La tecnica della retroproiezione filtrata è una delle tecniche algoritmiche più affermate per questo problema. È concettualmente semplice, sintonizzabile e deterministica. È anche poco impegnativa dal punto di vista computazionale, con gli scanner moderni che richiedono solo pochi millisecondi per immagine.Tuttavia, questa non è l’unica tecnica disponibile: lo scanner EMI originale risolveva il problema della ricostruzione tomografica con l’algebra lineare, ma questo approccio era limitato dalla sua alta complessità computazionale, specialmente data la tecnologia informatica disponibile all’epoca. Più recentemente, i produttori hanno sviluppato tecniche iterative di massimizzazione delle aspettative basate su modelli fisici. Queste tecniche sono vantaggiose perché utilizzano un modello interno delle proprietà fisiche dello scanner e delle leggi fisiche delle interazioni dei raggi X. I metodi precedenti, come la retroproiezione filtrata, presuppongono uno scanner perfetto e una fisica altamente semplificata, il che porta a una serie di artefatti, un rumore elevato e una risoluzione dell’immagine compromessa. Le tecniche iterative forniscono immagini con una migliore risoluzione, rumore ridotto e meno artefatti, così come la capacità di ridurre notevolmente la dose di radiazioni in determinate circostanze. Lo svantaggio è un requisito computazionale molto elevato, ma i progressi nella tecnologia dei computer e nelle tecniche di calcolo ad alte prestazioni, come l’uso di algoritmi GPU altamente paralleli o l’uso di hardware specializzato come FPGA o ASIC, ora consentono un uso pratico.
Principio di baseModifica
In questa sezione, verrà spiegato il principio di base della tomografia nel caso in cui si utilizzi specialmente la tomografia utilizzando il sistema ottico di irradiazione a fasci paralleli.
La tomografia è una tecnologia che utilizza un sistema ottico tomografico per ottenere ‘fette’ virtuali (un’immagine tomografica) di specifiche sezioni trasversali di un oggetto scansionato, permettendo all’utente di vedere all’interno dell’oggetto senza tagliare. Ci sono diversi tipi di sistemi ottici tomografici, tra cui il sistema ottico di irradiazione a fasci paralleli. Il sistema ottico di irradiazione a fascio parallelo può essere l’esempio più semplice e pratico di un sistema ottico tomografico quindi, in questo articolo, la spiegazione di “Come ottenere l’immagine tomografica” sarà basata sul “sistema ottico di irradiazione a fascio parallelo”. La risoluzione nella tomografia è tipicamente descritta dal criterio di Crowther.
La Fig. 3 è destinata ad illustrare il modello matematico e ad illustrare il principio della tomografia. Nella Fig.3, il coefficiente di assorbimento a una coordinata trasversale (x, y) del soggetto è modellato come μ(x, y). La considerazione basata sui presupposti di cui sopra può chiarire i punti seguenti. Pertanto, in questa sezione, la spiegazione è avanzata secondo l’ordine come segue:
- (1)I risultati della misurazione, cioè una serie di immagini ottenute dalla luce trasmessa sono espressi (modellati) come una funzione p (s,θ) ottenuta eseguendo la trasformata di radon a μ(x, y), e
- (2)μ(x, y) è ripristinato eseguendo la trasformata di radon inversa ai risultati della misurazione.
(1)I risultati della misurazione p(s,θ) del sistema ottico di irradiazione a fascio paralleloModifica
Considera il modello matematico tale che il coefficiente di assorbimento dell’oggetto ad ogni (x,y) è rappresentato da μ(x,y) e si suppone che “il fascio di trasmissione penetra senza diffrazione, diffusione o riflessione anche se è assorbito dall’oggetto e la sua attenuazione si suppone che avvenga secondo la legge di Beer-Lambert.In questa materia, ciò che vogliamo sapere” è μ(x,y) e ciò che possiamo misurare sarà in seguito p(s,θ).
Quando l’attenuazione è conforme alla legge di Beer-Lambert, la relazione tra I 0 {displaystyle {I}_{0}}
e I {displaystyle I}
è come segue (eq.1) e quindi, l’assorbanza ( p l {displaystyle p_{l}}
) lungo il percorso del raggio di luce (l(t)) è come segue (eq.2). Qui la I 0 {displaystyle {I}_{0}}
è l’intensità del fascio di luce prima della trasmissione I {displaystyle I}
è l’intensità di dopo la trasmissione. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {displaystyle I=I_{0}exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}destra)=I_{0}exp \left({-{{int }_{\infty }^{\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,
(eq. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{{int }_{\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{dot {l}}(t)|dt}
(eq. 2)
Qui, una direzione dalla sorgente luminosa verso lo schermo è definita come direzione t e quella perpendicolare alla direzione t e parallela allo schermo è definita come direzione s. (Entrambi i sistemi di coordinate t-s e x-y sono impostati in modo tale che si riflettono l’un l’altro senza trasformazione speculare-riflettente.)
Utilizzando un sistema ottico di irradiazione a fascio parallelo, si può ottenere sperimentalmente la serie di immagini fluoroscopiche (un’immagine unidimensionale” pθ(s) della sezione trasversale specifica di un oggetto scansionato) per ogni θ. Qui, θ rappresenta l’angolo tra l’oggetto e il fascio luminoso di trasmissione. Nella Fig.3, il piano X-Y ruota in senso antiorario intorno al punto d’origine nel piano in modo tale “da mantenere la reciproca relazione di posizione tra la sorgente di luce (2) e lo schermo (7) passando attraverso la traiettoria (5)”. L’angolo di rotazione di questo caso è lo stesso del suddetto θ.
Il fascio avente un angolo θ,to sarà l’insieme dei raggi, rappresentato da l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
della seguente (eq. 3). l ( t ) = t + {displaystyle {l}_{{}(t)=t{begin{bmatrix}-\sin \theta \cos \theta \end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}s\cos \theta \sin \theta \end{bmatrix}}} 3)
Il pθ(s) è definito dalla seguente (eq. 4). Che p θ ( s ) {displaystyle p_{{{theta }(s)}
è uguale all’integrale di linea di μ(x,y) lungo l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
della (eq. 3) allo stesso modo della (eq. 2). Ciò significa che, p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
della seguente (eq. 5) è una risultante della trasformazione di Radon di μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , In questo articolo, la seguente p(s, θ) è chiamata “la collezione di immagini fluoroscopiche”. p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) viene ripristinato eseguendo la trasformazione inversa del radon ai risultati della misurazioneModifica
“Ciò che vogliamo sapere (μ(x,y))” può essere ricostruito da “Ciò che abbiamo misurato ( p(s,θ))” utilizzando la trasformazione inversa del radon.Nelle descrizioni di cui sopra, “Ciò che abbiamo misurato” è p(s,θ) . D’altra parte, “Ciò che vogliamo sapere” è μ(x,y). Quindi, il prossimo sarà “Come ricostruire μ(x,y) da p(s,θ)”.