BioMath:Allometry

アロメトリーとは何か？

アロメトリーとは生物の成長過程で、ある属性と別の属性の比率が相対的に変化することを研究することである。 これらの属性は、形態学的、生理学的、またはその他の場合があります。 アロメトリクスの関係でよく知られているのは、骨格量と体格である。 具体的には、体の大きな生物の骨格は、体の小さな生物の骨格よりも相対的に重くなる。 もちろん、重い生物には重い骨格が必要であることは明らかなようだ。 しかし、重い生物ほど不釣り合いに重い骨格を必要とすることは、同じように明らかだろうか？ では、その関係はどうなっているのだろうか。 次のようなデータを考えてみよう。

• 10kgの生物は0.75kgの骨格を必要とし、
• 60kgの生物は5.3kgの骨格を必要とし、
• 110kgの生物は10.2kgの骨格を必要とするかもしれないのだ。 体重が50kg増えるごとに骨格が増えるわけではなく、体重に比例して骨格が増えるのです。

  アロメトリック・スケーリングの法則は、経験的なデータから導き出されたものです。 これらの法則の解明に興味を持つ科学者は、多くの分類群に共通する属性、例えば哺乳類の成体の体格や脳の大きさを測定します。 そして、そのデータから関係性を探り、そこから方程式が書かれる。

  Allometric Growth

  Allometric Scaling Relationship は、次のような形の Allometric equation を使って記述することができます。
  	f (s) = c s d,		(1)
  ここでc、dは定数である。 変数sとf（s）は比較する2つの異なる属性（例えば、体格と骨格）を表している。

  この式は2つの属性の関係を理解するために用いることができる。 具体的には、このモデルにおける定数dは、sとf（s）で表される2つの属性の相対的な成長率を決定する。 簡単のために、d > 0の場合だけを考えてみよう。

  • d > 1の場合、f (s) で与えられる属性はsで与えられる属性に比例して増加する。例えば、sが体の大きさを表す場合、f (s) は体が大きい方が小さい方より相対的に大きくなる。
  • 0 < d < 1の場合、属性f (s) は属性sに比例して増加するが、比例より遅い速度でそうなる。
  • もしd = 1なら、属性f (s)は属性sの一定の割合で変化する。この特別なケースはアロメトリではなくアイソメトリと呼ばれる。

  等長方程式を使って

  y

  b

  y

  (1) は指数式ではなくべき関数（変数のsではなく定数のdは指数の位置）なことに注意する必要があります。 方程式を解くのに対数が必要な他のアプリケーションとは異なり、ここでは対数を用いてアロメトリック方程式を一次方程式に簡略化しています。 ここで、(1)を
  	log (f (s)) = log (c s d) という形の対数方程式に書き換えてみることにします。		(2)
  そして、対数の性質を利用して、(2)を次のように並べ替えることができる。
  	log (f)	= log c + log (s d),
  	= log c + d log sとなる。	(3)
  letで変数を変えるとき、
  	= log fとなる。
  	= log cとなる。
  m	= d,
  x	= log s。
  となり、(3)は実は線形方程式
  	= mx + bであることが分かります。	(4)
  したがって、等比方程式を対数同等に変換すると、1次方程式が生じることになる。 なぜ悩むのか アロメトリック方程式を対数方程式に書き換えることで、一連の実験データから定数cとdの値を簡単に計算することができます。 x軸にlog s、y軸にlog fをプロットすると、傾きがd、y切片がlog cに等しい直線になるはずで、変数x、yは対数スケールであることがわかります（x = log s、y = log fなので）。 このようなプロットをlog-logプロットと呼びます。 アロメトリック方程式は経験値から導かれるので、log-logプロットのxy平面でベストフィットの線上に散らばるデータには注意しなければならない。 最良適合線からのわずかなずれは、実は見た目よりも大きいのです。 xとyの変数が対数スケールなので、出力変数（xとy）の線形変化は、入力変数（f（s）とs）の指数関数的な変化に対応することを思い出してください。 最終的にはfとsの関係に興味があるのですから、最適な直線からのわずかなずれにも気を配る必要があります。

では、具体例としてシダレガニの話に戻りましょう。