Un modello ARMAX (cioè un modello ARIMA con una variabile esogena) senza costante ha la forma
Questo è semplicemente un modello ARMA con una variabile indipendente extra (covariante) sul lato destro dell’equazione. Usando l’operatore lag, questo è equivalente a
o
Un modo per trattare un tale modello è di reinterpretarlo come una regressione lineare più errori ARMA:
dove
Questo modello è equivalente a
Esempio 1: Crea un modello ARIMAX per i dati sul lato sinistro della Figura 1 dove X1 e X2 sono variabili esogene e Y è una serie temporale. Creare una previsione per i prossimi 3 elementi basati su questo modello.
Figura 1 – Inizializzazione del modello ARIMAX
Strumento di analisi dei dati delle statistiche reali: È possibile utilizzare lo strumento di analisi dei dati ARIMAX per fare questo. Premete Ctrl-m, selezionate ARIMAX dalla scheda Time S e compilate la finestra di dialogo che appare come mostrato nella Figura 2.
Figura 2 – Finestra di dialogo ARIMAX
I risultati sono mostrati sul lato destro della Figura 1 così come nella Figura 3 e 4.
Nella Figura 1, l’intervallo G4:G22 contiene la formula di array =ADIFF(B4:B23,1), l’intervallo H5:H22 contiene =ADIFF(C4:C23,1) e I5:I22 contiene =ADIFF(D:D23,1).
Il lato sinistro della figura 3 contiene la solita analisi di regressione di X1 e X2 su Y, che risulta nel modello di regressione
I residui sono calcolati da
dove ci aspettiamo che i residui seguano un modello ARIMA(0,0,1). Questi residui sono mostrati nell’intervallo J5:J22 della Figura 1, come calcolato dalla formula dell’array
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Figura 3 – Modello di regressione OLS
I residui del modello di regressione OLS diventano ora i dati per il modello ARIMA, come mostrato nella Figura 4. Si noti che il termine costante è sussunto nel modello di regressione e quindi non è incluso nel modello ARIMA. Allo stesso modo, il differenziale è già stato considerato e quindi non fa parte del modello ARIMA. Quindi, stiamo assumendo che i residui seguano un modello MA(1).
Figura 4 – Modello ARIMA(0,0,1) per i residui
La previsione per il modello mostrato nella Figura 4 è mostrata nella Figura 5. Si noti che i valori di previsione zero mostrati nelle celle AV24 e AV25 non sarebbero necessariamente zero se avessimo usato un modello ARIMA diverso per i residui.
Figura 5 – Previsione dei residui
La previsione in Figura 5 è solo per la serie temporale dei residui. Abbiamo ora bisogno di creare una previsione per la serie temporale originale ai tempi t = 21, 22 e 23, basata sui valori che ci aspettiamo per le variabili esogene X1 e X2 in quei tempi.
Supponiamo che queste variabili esogene assumano i valori mostrati nell’intervallo B24:C26 della Figura 6. Si noti che questa figura mostra la parte inferiore delle colonne corrispondenti della Figura 1, dove le righe aggiunte corrispondono ai tre valori di previsione.
Le voci aggiunte nell’intervallo D24:D26 mostrano i valori previsti per la serie temporale originale ai tempi t = 21, 22 e 24 corrispondenti ai valori X1 e X2 mostrati in B24:C26. Questi valori previsionali sono calcolati come mostrato nella figura 6.
Figura 6 – Previsione serie temporale
Posizionare la formula =B24-B23 nella cella G23, evidenziare l’intervallo G23:H25 e premere Ctrl-R e Ctrl-D. Questo differenzia i nuovi valori X1 e X2. Poi, mettete la formula di matrice =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) nell’intervallo I23:I25. Questo calcola i valori di previsione Y differenziati.
Posizionate ora la formula =AV23 nella cella J23, evidenziate l’intervallo J23:J25 e premete Ctrl-D, per mostrare i valori residui previsti. Infine, inserire la formula =D23+I23+J23 nella cella D24, evidenziare l’intervallo D24:D26 e premere Ctrl-D per ottenere la previsione richiesta per Y.
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