アルミ缶やペットボトルの裏に印刷されているリサイクルのシンボルなど、日常生活で何百回も片面だけの物体に遭遇しているのではないでしょうか？
この数学的オブジェクトはメビウスの帯と呼ばれています。 1858 年にライプツィヒ大学で天文学と高等力学の講座を担当していたアウグスト・メビウスが発見して以来、環境保護主義者やアーティスト、エンジニア、数学者、その他多くの人々を魅了してきました。 (リスティングという別の数学者がその数ヶ月前に実際に記述していたが、彼の研究が発表されたのは1861年になってからである)。
片側だけの物体というコンセプトは、オランダのグラフィック・デザイナーM.C.エッシャーなどの芸術家にインスピレーションを与え、木版画「Möbius Strip II」にはメビウスの帯に沿って赤いアリが次々と這っている様子が描かれています。
メビウスの帯には、驚くべき性質が1つだけではありません。 例えば、ハサミでメビウスの帯を描いた線に沿って半分に切ってみてください。 すると、2本の小さな片面メビウスの帯ではなく、1本の長い両面メビウスの輪ができることに気づき、驚くかもしれません。 手元に紙がない場合は、エッシャーの木版画「メビウスの輪I」で、メビウスの輪を中心線に沿って切るとどうなるかを見ることができる。
位相幾何学者は、部品を切断したり接着したりせずに、動かしたり、曲げたり、伸ばしたり、ねじったりしても保存されるオブジェクトの特性を研究します。 たとえば、もつれた一対のイヤホンは、トポロジー的な意味では、もつれない一対のイヤホンと同じである。なぜなら、一方を他方に変えるには、動かしたり、曲げたり、ひねったりするだけでいいからだ。
トポロジカルに同じであるもうひとつの対の物体は、コーヒーカップとドーナツである。 どちらも穴が1つしかないので、伸ばしたり曲げたりするだけで片方をもう片方に変形させることができる。
物体の穴の数は、切断や接着によってのみ変えることができる性質である。 この特性は物体の「属」と呼ばれ、ドーナツには穴が 1 つあるのに対し、イヤホンには穴がないため、一対のイヤホンとドーナツは位相的に異なるということができます。
残念ながら、メビウスの帯と、典型的なシリコーン製の認識リストバンドなどの二面のループは、どちらも 1 つの穴を持っていると考えられ、この特性ではそれらを区別するのに不十分です – 少なくともトポロジストの観点からは。
その代わりに、メビウスの帯と両面ループを区別する特性は、方向づけ可能性と呼ばれます。 穴の数と同じように、物体の配向性は切断や接着によってのみ変更することができる。
シースルーの表面に自分でメモを書いて、その表面を散歩することを想像してください。 散歩から帰ってきたとき、常にメモを読むことができれば、その表面は方向づけ可能である。 一方、向き不一致の面では、散歩から戻ると、書いた文字が鏡像になっており、右から左へしか読めないことに気づくかもしれない。 両面の輪の上では、旅先がどこであろうと、メモは常に左から右に読むことができます。
メビウスの帯は非配向性であるのに対し、両面ループは配向性なので、メビウスの帯と両面ループはトポロジー的に異なるということになりますね。
配向性のコンセプトは重要な意味を持ちます。 エナンチオマーを考えてみよう。 これらの化学化合物は、1 つの重要な違いを除いて同じ化学構造を持っています。 それらは互いに鏡像である。 たとえば、L-メタンフェタミンという化学物質は、ヴィックス ヴェイパー インヘラーに含まれる成分です。 その鏡像であるD-メタンフェタミンは、クラスAの違法薬物である。 もし、私たちが無方向性の世界に住んでいたら、これらの化学物質は見分けがつかないだろう。
アウグスト・メビウスの発見は、自然界を研究する新しい方法を切り開いた。 トポロジーの研究は、驚くべき結果を生み出し続けている。 たとえば、昨年、トポロジーは科学者たちに、物質の奇妙な新状態を発見させた。 今年の数学界最高の栄誉であるフィールズ・メダルは、位相幾何学を整数論などの他の分野と統合することに貢献した数学者、アクシャイ・ヴェンカテッシュが受賞した
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