nLab Yang-Mills theory

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Idea

YangâMills理論とは、与えられた4次元（擬）リーマン多様体XX上のゲージ理論で、YangâMills場をコサイクルâH（X,B¯U(n))\nabla 接続を持つベクトル束で表される微分ノナベルコホモロジーの(X,Ⅻbar)で、その作用関数が

â¦1g 2â” である。 Xtr(Fâ§âFâ)+iθ⠔ Xtr(Fâ§Fâ) \frac{1}{g^2 }int_X tr(F_nabla \wedge F_nabla) \;+좋; i \theta \int_X tr(F_nabla \wedge F_nabla)

for

  • F âF_nabla the Field Strength, 局所的にはXX上の曲率ð²(n)゙Mathfrak{u}(n)-Lie algebra valued differential form ( ð²(n)゙Mathfrak{u}(n) は U(n)U(n) の Lie algebra) となります。

  • âstar the Hodge star operator of the metric gg;

  • 1g 2frac{1}{g^2} the Yang-Mills coupling constant and θtheta the the theta angle, some real numbers (See at S-duality).

（この例は、A first idea of quantum field theoryを参照してください。)

性質

解の分類

  • Narasimhan-Seshadri theorem

  • Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem

Quantization

素粒子標準モデルでは基本的にその役割があるが、量子化では、量子力学は、素粒子物理学の標準モデルで、そのようなことはない。 Yang-Mills理論の量子化については、まだ様々な詳細が明らかになっていない。

応用

素粒子標準模型やGUT模型のゲージ場はすべてYang-Mills場である。

  • spinors in Yang-Mills theory

History

Jaffe-Witten より：

Yang-Mills理論が見つかった1950年代までに、量子電気力学またはQEDとして知られている量子版マックスウェル理論は電磁場と力を非常に正確に説明できることが既に分かっていました。 実際、QED は以前の量子論の予測精度を数桁向上させ、エネルギー準位の新しい分裂を予測しました。

そこで、非アベロンゲージ理論が自然界の他の力、特に弱い力（特にある種の放射能の原因）や強い力（特に陽子と中性子の原子核への結合の原因）などを記述できるかを調べるのは自然なことでした。 古典的なヤンミルズ波の質量がないことは、ヤンミルズ理論を他の力に適用する際の重大な障害となった。なぜなら、弱い力と核力は短距離であり、粒子の多くは質量をもっているからである。

1960年代と1970年代には、物理学者は非アベリアン・ゲージ理論の物理的解釈に対するこれらの障害を克服した。 弱い力の場合、これはゲージ群 H=H=SU(2) ＝U(1) のグラショー・サラーム・ワインバーグ電弱理論によって達成された。 この理論にヒッグス場を加えることで、古典的なヤンミルズ波が持つ無質量性を回避することができる。 ヒッグス場はHHの2次元表現に変換され、そのゼロでないほぼ一定の値は真空状態でHHの構造群をU(1)U(1)部分群（SU(2)-SU(1)の斜め埋め込み）に減少させることができる。 この理論は、電磁気力と弱い力の両方を、多かれ少なかれ統一的に記述する。構造群が U(1)U(1) に減少したため、長距離場は電磁気力だけのものとなり、自然界に見られるものと一致する。 その解決はYangâMills理論に場を加えることではなく、量子YangâMills理論そのもの、つまり古典ラグランジアンが与えられている量子理論の驚くべき性質を発見することによってもたらされたのです】。］ この性質は「漸近的自由度」と呼ばれています。

漸近自由は、1960年代と1970年代に行われた他の実験的、理論的発見とともに、ゲージ群をG=G=SU(3)とする非アベリウスゲージ理論によって核力を記述することを可能にした。 追加された場は、古典的なレベルでは、電子に似たスピン1/2の物体であるクォークを、SU(3)SU(3)という基本表現で変形して記述する。 強い力の非アベリウスゲージ理論は量子色力学（QCD）と呼ばれています。

強い力を記述するためにQCDを使用することは、強い相互作用の対称性と高エネルギーでの振る舞いを含む、1960年代と1970年代の一連の実験と理論による発見によって動機づけられています。 しかし、古典的な非アベリアン・ゲージ理論は、観測された強い相互作用の世界とは非常に異なっている。QCDが強い力をうまく記述するには、量子レベルで次の3つの性質を持たなければならず、それぞれが古典理論の振る舞いとは劇的に異なっている：

(1) It must have a ♪mass gap; namely there must be some constant Î>0Delta \g 0 that every excitation of the vacuum has energy at least ÎDelta.

