Come il triangolo 30-60-90 è basato su un triangolo equilatero, il triangolo 45-45-90 è basato su un quadrato, i triangoli 18-72-90 e 36-54-90 sono basati sul pentagono regolare (vedi https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), e il triangolo 22.5-67.5-90 è basato sull’ottagono regolare (vedi post precedente), quindi il triangolo 15-75-90 è basato sul dodecagono regolare, mostrato qui con tre raggi (rosso) e una sola diagonale (viola). Il triangolo 15-75-90 è mostrato in giallo. Un argomento di simmetria è sufficiente per mostrare che l’angolo EFC è il triangolo retto in questo triangolo, e il maggiore dei suoi due angoli acuti (angolo FCE) è la metà di un angolo interno di questo dodecagono. L’angolo interno di un decagono regolare misura 150 gradi (la prova di questo è banale), e quindi l’angolo FCE deve misurare la metà di quella quantità, o 75 gradi. Questo lascia 15 gradi per l’angolo CEF, attraverso il teorema della somma dei triangoli.
Che dire delle lunghezze dei lati del triangolo 15-75-90, però? Per prima cosa, consideriamo le diagonali rosse mostrate, e lasciamo che abbiano ciascuna una lunghezza di 2. Gli angoli DAF e FAE misurano ciascuno 30 gradi, poiché 360/12 = 30, e sono angoli centrali tra raggi adiacenti. Questo rende l’angolo DAE 60 gradi per addizione di angoli, e il triangolo DAE è noto per essere isoscele, poiché i due lati rossi sono raggi dello stesso dodecagono regolare, e quindi sono congruenti. Per il teorema del triangolo isoscele e il teorema della somma dei triangoli, quindi, anche gli angoli ADE e AED misurano ciascuno (180-60)/2 = 60 gradi, quindi il triangolo ADE è quindi equilatero, con il lato viola, DE, che ha anche una lunghezza di due. La simmetria è sufficiente per vedere che DE è bisecato dal raggio AC, il che porta alla conclusione che EF, la gamba lunga del triangolo 15-75-90, ha una lunghezza di 1.
Il segmento AF è una mediana, e quindi anche una quota, del triangolo equilatero ADE, e lo divide in due triangoli 30-60-90, uno dei quali è il triangolo AEF. La sua ipotenusa, AE, è già nota per avere una lunghezza di 2, mentre la sua gamba corta, EF, è già nota per avere una lunghezza di 1. Il segmento AF è quindi la gamba lunga di questo triangolo 30-60-90, con una lunghezza di √3.
AF, di lunghezza √3, e FC, la gamba corta del triangolo 15-75-90, formano insieme il raggio del dodecagono AC, già fissato alla lunghezza 2. Per sottrazione di lunghezza, quindi, FC, la gamba corta del triangolo 15-75-90, ha una lunghezza di 2 – √3. Una prova è prudente a questo punto, prendendo la tangente dell’angolo di 15 gradi FEC nel triangolo giallo. Tan(15 gradi) è uguale a 0,26794919…, che è anche l’approssimazione decimale per FC/EF, o (2 – √3)/1.
Tutto ciò che rimane per conoscere i rapporti di lunghezza dei lati del triangolo 15-75-90 è determinare la lunghezza di EC, la sua ipotenusa, tramite il Teorema di Pitagora. Il quadrato della lunghezza EC deve essere uguale al quadrato di 1 più il quadrato di (2 – √3), quindi EC, al quadrato, è uguale a 1 + 4 – 4√3 + 3, o 8 – 4√3. L’ipotenusa (EC) deve quindi essere la radice quadrata di 8 – 4√3, che è √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Il rapporto gamba corta:gamba lunga:ipotenusa in un triangolo 15-75-90 è, quindi, (2-√3):1:2√(2-√3)).