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Se non avete mai pensato che il sex appeal potesse essere calcolato matematicamente, ripensateci. I granchi violinisti maschi (Uca pugnax) possiedono una chela maggiore ingrandita per combattere o minacciare altri maschi. Inoltre, i maschi con chele più grandi attirano più compagne. Il sex appeal (dimensione delle chele) di una particolare specie di granchio violinista è determinato dalla seguente equazione allometrica: Mc = 0.036 – Mb 1.356, |
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Cos’è l’allometria?
L’allometria è lo studio del cambiamento relativo della proporzione di un attributo rispetto ad un altro durante la crescita dell’organismo. Questi attributi possono essere morfologici, fisiologici o altro. Un esempio ben noto di relazione allometrica è la massa scheletrica e la massa corporea. In particolare, lo scheletro di un organismo più grande sarà relativamente più pesante di quello di un organismo più piccolo. Naturalmente sembra ovvio che gli organismi più pesanti richiedono scheletri più pesanti. Ma è altrettanto chiaro che gli organismi più pesanti richiedono scheletri sproporzionatamente più pesanti? Quindi come funziona la relazione? Consideriamo i seguenti dati:
- un organismo di 10 kg può aver bisogno di uno scheletro di 0,75 kg,
- un organismo di 60 kg può aver bisogno di uno scheletro di 5,3 kg, e ancora
- un organismo di 110 kg può aver bisogno di uno scheletro di 10,2 kg. Non c’è un aumento costante della massa scheletrica per ogni 50 kg di aumento della massa corporea; la massa scheletrica aumenta in proporzione alla massa corporea.
Le leggi di scala allometrica sono derivate da dati empirici. Gli scienziati interessati a scoprire queste leggi misurano un attributo comune, come la massa corporea e le dimensioni del cervello dei mammiferi adulti, in molti taxa. I dati vengono poi estratti per le relazioni da cui vengono scritte le equazioni.
Crescita allometrica
Le relazioni di scala allometriche possono essere descritte utilizzando un’equazione allometrica della forma, f (s) = c s d,
(1) dove c e d sono costanti. Le variabili s e f (s) rappresentano i due diversi attributi che stiamo confrontando (ad esempio, massa corporea e massa scheletrica). Questa equazione può essere usata per capire la relazione tra due attributi. In particolare, la costante d in questo modello determina i tassi di crescita relativi dei due attributi rappresentati da s e f (s). Per semplicità, consideriamo solo il caso d > 0.
- Se d > 1, l’attributo dato da f (s) aumenta in proporzione all’attributo dato da s. Per esempio, se s rappresenta la dimensione del corpo, allora f (s) è relativamente più grande per corpi più grandi che per corpi più piccoli.
- Se 0 < d < 1, l’attributo f (s) aumenta con l’attributo s, ma lo fa ad un ritmo più lento di quello della proporzionalità.
- Se d = 1, allora l’attributo f (s) cambia come una proporzione costante dell’attributo s. Questo caso speciale è chiamato isometria, piuttosto che allometria.
Utilizzando le equazioni allometriche
Nota che (1) è una funzione di potenza non un’equazione esponenziale (la costante d è nella posizione dell’esponente invece della variabile s). A differenza di altre applicazioni in cui abbiamo bisogno dei logaritmi per aiutarci a risolvere l’equazione, qui usiamo i logaritmi per semplificare l’equazione allometrica in un’equazione lineare.
Ecco come funziona
Scriviamo (1) come un’equazione logaritmica della forma,
log (f (s)) = log (c s d). (2) Poi, usando le proprietà dei logaritmi, possiamo riorganizzare (2) come segue, = log c + log (s d), = log c + d log s.
(3) Quando cambiamo le variabili lasciando,
= log f, = log c, = d, = log s. si può vedere che (3) è in effetti l’equazione lineare = mx + b. (4) Quindi, trasformando un’equazione allometrica nel suo equivalente logaritmico si ottiene un’equazione lineare.
Perché preoccuparsi?
Riscrivendo l’equazione allometrica in un’equazione logaritmica, possiamo facilmente calcolare i valori delle costanti c e d da una serie di dati sperimentali. Se tracciamo il log s sull’asse delle x e il log f sull’asse delle y, dovremmo vedere una linea con pendenza uguale a d e intercetta y uguale a log c. Ricordate, le variabili x e y sono realmente su una scala logaritmica (poiché x = log s e y = log f). Chiamiamo un tale grafico un grafico log-logico.
Perché le equazioni allometriche sono derivate da dati empirici, si dovrebbe essere cauti con i dati sparsi intorno a una linea di best fit nel piano xy di un grafico log-log. Piccole deviazioni da una linea di best fit sono in realtà più grandi di quanto possano sembrare. Ricordate, poiché le variabili x e y sono sulla scala logaritmica, i cambiamenti lineari nelle variabili di output (x e y) corrispondono a cambiamenti esponenziali nelle variabili di input (f (s) e s). Poiché siamo interessati in ultima analisi a una relazione tra f e s, dobbiamo preoccuparci anche di piccole deviazioni da una linea di miglior adattamento.
Ora torniamo al nostro granchio violino come esempio concreto.
