nLab La teoria di Yang-Mills

Idea

La teoria di YangâMills è una teoria di gauge su un dato (pseudo-)manifold Riemanniano 4-dimensionale XX il cui campo è il campo di YangâMills â un cociclo ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) nella coomologia differenziale non abeliana rappresentata da un fascio vettoriale con connessione â e la cui azione funzionale è

per

• F âF_\nabla l’intensità di campo, localmente la forma differenziale a curvatura ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra valutata su XX ( con ð²(n)\mathfrak{u}(n) l’algebra di Lie del gruppo unitario U(n)U(n));

• â’star l’operatore stellare di Hodge della metrica gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} la costante di accoppiamento Yang-Mills e θ\theta l’angolo theta, alcuni numeri reali (vedi alla S-dualità).

(Vedere questo esempio in Una prima idea della teoria quantistica dei campi.)

Proprietà

Classificazione delle soluzioni

• Teorema di Narasimhan-Seshadri

• Teorema di Donaldson-Uhlenbeck-Yau

Quantizzazione

Durante il suo ruolo fondamentale nel modello standard della fisica delle particelle, vari dettagli della quantizzazione della teoria di Yang-Mills sono ancora aperti. Vedi alla quantizzazione della teoria di Yang-Mills.

Applicazioni

Tutti i campi di gauge nel modello standard della fisica delle particelle così come nei modelli GUT sono campi di YangâMills.

I campi di materia nel modello standard sono spinori carichi sotto il campo di Yang-Mills. Vedi

• spinori nella teoria di Yang-Mills

Storia

Da Jaffe-Witten:

Negli anni ’50, quando fu scoperta la teoria di Yang-Mills, si sapeva già che la versione quantistica della teoria di Maxwell, nota come Elettrodinamica Quantistica o QED, fornisce un resoconto estremamente accurato dei campi e delle forze elettromagnetiche. Infatti, la QED ha migliorato l’accuratezza di alcune previsioni precedenti della teoria quantistica di diversi ordini di grandezza, oltre a prevedere nuove suddivisioni dei livelli di energia.

Pertanto era naturale chiedersi se la teoria di gauge non abeliana descrivesse altre forze in natura, in particolare la forza debole (responsabile tra l’altro di alcune forme di radioattività) e la forza forte o nucleare (responsabile tra l’altro del legame di protoni e neutroni nei nuclei). La natura senza massa delle onde classiche di YangâMills era un serio ostacolo all’applicazione della teoria di YangâMills alle altre forze, perché le forze deboli e nucleari sono a corto raggio e molte delle particelle sono massive. Quindi questi fenomeni non sembravano essere associati a campi a lungo raggio che descrivono particelle senza massa.

Negli anni ’60 e ’70, i fisici hanno superato questi ostacoli all’interpretazione fisica della teoria di gauge non abeliana. Nel caso della forza debole, questo è stato realizzato dalla teoria elettrodebole di Glashow-Salam-Weinberg con il gruppo di gauge H=H = SU(2) Ã\times U(1). Elaborando la teoria con un campo di Higgs aggiuntivo, si evitava la natura senza massa delle onde classiche di YangâMills. Il campo di Higgs si trasforma in una rappresentazione bidimensionale di HH; il suo valore non nullo e approssimativamente costante nello stato di vuoto riduce il gruppo di struttura da HH a un sottogruppo U(1)U(1) (diagonalmente incorporato in SU(2)ÃU(1)SU(2) \tempo U(1). Questa teoria descrive sia le forze elettromagnetiche che quelle deboli, in modo più o meno unificato; a causa della riduzione del gruppo di struttura a U(1)U(1), i campi a lungo raggio sono solo quelli dell’elettromagnetismo, in accordo con ciò che vediamo in natura.

La soluzione al problema dei campi di YangâMills senza massa per le interazioni forti ha una natura completamente diversa. Questa soluzione non è venuta dall’aggiunta di campi alla teoria di YangâMills, ma dalla scoperta di una proprietà notevole della stessa teoria quantistica di YangâMills, cioè della teoria quantistica la cui lagrangiana classica è stata data ]. Questa proprietà è chiamata “libertà asintotica”. Approssimativamente ciò significa che a brevi distanze il campo mostra un comportamento quantistico molto simile al suo comportamento classico; tuttavia a lunghe distanze la teoria classica non è più una buona guida per il comportamento quantistico del campo.

La libertà asintotica, insieme ad altre scoperte sperimentali e teoriche fatte negli anni ’60 e ’70, ha reso possibile descrivere la forza nucleare con una teoria di gauge non abeliana in cui il gruppo di gauge è G=G = SU(3). I campi aggiuntivi descrivono, a livello classico, gli “squark”, che sono oggetti di spin 1/2 in qualche modo analoghi all’elettrone, ma che si trasformano nella rappresentazione fondamentale di SU(3)SU(3). La teoria di gauge non abeliana della forza forte è chiamata Cromodinamica Quantistica (QCD).

L’uso della QCD per descrivere la forza forte è stato motivato da tutta una serie di scoperte sperimentali e teoriche fatte negli anni ’60 e ’70, che riguardano le simmetrie e il comportamento ad alta energia delle interazioni forti. Ma la teoria di gauge classica non abeliana è molto diversa dal mondo osservato delle interazioni forti; perché la QCD possa descrivere con successo la forza forte, deve avere a livello quantistico le seguenti tre proprietà, ognuna delle quali è drammaticamente diversa dal comportamento della teoria classica:

(1) Deve avere un “gap di massa”, cioè deve esserci qualche costante Î>0\Delta \gt 0 tale che ogni eccitazione del vuoto abbia energia almeno Î\Delta.

