Ogni volta che creiamo qualcosa di nuovo, passiamo da 0 a 1. L’atto della creazione è singolare, così come il momento della creazione, e il risultato è qualcosa di fresco e strano.
Peter Thiel, Zero to One
Uno studio del 1992 pubblicato su Nature ha lavorato con neonati di cinque mesi per determinare la loro capacità di comprendere l’addizione e la sottrazione. Gli sperimentatori mostravano ai bambini un oggetto, lo nascondevano dietro uno schermo e poi li facevano guardare mentre aggiungevano un altro oggetto dietro lo schermo. Durante alcune prove, gli sperimentatori rimuovevano surrettiziamente l’oggetto extra. Anche a quell’età, i bambini sapevano che qualcosa non andava quando vedevano “zero oggetti in più” aggiunti al gruppo invece di “un oggetto in più”.
Per la maggior parte, questa è l’intuizione innata che ci ha portato attraverso le nostre prime lezioni di matematica. Se siamo stati fortunati (o sfortunati, a seconda di chi lo chiede), abbiamo avuto il nostro primo assaggio della formalizzazione di questa intuizione nella geometria delle scuole medie o superiori. Partendo da proposizioni chiamate “assiomi” – cose che davamo per scontate come vere – eravamo costretti a considerare come la nostra intuizione derivasse da questi assiomi, e costruivamo “prove” matematiche formali, sebbene elementari, per risultati come la legge dei coseni o la congruenza di due triangoli.
Se l’hai dimenticato, la legge dei coseni dice che c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), dove aaa, bbb, e ccc sono lunghezze dei lati di un triangolo e CCC è l’angolo opposto al lato ccc. Se si inserisce 90 gradi per CCC, si ottiene il teorema di Pitagora.
In quella prima lezione di geometria, ci è stato detto ciò che potevamo assumere come vero – ma ci siamo mai fermati a chiedere perché?
Chi ha deciso cosa esattamente potevamo dare per scontato? Perché questi assiomi specifici? Perché non potevamo dare per scontato che la legge dei coseni fosse vera, e perché dovevamo dimostrarla?
I matematici hanno pensato a lungo e duramente a queste domande, e il consenso della comunità non è necessariamente su assiomi specifici che diamo per scontati come veri, ma su un principio: mantenere il numero di ipotesi al minimo. Questo è simile a una famosa tecnica di risoluzione dei problemi conosciuta come il rasoio di Occam: “Quando si presentano ipotesi concorrenti per risolvere un problema, si dovrebbe scegliere la soluzione con il minor numero di ipotesi.”
Determinazione degli assiomi
Il problema di arrivare a un insieme minimo di assiomi da cui tutta la matematica segue è più difficile di quanto sembri. I matematici hanno faticato per anni per farlo, e il tentativo più famoso è stato il Principia Mathematica, pubblicato nel 1913 dai matematici Alfred North Whitehead e Bertrand Russell. Nel 1931, tuttavia, il logico Kurt Gödel dimostrò che qualsiasi sistema di questo tipo era impossibile – in breve, qualsiasi scelta di assiomi sarebbe stata incompleta e incapace di dimostrare tutta la matematica; o incoerente e poteva essere usata per dimostrare le contraddizioni.
Nonostante, la matematica deve iniziare da qualche parte, e così i matematici hanno definito assiomi specifici per le specializzazioni in cui lavorano, come la geometria (si pensi agli assiomi di Euclide). Questi assiomi specializzati sono ciò che i geometri, gli algebristi e così via hanno deciso essere l’insieme minimo di presupposti di cui hanno bisogno per fare un lavoro produttivo e trarre conclusioni valide.
È attraverso questi assiomi che possiamo dimostrare rigorosamente che 1 è di fatto maggiore di 0 – non da nozioni nebulose come “l’intuizione”, ma da solide basi matematiche costruite sul consenso assiomatico della comunità matematica.
Infatti, forse è questo che differenzia la nostra capacità mentale da quella dei bambini di cinque mesi.
A margine, andare contro le convenzioni ed esplorare le conseguenze di assiomi alternativi ha portato alla creazione di interi nuovi rami della matematica. Un esempio è la geometria sferica, che butta fuori dalla finestra i tradizionali fondamenti euclidei. Su una sfera, per esempio, gli angoli di un triangolo possono sommarsi a più di 180 gradi.
Gli assiomi di cui abbiamo bisogno
“Dio ha fatto i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo.”
Leopold Kronecker, matematico tedesco
Quando dico “insieme minimo di presupposti”, ci sono molti livelli diversi di “minimo” da cui possiamo partire. Il nostro livello fondamentale di astrazione potrebbe potenzialmente essere che tutto ciò con cui dobbiamo lavorare sono i numeri naturali – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – come sembra sostenere Kronecker. In alternativa, possiamo semplicemente prendere 1>01 > 01>0 come assioma.
