Hai probabilmente incontrato oggetti unilaterali centinaia di volte nella tua vita quotidiana – come il simbolo universale del riciclaggio, che si trova stampato sul retro di lattine di alluminio e bottiglie di plastica.
Questo oggetto matematico è chiamato striscia di Mobius. Ha affascinato ambientalisti, artisti, ingegneri, matematici e molti altri fin dalla sua scoperta nel 1858 da August Möbius, un matematico tedesco morto 150 anni fa, il 26 settembre 1868.
Möbius scoprì la striscia unilaterale nel 1858 mentre prestava servizio come professore di astronomia e meccanica superiore all’Università di Lipsia. (Un altro matematico di nome Listing la descrisse effettivamente qualche mese prima, ma non pubblicò il suo lavoro fino al 1861). Sembra che Möbius abbia incontrato il nastro di Möbius mentre lavorava alla teoria geometrica dei poliedri, figure solide composte da vertici, spigoli e facce piane.
Un nastro di Möbius può essere creato prendendo una striscia di carta, dandole un numero dispari di mezzi giri e poi riavvolgendo le estremità con del nastro adesivo per formare un anello. Se prendete una matita e tracciate una linea lungo il centro della striscia, vedrete che la linea apparentemente corre lungo entrambi i lati del loop.
Il concetto di un oggetto unilaterale ha ispirato artisti come il grafico olandese M.C. Escher, la cui xilografia “Möbius Strip II” mostra formiche rosse che strisciano una dopo l’altra lungo un nastro di Möbius.
La striscia di Möbius ha più di una proprietà sorprendente. Per esempio, provate a prendere un paio di forbici e a tagliare la striscia a metà lungo la linea che avete appena disegnato. Potresti essere sorpreso di scoprire che non ti sono rimaste due strisce di Möbius più piccole con un solo lato, ma un lungo anello con due lati. Se non hai un pezzo di carta a portata di mano, la xilografia di Escher “Striscia di Möbius I” mostra cosa succede quando una striscia di Möbius viene tagliata lungo la sua linea centrale.
Mentre la striscia ha certamente un fascino visivo, il suo maggiore impatto è stato in matematica, dove ha contribuito a stimolare lo sviluppo di un intero campo chiamato topologia.
Un topologo studia le proprietà degli oggetti che si conservano quando vengono spostati, piegati, allungati o contorti, senza tagliare o incollare parti insieme. Per esempio, un paio di auricolari aggrovigliati è in senso topologico lo stesso di un paio di auricolari non aggrovigliati, perché cambiare l’uno nell’altro richiede solo lo spostamento, la piegatura e la torsione. Non è necessario tagliare o incollare per trasformarli.
Un’altra coppia di oggetti che sono topologicamente uguali sono una tazza di caffè e una ciambella. Poiché entrambi gli oggetti hanno un solo buco, uno può essere deformato nell’altro semplicemente allungandolo e piegandolo.
Il numero di fori in un oggetto è una proprietà che può essere cambiata solo attraverso il taglio o l’incollaggio. Questa proprietà – chiamata “genere” di un oggetto – ci permette di dire che un paio di auricolari e una ciambella sono topologicamente diversi, poiché una ciambella ha un buco, mentre un paio di auricolari non ha buchi.
Purtroppo, un nastro di Möbius e un anello a due lati, come un tipico braccialetto di silicone per la consapevolezza, sembrano entrambi avere un buco, quindi questa proprietà non è sufficiente a distinguerli – almeno dal punto di vista di un topologo.
Invece, la proprietà che distingue un nastro di Möbius da un anello a due lati è chiamata orientabilità. Come il suo numero di fori, l’orientabilità di un oggetto può essere cambiata solo attraverso il taglio o l’incollaggio.
Immaginate di scrivere una nota su una superficie trasparente e poi di fare un giro su quella superficie. La superficie è orientabile se, quando tornate dalla vostra passeggiata, potete sempre leggere il biglietto. Su una superficie non orientabile, potresti tornare dalla tua passeggiata solo per scoprire che le parole che hai scritto si sono apparentemente trasformate nella loro immagine speculare e possono essere lette solo da destra a sinistra. Sull’anello a due lati, la nota si leggerà sempre da sinistra a destra, non importa dove vi ha portato il vostro viaggio.
Siccome il nastro di Möbius non è orientabile, mentre il loop a due lati è orientabile, ciò significa che il nastro di Möbius e il loop a due lati sono topologicamente diversi.
Il concetto di orientabilità ha importanti implicazioni. Prendiamo gli enantiomeri. Questi composti chimici hanno le stesse strutture chimiche tranne che per una differenza chiave: Sono immagini speculari l’una dell’altra. Per esempio, la sostanza chimica L-metamfetamina è un ingrediente degli inalatori Vicks Vapor. La sua immagine speculare, la D-metanfetamina, è una droga illegale di classe A. Se vivessimo in un mondo non orientabile, queste sostanze chimiche sarebbero indistinguibili.
La scoperta di August Möbius ha aperto nuovi modi di studiare il mondo naturale. Lo studio della topologia continua a produrre risultati sorprendenti. Per esempio, l’anno scorso, la topologia ha portato gli scienziati a scoprire strani nuovi stati della materia. La Medaglia Fields di quest’anno, la più alta onorificenza in matematica, è stata assegnata a Akshay Venkatesh, un matematico che ha aiutato a integrare la topologia con altri campi come la teoria dei numeri.