Ați întâlnit, cel mai probabil, obiecte unilaterale de sute de ori în viața de zi cu zi – cum ar fi simbolul universal al reciclării, care se găsește imprimat pe spatele dozelor de aluminiu și al sticlelor de plastic.
Acest obiect matematic se numește bandă Mobius. Acesta i-a fascinat pe ecologiști, artiști, ingineri, matematicieni și mulți alții încă de la descoperirea sa în 1858 de către August Möbius, un matematician german care a murit în urmă cu 150 de ani, la 26 septembrie 1868.
Möbius a descoperit banda unilaterală în 1858, în timp ce ocupa catedra de astronomie și mecanică superioară la Universitatea din Leipzig. (Un alt matematician pe nume Listing a descris-o de fapt cu câteva luni mai devreme, dar nu și-a publicat lucrarea până în 1861). Se pare că Möbius a întâlnit banda Möbius în timp ce lucra la teoria geometrică a poliedrelor, figuri solide compuse din vârfuri, muchii și fețe plane.
O bandă Möbius poate fi creată luând o fâșie de hârtie, dându-i un număr impar de jumătăți de răsuciri, apoi lipind capetele cu bandă adezivă la loc pentru a forma o buclă. Dacă luați un creion și trageți o linie de-a lungul centrului benzii, veți vedea că linia trece aparent de-a lungul ambelor părți ale buclei.
Conceptul unui obiect cu o singură față a inspirat artiști precum graficianul olandez M.C. Escher, a cărui xilogravură „Möbius Strip II” arată furnici roșii care se târăsc una după alta de-a lungul unei benzi Möbius.
Fâșia lui Möbius are mai mult decât o singură proprietate surprinzătoare. De exemplu, încercați să luați o foarfecă și să tăiați banda în două de-a lungul liniei pe care tocmai ați trasat-o. S-ar putea să fiți uimit să constatați că ați rămas nu cu două benzi Möbius mai mici cu o singură față, ci cu o buclă lungă cu două fețe. Dacă nu aveți o bucată de hârtie la îndemână, xilogravura lui Escher „Möbius Strip I” arată ce se întâmplă atunci când o bandă Möbius este tăiată de-a lungul liniei sale centrale.
În timp ce banda are cu siguranță un farmec vizual, cel mai mare impact al său a fost în matematică, unde a contribuit la stimularea dezvoltării unui întreg domeniu numit topologie.
Un topolog studiază proprietățile obiectelor care se păstrează atunci când sunt mutate, îndoite, întinse sau răsucite, fără a tăia sau lipi părțile între ele. De exemplu, o pereche de căști încurcate este, în sens topologic, aceeași cu o pereche de căști descurcate, deoarece schimbarea uneia în cealaltă necesită doar mutarea, îndoirea și răsucirea. Nu este necesară nici o tăiere sau lipire pentru a transforma între ele.
O altă pereche de obiecte care sunt topologic identice sunt o ceașcă de cafea și o gogoașă. Deoarece ambele obiecte au doar o singură gaură, unul poate fi deformat în celălalt doar prin simpla întindere și îndoire.
Numărul de găuri dintr-un obiect este o proprietate care poate fi modificată doar prin tăiere sau lipire. Această proprietate – numită „genul” unui obiect – ne permite să spunem că o pereche de căști și o gogoașă sunt topologic diferite, deoarece o gogoașă are o singură gaură, în timp ce o pereche de căști nu are nicio gaură.
Din păcate, o bandă Möbius și o buclă cu două fețe, cum ar fi o brățară de conștientizare tipică din silicon, ambele par să aibă o singură gaură, astfel încât această proprietate este insuficientă pentru a le deosebi – cel puțin din punctul de vedere al topologului.
În schimb, proprietatea care distinge o bandă Möbius de o buclă cu două fețe se numește orientabilitate. Ca și numărul său de găuri, orientabilitatea unui obiect poate fi schimbată doar prin tăiere sau lipire.
Imaginați-vă că vă scrieți un bilet pe o suprafață transparentă, apoi vă plimbați pe acea suprafață. Suprafața este orientabilă dacă, atunci când vă întoarceți de la plimbare, puteți citi întotdeauna biletul. Pe o suprafață neorientabilă, este posibil să vă întoarceți de la plimbare doar pentru a constata că cuvintele pe care le-ați scris s-au transformat aparent în imaginea lor în oglindă și pot fi citite doar de la dreapta la stânga. Pe bucla cu două fețe, biletul se va citi întotdeauna de la stânga la dreapta, indiferent unde v-a dus călătoria.
Din moment ce banda lui Möbius este neorientabilă, în timp ce bucla cu două fețe este orientabilă, aceasta înseamnă că banda lui Möbius și bucla cu două fețe sunt topologic diferite.
Conceptul de orientabilitate are implicații importante. Să luăm exemplul enantiomerilor. Acești compuși chimici au aceleași structuri chimice, cu excepția unei diferențe cheie: Ei sunt imagini în oglindă unul față de celălalt. De exemplu, substanța chimică L-metamfetamină este un ingredient al inhalatoarelor Vicks Vapor Inhalers. Imaginea sa în oglindă, D-metamfetamina, este un drog ilegal de clasa A. Dacă am trăi într-o lume neorientabilă, aceste substanțe chimice ar fi imposibil de distins.
Descoperirea lui August Möbius a deschis noi modalități de a studia lumea naturală. Studiul topologiei continuă să producă rezultate uimitoare. De exemplu, anul trecut, topologia i-a determinat pe oamenii de știință să descopere noi stări ciudate ale materiei. Medalia Fields din acest an, cea mai înaltă distincție în matematică, a fost acordată lui Akshay Venkatesh, un matematician care a contribuit la integrarea topologiei cu alte domenii, cum ar fi teoria numerelor.
.