Possiamo andare in alcune direzioni con il primo approccio. Ci sono gli assiomi di Peano, che sono un insieme di assiomi sui numeri naturali che mirano a descrivere completamente il loro comportamento. Questi assiomi sono quasi come le leggi di Newton – non costruiti, ma piuttosto una descrizione delle proprietà “naturali” dei numeri naturali. In questo approccio, definiamo semplicemente l’ordine dei numeri naturali, così concludiamo 1>01 > 01>0 per costruzione.
Definiamo l’ordine dei numeri naturali come: per i numeri naturali aaa e bbb, a≤ba \leq ba≤b se e solo se a+c=ba + c = ba+c=b per qualche numero naturale ccc.
È valido, ma in un certo senso sembra un po’ un colpo basso – stiamo essenzialmente definendo il nostro risultato nell’esistenza.
D’altra parte, potremmo provare a dimostrare 1>01 > 01>0 nei numeri reali. Tuttavia, partire dai fondamentali in questa direzione è quasi “troppo vicino all’hardware”, e passare dai naturali (1,2,31, 2, 31,2,3, ecc.) ai reali (ad esempio 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) richiede l’uso di concetti come sequenze di Cauchy, classi di equivalenza e altro – strumenti che richiedono un background approfondito in algebra moderna (che purtroppo mi manca).
Prendere l’ultimo approccio, assiomatizzando la nostra conclusione che 1>01 > 01>0 in verità, sarebbe come mangiare il dolce prima di cena.
L’approccio che ho trovato più illuminante – accessibile ma soddisfacentemente rigoroso – è stato presentato nella mia classe di analisi introduttiva all’Università del Michigan dal professor Stephen DeBacker. Inizieremo ad un livello di astrazione facilmente comprensibile – ma sufficientemente separato logicamente dal nostro risultato – così saremo ancora in grado di vedere in prima persona come le nostre ipotesi di base possono essere utilizzate per formalizzare la conclusione apparentemente semplice che stiamo cercando. Inoltre, le nostre assunzioni di base saranno le stesse assunzioni usate dagli specialisti nei campi dell’algebra moderna e dell’analisi reale – quindi direi che siamo giustificati nello scegliere questo posto come punto di partenza.
La nostra “assunzione minima” è che i numeri reali soddisfino le proprietà seguenti, dove aaa, bbb, e ccc sono numeri reali arbitrari. Il termine comunemente usato dalla comunità matematica per riferirsi a ciascuna proprietà è elencato tra parentesi accanto a ciascuna di esse.
- a+ba + ba+b è un numero reale (cioè aggiungendo due numeri reali si ottiene un altro numero reale, noto anche come “chiusura sotto addizione”)
- a×ba \times ba×b è un numero reale (“chiusura sotto moltiplicazione”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (cioè possiamo invertire l’ordine dei numeri reali).Possiamo invertire l’ordine degli addendi, noto come “commutatività dell’addizione”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (cioè possiamo aggiungere in qualsiasi ordine, noto come “associatività dell’addizione”)
- Esiste un numero reale 000 tale che a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 è un “elemento identico additivo”)
- Esiste un numero reale xxx tale che esiste un numero reale xxx tale che a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx è un “elemento additivo inverso”)
- a×b=b×aa \tempi b = b \tempi aa×b=b×a (“commutatività della moltiplicazione”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a †b) †tempi c = a †tempi (b †c)(a×b)×c=a×(b×c) (“associatività della moltiplicazione”)
- C’è esiste un numero reale 111 tale che a×1=aa \tempi 1 = aa×1=a (1 è una “identità moltiplicativa”)
- Esiste un numero reale yyy tale che a×y=1a \tempi y = 1a×y=1, quando aaa non è zero (yyy è un “inverso moltiplicativo”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \tempi (b + c) = a \tempi b + a \tempi ca×(b+c)=a×b+a×c (“distributività”)
- 1≠01 \neq 01=0
- I numeri reali sono separati in sottoinsiemi positivi e negativi
- L’aggiunta e la moltiplicazione di numeri positivi (es.e. numeri maggiori di 000) si ottiene un numero positivo
- Ogni numero reale aaa è positivo (a>0a > 0a>0), negativo (a<0a < 0a<0), o zero stesso (a=0a = 0a=0)
Per ora, possiamo inserire alcuni valori per aaa, bbb e ccc per avere un’intuizione del perché ciascuna di queste proprietà è valida. Di nuovo, ci sono modi per dimostrare che i numeri reali soddisfano tutte le proprietà di cui sopra usando gli strumenti dell’algebra moderna, ma senza quel background, quello che abbiamo sopra è un punto di partenza molto accessibile.
