MATEMATICA DEL XVIII SECOLO

Calcolo delle variazioni

La maggior parte del tardo XVII secolo e buona parte del XVIII furono occupati dal lavoro dei discepoli di Newton e Leibniz, che applicarono le loro idee sul calcolo per risolvere una varietà di problemi in fisica, astronomia e ingegneria.

Il periodo fu dominato, però, da una famiglia, i Bernoulli di Basilea in Svizzera, che vantava due o tre generazioni di matematici eccezionali, in particolare i fratelli Jacob e Johann. Essi furono in gran parte responsabili dell’ulteriore sviluppo del calcolo infinitesimale di Leibniz – in particolare attraverso la generalizzazione e l’estensione del calcolo noto come “calcolo delle variazioni” – così come la probabilità e la teoria dei numeri di Pascal e Fermat.

Basilea fu anche la città natale del più grande dei matematici del XVIII secolo, Leonhard Euler, anche se, in parte a causa delle difficoltà ad andare avanti in una città dominata dalla famiglia Bernoulli, Euler trascorse gran parte del suo tempo all’estero, in Germania e San Pietroburgo, Russia. Eccelleva in tutti gli aspetti della matematica, dalla geometria al calcolo, alla trigonometria, all’algebra, alla teoria dei numeri, ed era capace di trovare collegamenti inaspettati tra i diversi campi. Ha dimostrato numerosi teoremi, ha aperto la strada a nuovi metodi, ha standardizzato la notazione matematica e ha scritto molti libri di testo influenti durante la sua lunga vita accademica.

In una lettera a Eulero nel 1742, il matematico tedesco Christian Goldbach propose la Congettura di Goldbach, che afferma che ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi (es.4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; ecc) o, in un’altra versione equivalente, ogni intero maggiore di 5 può essere espresso come la somma di tre primi. Un’altra versione ancora è la cosiddetta Congettura “debole” di Goldbach, che tutti i numeri dispari maggiori di 7 sono la somma di tre numeri primi dispari. Essi rimangono tra i più antichi problemi irrisolti nella teoria dei numeri (e in tutta la matematica), anche se la forma debole della congettura sembra essere più vicina alla risoluzione di quella forte. Goldbach dimostrò anche altri teoremi nella teoria dei numeri, come il teorema Goldbach-Euler sulle potenze perfette.

Nonostante il dominio di Eulero e dei Bernouli nella matematica del XVIII secolo, molti degli altri importanti matematici erano francesi. Nella prima parte del secolo, Abraham de Moivre è forse meglio conosciuto per la formula di de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), che collega numeri complessi e trigonometria. Ma generalizzò anche il famoso teorema binomiale di Newton nel teorema multinomiale, fu un pioniere nello sviluppo della geometria analitica, e il suo lavoro sulla distribuzione normale (diede la prima dichiarazione della formula per la curva di distribuzione normale) e la teoria della probabilità furono di grande importanza.

La Francia divenne ancora più prominente verso la fine del secolo, e una manciata di matematici francesi della fine del XVIII secolo in particolare merita una menzione a questo punto, a cominciare dalle “tre L”.

Joseph Louis Lagrange collaborò con Euler in un importante lavoro congiunto sul calcolo delle variazioni, ma contribuì anche alle equazioni differenziali e alla teoria dei numeri, e gli si attribuisce solitamente l’origine della teoria dei gruppi, che sarebbe diventata così importante nella matematica del XIX e XX secolo. Il suo nome è dato da un teorema iniziale nella teoria dei gruppi, che afferma che il numero di elementi di ogni sottogruppo di un gruppo finito si divide equamente nel numero di elementi del gruppo finito originale.

Teorema del valore medio di Lagrange

Teorema del valore medio di Lagrange

Lagrange è anche accreditato con il teorema dei quattro quadrati, che ogni numero naturale può essere rappresentato come somma di quattro quadrati (es.3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; ecc), così come un altro teorema, confusamente conosciuto anche come Teorema di Lagrange o Teorema del Valore Medio di Lagrange, che afferma che, data una sezione di una curva continua (differenziabile) liscia, esiste almeno un punto su quella sezione in cui la derivata (o pendenza) della curva è uguale (o parallela) alla derivata media (o media) della sezione. Il trattato di Lagrange del 1788 sulla meccanica analitica offrì il trattamento più completo della meccanica classica dai tempi di Newton, e costituì una base per lo sviluppo della fisica matematica nel XIX secolo.

Pierre-Simon Laplace, a volte chiamato “il Newton francese”, fu un importante matematico e astronomo, la cui monumentale opera “Meccanica Celeste” tradusse lo studio geometrico della meccanica classica in uno basato sul calcolo, aprendo una gamma molto più ampia di problemi. Anche se il suo primo lavoro fu principalmente sulle equazioni differenziali e sulle differenze finite, egli stava già iniziando a pensare ai concetti matematici e filosofici di probabilità e statistica negli anni 1770, e sviluppò la sua versione della cosiddetta interpretazione bayesiana della probabilità indipendentemente da Thomas Bayes. Laplace è ben noto per la sua fede nel completo determinismo scientifico, e sosteneva che ci dovrebbe essere un insieme di leggi scientifiche che ci permetterebbe – almeno in linea di principio – di prevedere tutto sull’universo e sul suo funzionamento.

I primi sei polinomi di Legendre

I primi sei polinomi di Legendre (soluzioni dell’equazione differenziale di Legendre)

Adrien-Marie Legendre diede anche importanti contributi alla statistica, alla teoria dei numeri, all’algebra astratta e all’analisi matematica alla fine del XVIII e all’inizio del XIX secolo, anche se gran parte del suo lavoro (come il metodo dei minimi quadrati per l’adattamento delle curve e la regressione lineare, la legge di reciprocità quadratica, il teorema dei numeri primi e il suo lavoro sulle funzioni ellittiche) è stato portato alla perfezione – o almeno alla conoscenza generale – solo da altri, in particolare da Gauss. Il suo “Elementi di Geometria”, una rielaborazione del libro di Euclide, divenne il principale testo di geometria per quasi 100 anni, e la sua misurazione estremamente accurata del meridiano terrestre ispirò la creazione, e l’adozione quasi universale, del sistema metrico di misure e pesi.

Un altro francese, Gaspard Monge fu l’inventore della geometria descrittiva, un metodo intelligente per rappresentare oggetti tridimensionali tramite proiezioni sul piano bidimensionale usando un insieme specifico di procedure, una tecnica che sarebbe poi diventata importante nel campo dell’ingegneria, dell’architettura e del design. La sua proiezione ortografica divenne il metodo grafico usato in quasi tutto il disegno meccanico moderno.

Dopo molti secoli di approssimazioni sempre più accurate, Johann Lambert, un matematico svizzero e importante astronomo, fornì finalmente una prova rigorosa nel 1761 che π è irrazionale, cioè non può essere espresso come una frazione semplice usando solo numeri interi o come un decimale terminante o ripetente. Questo dimostrò definitivamente che non sarebbe mai stato possibile calcolarlo esattamente, anche se l’ossessione di ottenere approssimazioni sempre più accurate continua ancora oggi. (Più di cento anni dopo, nel 1882, Ferdinand von Lindemann avrebbe dimostrato che π è anche trascendentale, cioè non può essere la radice di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali). Lambert fu anche il primo a introdurre le funzioni iperboliche nella trigonometria e fece alcune congetture preveggenti riguardo allo spazio non-euclideo e alle proprietà dei triangoli iperbolici.