Modellazione di un WindkesselEdit
La fisiologia del Windkessel rimane una descrizione rilevante ma datata di importante interesse clinico. La storica definizione matematica di sistole e diastole nel modello non sono ovviamente nuove ma sono qui elementarmente messe in scena a quattro gradi. Raggiungere cinque sarebbe un lavoro originale.
Due elementiModifica
Si assume che il rapporto tra pressione e volume sia costante e che il flusso in uscita dalla Windkessel sia proporzionale alla pressione del fluido. L’afflusso volumetrico deve essere uguale alla somma del volume immagazzinato nell’elemento capacitivo e del deflusso volumetrico attraverso l’elemento resistivo. Questa relazione è descritta da un’equazione differenziale:
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {\displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}
I(t) è l’afflusso volumetrico dovuto alla pompa (cuore) e si misura in volume per unità di tempo, mentre P(t) è la pressione rispetto al tempo misurata in forza per unità di superficie, C è il rapporto tra volume e pressione per la Windkessel, e R è la resistenza che mette in relazione il flusso in uscita con la pressione del fluido. Questo modello è identico alla relazione tra la corrente, I(t), e il potenziale elettrico, P(t), in un circuito elettrico equivalente al modello Windkessel a due elementi.
Nella circolazione del sangue, gli elementi passivi del circuito sono assunti per rappresentare gli elementi del sistema cardiovascolare. Il resistore, R, rappresenta la resistenza periferica totale e il condensatore, C, rappresenta la compliance arteriosa totale.
Durante la diastole non c’è afflusso di sangue poiché la valvola aortica (o polmonare) è chiusa, quindi il Windkessel può essere risolto per P(t) poiché I(t) = 0:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {\displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) \over (RC)}}
dove td è il tempo di inizio della diastole e P(td) è la pressione sanguigna all’inizio della diastole. Questo modello è solo un’approssimazione approssimativa della circolazione arteriosa; modelli più realistici incorporano più elementi, forniscono stime più realistiche della forma d’onda della pressione sanguigna e sono discussi di seguito.
Tre elementiModifica
Il Windkessel a tre elementi migliora il modello a due elementi incorporando un altro elemento resistivo per simulare la resistenza al flusso sanguigno dovuta alla resistenza caratteristica dell’aorta (o arteria polmonare). L’equazione differenziale per il modello a 3 elementi è:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}+C{dP(t) \over dt}
dove R1 è la resistenza caratteristica (si assume che sia equivalente all’impedenza caratteristica), mentre R2 rappresenta la resistenza periferica. Questo modello è ampiamente utilizzato come un modello accettabile della circolazione. Per esempio, è stato impiegato per valutare la pressione sanguigna e il flusso nell’aorta di un embrione di pulcino e nell’arteria polmonare di un maiale, oltre a fornire la base per la costruzione di modelli fisici della circolazione che forniscono carichi realistici per studi sperimentali su cuori isolati.
Four-elementEdit
The three-element model overestimates the compliance and underestimates the characteristic impedance of the circulation. Il modello a quattro elementi include un induttore, L, che ha unità di massa per lunghezza, ( M l 4 {displaystyle {M over l^{4}}
), nella componente prossimale del circuito per tenere conto dell’inerzia del flusso sanguigno. Questo è trascurato nei modelli a due e tre elementi. L’equazione rilevante è:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \su R_{2}})I(t)+(R_{1}C+{L \su R_{2}}){dI(t) \su dt}+LC{d^{2}I(t) \su dt^{2}}={P(t) \su R_{2}+C{dP(t) \su dt}}