(2) It must have âqueark confinement, つまり、理論がSU(3)の下で非自明的に変換するクォーク場のような素粒子場で記述されていても、陽子、中性子、パイ中間子のような物理粒子状態はSU(3)-不変であること。

(3) キラル対称性の破れ、つまり真空はクォーク場に作用する完全対称群のある部分群の下でのみ潜在的に不変である（クォーク裸の質量が消滅する極限において）ことが必要である。

最初の点は、なぜ核力が強いが短距離なのかを説明するために必要であり、2つ目は、なぜ個々のクォークを見ることができないのかを説明するために必要であり、3つ目は、1960年代に発展したソフトパイオンに関する「カレント代数」理論を説明するために必要なのです。 これらの性質は、高度に単純化された様々なモデル（強結合格子ゲージ理論のような）で行われた理論計算でも、ある程度は見ることができます。 しかし、それらは理論的に完全に理解されているわけではなく、数学的に完全かどうかは別として、QCDの3つの特性のいずれかを実証する説得力のある理論計算は存在しません。

これはヤンミルズ理論の非摂動量子化問題です。 詳しくはそちらをご覧ください。

  • D=5 Yang-Mills theory

  • massive Yang-Mills theory

  • self-dual Yang-Mills theory

  • super Yang->

    • D=5 Yang-Mills theoryミルズ理論

  • 最小結合

  • ‘t Hooft二重線表記

  • Einstein-Yang-Mills theory

    • Einstein->

    • アインシュタイン-ヤン-ミルズ-ディラック理論

    • アインシュタイン-マックスウェル-ヤン-ミルズ-ディラック-ヒグス理論

  • Yang-…ミルズ方程式

  • 素粒子物理学の標準モデル

    • 電磁気学

      • Yang-Mills theoryにおけるスピナー

  • QEDの。 QCD,

  • 電弱場

  • 楊単極、’t Hooft-Polyakov 単極

  • S-デュアリティ。 モントネンとオリーブの二重性

    • 電気磁気二重性

    • 幾何学的ラングランド双対

  • チャーンサイモン理論

  • 陽の光

  • 陽の光

    • confinement

  • asymptotic freedom

    • General

    Yang-Mills theoryは論文

    • Chen Ning Yangから名付けられました。 ロバート・ミルズ、同位体スピンの保存と同位体ゲージ不変性。 Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

    は、電磁気学の原理を初めて非大夫ゲージ群に一般化したものである。 これは、1960年代に自発的対称性の破れ（ヒッグス機構）が理解された後、QCDや弱い相互作用の定式化として（だけ）受け入れられるようになりました。

    基礎の現代的なレビュー

    • Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

    • Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

      • Josà Fegueroa-O’Farill, ゲージ理論

    • Karen Uhlenbeck, Laura Fredricksonによるノート、Equations of Gauge Theory, lecture at Temple University, 2012 (pdf, pdf)

    • Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)

    • 中原幹夫、第10・5・4項(of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

    QCD、ゲージ理論、Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton、super Yang-Mills theoryの文献も参照下さい。

    リーマン面上のYM理論（Chern-Simons理論と密接な関係があり、平坦接続のモジュライ空間も参照）の古典的な議論は

    • Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of Royal Society of Londonにあります。 Series A, Mathematical and Physical Sciences

      Vol.308, No.1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

    これは講義ノート

    • Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

    instanton Floer homology への関連は

    • Simon Donaldson にも書かれています． Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

    玉川数との関係については、

    • Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

    古典解

    Wu and Yang (1968) はソースレス SU(2)SU(2) Yang-Mills 方程式に静解を見いだしました。 最近の文献では

    • J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

    古いレビューですが、

    • Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev.Mod.M.S. (1968)があり、この論文では、SU-2ヤンマーズ方程式の静的解を発見しています。 Phys. 51, 461-525 (1979),

    に、ミンコフスキー空間（モノポール、平面波など）、ユークリッド空間（インスタントンとその仲間）のSU(2)SU(2)ゲージ理論の既知の解がいくつか紹介されています。 一般的なゲージ群では、SU(2)SU(2)を埋め込むことによって解を得ることができます。

    Yang-Millsインスタントンについては、最も一般的な解が知られており、最初は

    • Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185-187 (1978) pdf

    古典群 SU, SO , Sp について、次に

    • C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

    for exceptional Lie groups.があります。

    • Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

    異なる共次元のトポロジカル解（インスタントン、モノポール、渦、ドメインウォール）については、David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

    の素晴らしい講義ノートセットがあります。

    ここで使われている資料のいくつかは、

    • TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

    もう一つの Yang-Mills 場を持つモデルは Curci と Ferrari によって提案されており、Curci-Ferrari model を参照してください。

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