calcolare i momenti principali di inerzia dei segmenti del corpo attraverso la modellazione utilizzando alcune forme geometriche. Vedere Stima individualizzata del BSP per i dettagli.
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