30-60-90 は正三角形を、45-45-90 は正方形を、18-72-90 と 36-54-90 は正五角形を（https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/ 参照）とし、また 22-90 は三角形をベースにしました。5-67.5-90の三角形は正八角形（前回の記事参照）をベースにしているので、15-75-90の三角形は正十二角形をベースにしており、ここでは三つの半径（赤）と一つの対角（紫）で示されています。 15-75-90の三角形は、黄色で示されています。 角EFCはこの三角形の直角三角形であり、その2つの鋭角のうち大きい方（角FCE）はこの12角形の内角の2分の1であることは、対称性からの議論で十分である。 正十角形の内角は150度（この証明は簡単）なので、角FCEはその半分の75度でなければならない。 三角形の和の定理により、角CEFは15度残ります。
では、15-75-90の三角形の辺の長さはどうでしょうか。 まず、図の赤い対角線を考え、それぞれの長さを2とします。角DAFとFAEは、360/12=30なので、それぞれ30度で、隣り合う半径の間の中心角となる角です。 このため、角の足し算で角DAEは60度となり、三角形DAEは、赤い2辺が同じ正十二角形の半径であり、合同であることから、二等辺三角形であることがわかります。 すると、二等辺三角形の定理と三角形の和の定理により、角ADEとAEDもそれぞれ（180-60）/2＝60度の大きさになるので、三角形ADEは正三角形で、紫の辺DEの長さも2であることがわかります。 DEは半径ACで二等分されていることがわかるので、15-75-90の三角形の長足であるEFの長さは1である。
セグメントAFは正三角形ADEの中央であり、したがって高度でもあり、30-60-90の三角形2つに分割し、その1つは三角形AEFである。 斜辺AEは長さ2、短辺EFは長さ1であることが既に知られている。従って、区分AFはこの30-60-90の三角形の長脚であり、長さは√3である。
長さ√3のAFと15-75-90の三角形の短足FCを合わせて12角形の半径ACとなり、すでに長さが2になっているので、長さの引き算で15-75-90の三角形の短足FCは2-√3の長さとなる。 ここで、黄色い三角形の15度の角FECの正接をとって、テストするのが賢明です。 Tan(15度)は0.26794919…となり、FC/EFの10進近似値、つまり(2 – √3)/1です。
あとはピタゴラスの定理で15-75-90三角形の辺の長さの比、斜辺ECを求めれば良いのですが、その長さの比は、ピタゴラスの定理で求められます。 長さECの2乗は1の2乗と（2-√3）の2乗に等しくなければならないので、ECの2乗は1＋4-4√3＋3、つまり8-4√3に等しい。 したがって、斜辺 (EC) は 8 – 4√3 の平方根でなければならず、これは √(8-4√3)) = 2√(2-√3)) です。
したがって、15-75-90三角形の短辺：長辺：斜辺の比は、(2-√3)：1：2√(2-√3)) となります。