Inoltre, non avremo bisogno di usare tutte le proprietà date sopra nella nostra dimostrazione, ma le ho elencate tutte qui perché una collezione (potenzialmente infinita) di numeri che soddisfano le prime dodici proprietà ha un nome speciale tra i matematici – un “campo”. Se quell’insieme di numeri soddisfa anche le ultime tre proprietà, si chiama “campo ordinato”. Essenzialmente, la nostra assunzione è che i numeri reali formino un campo ordinato.
La dimostrazione
Per iniziare la nostra dimostrazione, assumiamo il nostro assioma – che i numeri reali formino un campo ordinato, e di conseguenza soddisfino le quindici proprietà di cui sopra.
Per iniziare, dalle proprietà (5) e (9) di cui sopra, sappiamo che i numeri reali 000 e 111 esistono. Per la proprietà (15), sappiamo che 111 è positivo, negativo o zero. Per la proprietà (12), sappiamo che 1≠01 \neq 01=0. Questo lascia due possibilità: o 111 è positivo, e 1>01 > 01>0; o 111 è negativo, e 1<01 < 01<0.
Proseguiamo ora con una tecnica conosciuta come “prova per contraddizione”. Essenzialmente, assumiamo che qualcosa che vogliamo dimostrare sia falso sia vero, e usiamo la presunta verità per provare qualcosa che sappiamo per certo essere falso. La conseguenza logica di questo tipo di manovra è che deve essere impossibile che la cosa che abbiamo assunto essere vera sia effettivamente vera, perché ha portato ad un’impossibilità. Quindi, deve essere falsa.
Se abbiamo alcune possibilità tra cui scegliere, una delle quali deve essere vera, questa tattica è un buon modo per eliminare le scelte impossibili e restringere il campo di quale sia la vera possibilità.
Se la prova per contraddizione sembra complicata, lo è – ma è anche uno strumento matematico essenziale. A volte, la complessità di provare qualcosa direttamente – senza contraddizione – rende il problema abbastanza difficile che in realtà può essere più facile dimostrare che le possibilità alternative semplicemente non possono essere vere.
Assumiamo che 1<01 < 01<0 – che 111 è negativo – e dimostriamo che ciò porta a un’impossibilità. Una potenziale impossibilità che potremmo dimostrare è che questa assunzione implica che 1≥01 \geq 01≥0, perché per la proprietà (15), 111 non può essere contemporaneamente minore di zero e maggiore o uguale a zero.
Per la proprietà (6), esiste un numero reale xxx tale che 1+x=01 + x = 01+x=0.
Possiamo aggiungere xxx ad entrambe le parti per ottenere 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Siccome la proprietà (5) ci dice che 0+x=x0 + x = x0+x=x, possiamo semplificare la disuguaglianza in 0<x0 < x0<x.
Non possiamo ancora dire che xxx deve essere -1-1-1, però – la proprietà (6) dice solo che esiste un numero reale xxx. Abbiamo bisogno di dimostrarlo.
Un lemma è una verità intermedia che possiamo usare per dimostrare un risultato più grande. Che qualcosa sia chiamato teorema o lemma non è necessariamente ben definito, ma in generale i lemmi ci “aiutano” a dimostrare ciò che vogliamo veramente.
Lemma: Gli elementi additivi inversi sono unici
Nel nostro caso, per dimostrare che il xxx nella proprietà (6) è unico – in particolare, che esiste solo un numero reale xxx tale che 1+x=01 + x = 01+x=0 (e di conseguenza, quel numero reale xxx deve essere -1-1-1), possiamo di nuovo procedere per contraddizione.
Supponiamo che esista un altro numero reale zzz, dove z≠xz \neq xz=x, tale che 1+z=01 + z = 01+z=0. Ora, consideriamo l’espressione x+1+zx + 1 + zx+1+z. Poiché l’uguaglianza è riflessiva – cioè a=aa = aa=a per tutti gli aaa – sappiamo che x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Con la proprietà (4), associatività dell’addizione, possiamo raggruppare i termini come (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Per la proprietà (3), commutatività dell’addizione, possiamo riorganizzare la prima quantità per ottenere (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Siccome 1+x1 + x1+x e 1+z1 + z1+z sono entrambi uguali a zero, abbiamo 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, e per la proprietà (5), l’elemento di identità additiva, z=xz = xz=x. Tuttavia, abbiamo assunto z≠xz \neq xz=x, quindi abbiamo una contraddizione!
