MATEMATICA SECOLULUI AL XVIII-lea

Calculul variațiilor

Cel mai mare parte a sfârșitului secolului al XVII-lea și o bună parte a începutului secolului al XVIII-lea au fost ocupate de activitatea discipolilor lui Newton și Leibniz, care au aplicat ideile lor de calcul la rezolvarea unei varietăți de probleme din fizică, astronomie și inginerie.

Perioada a fost dominată, totuși, de o familie, familia Bernoulli din Basel, în Elveția, care s-a mândrit cu două sau trei generații de matematicieni excepționali, în special frații Jacob și Johann. Aceștia au fost în mare măsură responsabili pentru dezvoltarea ulterioară a calculului infinitezimal al lui Leibniz – în special prin generalizarea și extinderea calculului cunoscut sub numele de „calculul variațiilor” – precum și a probabilităților și a teoriei numerelor lui Pascal și Fermat.

Basel a fost, de asemenea, orașul natal al celui mai mare dintre matematicienii secolului al XVIII-lea, Leonhard Euler, deși, parțial din cauza dificultăților de a se descurca într-un oraș dominat de familia Bernoulli, Euler și-a petrecut cea mai mare parte a timpului în străinătate, în Germania și Sankt Petersburg, Rusia. El a excelat în toate aspectele matematicii, de la geometrie la calcul, trigonometrie, algebră și teoria numerelor, și a fost capabil să găsească legături neașteptate între diferitele domenii. A demonstrat numeroase teoreme, a fost pionierul unor noi metode, a standardizat notațiile matematice și a scris multe manuale influente de-a lungul lungii sale vieți academice.

Într-o scrisoare adresată lui Euler în 1742, matematicianul german Christian Goldbach a propus Conjectura lui Goldbach, care afirmă că orice număr întreg par mai mare decât 2 poate fi exprimat ca suma a două numere prime (e.g. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; etc.) sau, într-o altă versiune echivalentă, orice număr întreg mai mare decât 5 poate fi exprimat ca sumă de trei numere prime. O altă versiune este așa-numita conjectura „slabă” a lui Goldbach, conform căreia toate numerele impare mai mari decât 7 sunt suma a trei numere prime impare. Acestea rămân printre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor (și din întreaga matematică), deși forma slabă a conjecturii pare a fi mai aproape de rezolvare decât cea puternică. Goldbach a demonstrat și alte teoreme în teoria numerelor, cum ar fi Teorema Goldbach-Euler privind puterile perfecte.

În ciuda dominației lui Euler și a lui Bernoullis în matematica secolului al XVIII-lea, mulți dintre ceilalți matematicieni importanți erau din Franța. În prima parte a secolului, Abraham de Moivre este poate cel mai bine cunoscut pentru formula lui de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), care face legătura între numerele complexe și trigonometrie. Dar el a generalizat, de asemenea, faimoasa teoremă binomială a lui Newton în teorema multinomială, a fost un pionier în dezvoltarea geometriei analitice, iar lucrările sale privind distribuția normală (a dat prima declarație a formulei pentru curba de distribuție normală) și teoria probabilităților au fost de mare importanță.

Franța a devenit și mai proeminentă spre sfârșitul secolului, iar o mână de matematicieni francezi de la sfârșitul secolului al XVIII-lea merită menționați în mod special în acest punct, începând cu „cei trei L”.

Joseph Louis Lagrange a colaborat cu Euler într-o importantă lucrare comună privind calculul variației, dar a contribuit, de asemenea, la ecuațiile diferențiale și la teoria numerelor și, de obicei, i se atribuie originea teoriei grupurilor, care va deveni atât de importantă în matematica din secolele XIX și XX. Numele său este dat de o teoremă timpurie în teoria grupurilor, care afirmă că numărul de elemente ale fiecărui subgrup al unui grup finit se împarte egal cu numărul de elemente ale grupului finit inițial.

