L’equazione di Stokes-Einstein è l’equazione derivata per la prima volta da Einstein nella sua tesi di dottorato per il coefficiente di diffusione di una particella “Stokes” in moto browniano in un fluido quiescente a temperatura uniforme. Il risultato fu precedentemente pubblicato nel classico articolo di Einstein (1905) sulla teoria del moto browniano (fu anche derivato simultaneamente da Sutherland (1905) usando un argomento identico). Il risultato di Einstein per il coefficiente di diffusione D di una particella sferica di raggio a in un fluido di viscosità dinamica h alla temperatura assoluta T è:
dove
è la costante del gas e NA è il numero di Avogadro. La formula è storicamente importante perché è stata usata per fare la prima misura assoluta di NA confermando così la teoria molecolare. Anche se la formula può essere derivata in alternativa usando l’equazione di Langevin del moto di una particella browniana, la derivazione di Einstein è potente e ingegnosa, corretta anche quando l’equazione di Langevin è solo approssimativa. Einstein assunse che la legge di van’t Hoff per la pressione osmotica esercitata dalle molecole di soluto in un fluido solvente all’equilibrio fosse ugualmente applicabile alla pressione p associata a una sospensione di particelle browniane all’equilibrio nello stesso fluido, cioè,
dove nM è il numero di moli grammo di fluido per unità di volume e f la “frazione molare” definita qui come il rapporto tra il numero di particelle e il numero di molecole di fluido. Einstein sostenne poi che una sospensione di particelle browniane in equilibrio sotto il proprio peso poteva essere vista in due modi entrambi equivalenti: un equilibrio tra il peso netto delle particelle e il gradiente della pressione delle particelle nella direzione della gravità; o un equilibrio tra il flusso di diffusione e il flusso di assestamento dovuto alla gravità. Usando la formula di resistenza di Stokes per la velocità di sedimentazione (vedi Legge di Stokes) e la formula per p sopra, si ottiene la formula per D data sopra. Un ragionamento simile permette di dedurre una forma per la pressione delle particelle in un gas turbolento conoscendo la forma per il coefficiente di diffusione turbolenta delle particelle (vedi Trasporto di particelle nei fluidi turbolenti).