18TH CENTURY MATHEMATICS

Calculus of variations

17 世紀の後半から 18 世紀の前半にかけて、ニュートンやライプニッツの弟子たちは物理、天文学、工学におけるさまざまな問題解決に彼らの考えを適用し、多くの仕事をこなしました。

しかし、この時代を支配したのは、スイスのバーゼルに住むベルヌーイ一家であった。 バーゼルは、18世紀最大の数学者レオンハルト・オイラーの故郷でもあるが、ベルヌーイ家の支配する都市でうまくやっていくことが困難だったこともあり、オイラーはドイツやロシアのサンクト・ペテルブルクなど、ほとんどの時間を外国で過ごした。 幾何学、微積分、三角法、代数学、整数論など、数学のあらゆる分野に秀でた彼は、異分野の間に思いがけないつながりを見いだすことができた。 1742年、ドイツの数学者ゴールドバッハがオイラーに宛てた手紙の中で、「2より大きい偶数はすべて2つの素数の和で表せる」というゴールドバッハ予想を提唱した（例：「2より大きい偶数はすべて2つの素数の和で表せる」というゴールドバッハ予想が、オイラーに送られた）。また、5以上の整数はすべて3つの素数の和で表されるというものである。 また、7より大きい奇数はすべて3つの奇数素数の和であるという、いわゆる「弱い」ゴールドバッハ予想もある。 これらは、数論（そして数学全体）において最も古い未解決問題の一つであるが、弱い形式の予想の方が強い予想よりも解決に近いと思われる。 839>

18世紀の数学はオイラーとベルヌーイによって支配されたが、他の重要な数学者の多くはフランス出身であった。 世紀初頭、アブラハム・ド・モワブルは、複素数と三角法を結びつけたド・モワブルの公式、(cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx)で最もよく知られているだろう。 しかし、彼はまた、ニュートンの有名な二項定理を多項定理に一般化し、解析幾何学の発展を先導し、正規分布（彼は正規分布曲線の公式を初めて示した）と確率論に関する研究は非常に重要であった。

世紀末にはフランスがさらに著名となり、特に18世紀末フランスの数学者は、この時点で言及するに値する一握りの人々である。「三つのL」を始めとして。

ジョセフ・ルイ・ラグランジュはオイラーと共同で変分法に関する重要な研究を行いましたが、微分方程式や整数論にも貢献し、通常、19世紀と20世紀の数学で非常に重要となる群論の創始者とされています。 有限群のすべての部分群の要素数は、元の有限群の要素数に均等に分割されるという群論の初期の定理に彼の名前がつけられている。

ラグランジュの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理

また、任意の自然数は4乗の和として表されるという4乗の定理（e．3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12 など）。また、ラグランジュの定理、ラグランジュの平均値の定理とも呼ばれるが、これは、滑らかな連続（微分可能）曲線のある部分が与えられたとき、その部分の少なくとも1点は、曲線の微分（または傾斜）とその部分の平均（または平均）微分が等しく（または平行に）なるという定理である。 ラグランジュの1788年の解析力学の論文は、ニュートン以降の古典力学を最も包括的に扱い、19世紀の数理物理学の発展の基礎となった。 初期の研究は微分方程式と有限差分に関するものだったが、1770年代にはすでに確率や統計の数学的、哲学的概念について考え始めており、いわゆるベイズ的確率解釈をトマス・ベイズとは別に独自に発展させた。 ラプラスは、完全な科学的決定論を信奉していたことでよく知られており、少なくとも原理的には、宇宙とその仕組みに関するすべてを予測することを可能にする一連の科学的法則が存在するはずだと主張したのである。

最初の6つのレジャンドル多項式

アドリアン・マリー・レジャンドルも統計、整数論に重要な貢献をした。 18世紀末から19世紀初頭にかけて、抽象代数学や数学解析学が発展したが、彼の研究の多くは、曲線あてはめや線形回帰のための最小二乗法、二次相反則、素数定理、楕円関数に関する研究など、他の人々、特にガウスによってのみ完成され、少なくとも一般に知られるようになった。 ユークリッドの著書を再編集した「幾何学要論」は、ほぼ100年にわたって幾何学の主要な教科書となり、彼の極めて正確な地球子午線の測定は、尺度と重さのメートル法の創造とほぼ全世界での採用にインスピレーションを与えたのです。

さらにもう一人のフランス人、ガスパール・モンジュは、記述幾何学の発明者であった。 彼の正投影法は、ほとんどすべての現代の機械製図で使用される図法となった。

何世紀にもわたって、ますます正確な近似が行われた後、スイスの数学者で著名な天文学者であるヨハン・ランベルトは、1761年についにπが無理数であること、つまり整数だけを使った単純な分数として表現できない、終止小数としても繰り返し小数としても表現できないことを厳密に証明してみせたのである。 このことは、πを正確に計算することは不可能であることを決定的にしたが、より正確な近似値を求めることへの執着は今日まで続いている。 (100年以上後の1882年、フェルディナンド・フォン・リンデマンはπが超越的であること、つまり有理係数を持つ多項方程式の根にはなり得ないことを証明した）。 839>