(2) Deve avere “confinamento dei quark”, cioè, anche se la teoria è descritta in termini di campi elementari, come i campi dei quark, che si trasformano non banalmente sotto SU(3), gli stati delle particelle fisiche, come il protone, il neutrone e il pione, sono invarianti a SU(3).

(3) Deve avere “rottura della simmetria chirale”, il che significa che il vuoto è potenzialmente invariante (nel limite, che le masse nude dei quark svaniscono) solo sotto un certo sottogruppo del gruppo di simmetria completo che agisce sui campi dei quark.

Il primo punto è necessario per spiegare perché la forza nucleare è forte ma a corto raggio; il secondo è necessario per spiegare perché non vediamo mai i singoli quark; e il terzo è necessario per spiegare la teoria dell’algebra corrente dei pioni molli che è stata sviluppata negli anni ’60.

Sia l’esperimento – dato che la QCD ha numerosi successi nel confronto con l’esperimento – sia le simulazioni al computer, effettuate dalla fine degli anni ’70, hanno dato un forte incoraggiamento che la QCD ha le proprietà citate. Queste proprietà possono essere viste, in una certa misura, nei calcoli teorici eseguiti in una varietà di modelli altamente semplificati (come la teoria di gauge a reticolo fortemente accoppiato). Ma non sono pienamente comprese a livello teorico; non esiste un calcolo teorico convincente, matematicamente completo o meno, che dimostri una qualsiasi delle tre proprietà nella QCD, al contrario di una sua troncatura fortemente semplificata.

Questo è il problema della quantizzazione non-perturbativa della teoria di Yang-Mills. Vedi lì per saperne di più.

• Teoria di Yang-Mills D=5

• Teoria di Yang-Mills massiva

• Teoria di Yang-Mills auto-duale

• Super Yang-Mills

• teoria dell’accoppiamento minimo

• notazione a doppia linea di ‘t Hooft

• teoria di Einstein-Yang-Mills

  • teoria di Einstein-Maxwell

  • Teoria di Einstein-Yang-Mills-Dirac

  • Teoria di Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs

• Yang-Mills

• modello standard della fisica delle particelle

  • elettromagnetismo

  • spinors in Yang-Mills theory

  • QED, QCD,

  • campo elettrodebole

• monopolo di Yang, monopolo di ‘t Hooft-Polyakov

• S-dualità, dualità Montonen-Olive

  • dualità magnetico-elettrica

  • dualità geometrica di Langlands

• teoria di Chern-Simons

• Yang-Mills instanton

  • confinamento

• libertà asintotica

Generale

La teoria di Yang-Mills prende il nome dall’articolo

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservazione dello spin isotopico e invarianza di gauge isotopica. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

che fu il primo a generalizzare il principio dell’elettromagnetismo a un gruppo di gauge non abaliano. Questo fu accettato come formulazione della QCD e delle interazioni deboli (solo) dopo che la rottura spontanea della simmetria (il meccanismo di Higgs) fu compreso negli anni ’60.

Revisioni moderne delle basi

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Teoria di gauge

• Karen Uhlenbeck, note di Laura Fredrickson, Equazioni della teoria di gauge, lezione alla Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Sezione 10.5.4 di: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Vedi anche i riferimenti a QCD, teoria di gauge, Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton e alla teoria super Yang-Mills.

La discussione classica della teoria di YM su superfici di Riemann (che è strettamente legata alla teoria di Chern-Simons, vedi anche lo spazio moduli di connessioni piane) è in

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

che è rivisto nelle note di lezione

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Per la relazione con l’omologia di Floer dell’istante si veda anche

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

Per la relazione con i numeri di Tamagawa vedi

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Soluzioni classiche

Wu e Yang (1968) hanno trovato una soluzione statica alle equazioni di Yang-Mills senza fonte SU(2)SU(2). Riferimenti recenti includono

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

C’è una vecchia recensione,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

che fornisce alcune delle soluzioni note della teoria di gauge SU(2)SU(2) nello spazio Minkowski (monopoli, onde piane, ecc.) ed euclideo (istantoni e loro cugini). Per i gruppi di gauge generali si possono ottenere soluzioni incorporando SU(2)SU(2).

Per gli istantoni di Yang-Mills si conosce la soluzione più generale, elaborata prima da

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

per i gruppi classici SU, SO , Sp, e poi da

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

per gruppi di Lie eccezionali. L’ultima svolta nella storia degli istantoni di Yang-Mills è la costruzione di soluzioni con olonomia non banale:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

C’è una bella serie di note di lezione

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

su soluzioni topologiche con diverse co-dimensioni (istantoni, monopoli, vortici, muri di dominio). Si noti, tuttavia, che, tranne che per gli istantoni, queste soluzioni richiedono tipicamente scalari extra e U(1) rotti, come si può trovare nelle teorie super Yang-Mills.

Alcuni dei materiali usati qui sono stati presi da

• TP.SE, Quali soluzioni esatte delle equazioni classiche di Yang-Mills sono note?

Un altro modello con campi Yang-Mills è stato proposto da Curci e Ferrari, vedi modello Curci-Ferrari.

Vedi anche

• DispersiveWiki, Equazioni di Yang-Mills