Quindi, può esistere solo un numero reale xxx tale che 1+x=01 + x = 01+x=0. Se sostituiamo ogni istanza di 111 nelle righe precedenti con un numero reale arbitrario aaa, questo lemma dimostra che per qualsiasi numero reale aaa, esiste un unico xxx tale che a+x=0a + x = 0a+x=0. Poiché questo xxx è unico, possiamo tranquillamente dare a questo xxx un nome unico, -a-a-a, ottenendo la familiare nozione di negativo, dove a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. Nel nostro caso specifico, questo dimostra che xxx deve essere uguale a -1-1-1.
Lemma: I segni negativi “annullano”
Applicando i risultati del lemma precedente, la nostra disuguaglianza di prima, 0<x0 < x0<x, diventa 0<-10 < -10<-1.
Per la proprietà (14), il prodotto di numeri positivi è positivo, quindi 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Non possiamo ancora dire che “due negativi si annullano a vicenda”, però – nessuno degli assiomi lo implica! Dobbiamo dimostrare che (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Avremo bisogno di un altro lemma.
Nel caso generale, per qualsiasi numero reale aaa, dobbiamo dimostrare che (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. La proprietà (6) – l’assunzione che ogni elemento ha un inverso additivo – ha a che fare con i segni negativi, e potrebbe fornire una strada interessante per dimostrare questo.
Se ti sembra di aver capito come funziona, sentiti libero di fermarti qui e prova a usare gli assiomi per dimostrare alcuni dei risultati intermedi da solo. Se ti blocchi, puoi sempre scorrere verso il basso!
Siccome gli inversi additivi sono unici, sappiamo che esiste un unico numero reale -a2-a^2-a2 tale che a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Per la proprietà (3), la commutatività dell’addizione, abbiamo -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Il lemma precedente ci ha detto che se -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, allora xxx è unico, quindi se abbiamo un’espressione della forma -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, dobbiamo avere x=a2x = a^2x=a2. Quindi, se possiamo dimostrare che -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, sapremo per certo che (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Lavoriamo con l’espressione -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Abbiamo bisogno di dividere in qualche modo -a2-a^2-a2 nei suoi termini costituenti per fattorizzarlo, quindi abbiamo bisogno di un altro lemma – per dimostrare che -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Il prodotto di negativo e positivo è negativo
Per questo lemma, prenderemo un approccio simile a quello che abbiamo iniziato sopra, usando l’unicità degli inversi additivi per mostrare che un prodotto deve essere uguale ad un altro prodotto. Poiché -a2-a^2-a2 è l’inverso additivo unico di a2a^2a2, se dimostriamo che a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, allora (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Nota che a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), quindi per la proprietà (7), la commutatività della moltiplicazione, abbiamo a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Per la proprietà (11), possiamo fattorizzare a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) in a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Per la proprietà (6), a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, quindi abbiamo a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Avremmo finito se a0=0a0 = 0a0=0, ma non l’abbiamo ancora dimostrato!
Lemma: Il prodotto con 0 è 0
Per la proprietà (5), 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Così, possiamo scrivere a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Per la proprietà (11), questo si distribuisce in a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Per la proprietà (6), esiste un unico inverso additivo -a0-a0-a0 di a0a0a0, quindi possiamo aggiungerlo a entrambi i lati della nostra equazione per ottenere a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Semplificando, otteniamo 0=a00 = a00=a0.
Mettendo tutto insieme
Con questo, possiamo concludere che a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, quindi (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Collegando questo al lemma precedente, abbiamo -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Per la proprietà (11), possiamo quindi fattorizzare questa espressione in -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Per la proprietà (6), mettendo insieme gli inversi additivi, abbiamo -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, quindi -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Quindi, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) è l’inverso additivo unico di -a2-a^2-a2, e quindi (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Svolgendo tutta la strada verso l’alto, siamo partiti da 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Quest’ultimo lemma ci dice che (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Per la proprietà (9), l’elemento di identità moltiplicativa, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Così, abbiamo 0<10 < 10<1, quindi 1>01 > 01>0.
Questa è una contraddizione, perché abbiamo assunto che 1<01 < 01<0! Per la proprietà (15), ogni numero reale è positivo, negativo o zero – nessun numero può essere positivo e negativo allo stesso tempo! Quindi, abbiamo un’impossibilità, e la nostra assunzione originale – 1<01 < 01<0 – non può reggere. Possiamo eliminare questa possibilità, lasciando solo un caso rimanente: 1>01 > 01>0. Poiché sappiamo che ogni numero reale deve rientrare in uno dei tre casi, e ne abbiamo eliminati due, dobbiamo avere 1>01 > 01>0.
Come Peter Thiel ha detto così bene, che freschezza e stranezza.