Teorema valorii medii a lui Lagrange

Teorema valorii medii a lui Lagrange

Lagrange este, de asemenea, creditat cu teorema celor patru pătrate, conform căreia orice număr natural poate fi reprezentat ca sumă de patru pătrate (de ex.ex. 3 = 12 + 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; etc.), precum și o altă teoremă, cunoscută în mod confuz și sub numele de Teorema lui Lagrange sau Teorema valorii medii a lui Lagrange, care afirmă că, dată fiind o secțiune a unei curbe continue netede (diferențiabile), există cel puțin un punct pe acea secțiune în care derivata (sau panta) curbei este egală (sau paralelă) cu derivata medie (sau medie) a secțiunii. Tratatul de mecanică analitică din 1788 al lui Lagrange a oferit cea mai cuprinzătoare tratare a mecanicii clasice de la Newton încoace și a constituit o bază pentru dezvoltarea fizicii matematice în secolul al XIX-lea.

Pierre-Simon Laplace, denumit uneori „Newton francez”, a fost un matematician și astronom important, a cărui lucrare monumentală „Mecanica celestă” a transpus studiul geometric al mecanicii clasice într-unul bazat pe calcul, deschizând o gamă mult mai largă de probleme. Deși lucrările sale timpurii s-au axat în principal pe ecuații diferențiale și diferențe finite, în anii 1770 începuse deja să se gândească la conceptele matematice și filosofice ale probabilității și statisticii și și-a dezvoltat propria versiune a așa-numitei interpretări bayesiene a probabilității, independent de Thomas Bayes. Laplace este binecunoscut pentru credința sa în determinismul științific complet și susținea că ar trebui să existe un set de legi științifice care să ne permită – cel puțin în principiu – să prezicem totul despre univers și modul în care acesta funcționează.

Primele șase polinoame Legendre

Primele șase polinoame Legendre (soluții la ecuația diferențială a lui Legendre)

Adrien-Marie Legendre a adus, de asemenea, contribuții importante la statistică, teoria numerelor, algebrei abstracte și analizei matematice la sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea, deși o mare parte din lucrările sale (cum ar fi metoda celor mai mici pătrate pentru ajustarea curbelor și regresia liniară, legea reciprocității pătratice, teorema numerelor prime și lucrările sale asupra funcțiilor eliptice) au fost aduse la perfecțiune – sau cel puțin la cunoștința generală – doar de alții, în special de Gauss. „Elemente de geometrie”, o reelaborare a cărții lui Euclid, a devenit principalul manual de geometrie timp de aproape 100 de ani, iar măsurarea extrem de precisă a meridianului terestru a inspirat crearea și adoptarea aproape universală a sistemului metric de măsuri și greutăți.

Încă un alt francez, Gaspard Monge, a fost inventatorul geometriei descriptive, o metodă inteligentă de reprezentare a obiectelor tridimensionale prin proiecții pe planul bidimensional, folosind un set specific de proceduri, o tehnică ce avea să devină mai târziu importantă în domeniile ingineriei, arhitecturii și designului. Proiecția sa ortografică a devenit metoda grafică utilizată în aproape toate desenele mecanice moderne.

După multe secole de aproximări din ce în ce mai precise, Johann Lambert, un matematician elvețian și astronom proeminent, a furnizat în cele din urmă, în 1761, o dovadă riguroasă că π este irațional, adică nu poate fi exprimat ca o fracție simplă folosind doar numere întregi sau ca o zecimală terminală sau repetitivă. Acest lucru a dovedit definitiv că nu va fi niciodată posibilă calcularea lui cu exactitate, deși obsesia obținerii unor aproximări din ce în ce mai precise continuă și în prezent. (Peste o sută de ani mai târziu, în 1882, Ferdinand von Lindemann avea să demonstreze că π este, de asemenea, transcendentală, adică nu poate fi rădăcina oricărei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali). Lambert a fost, de asemenea, primul care a introdus funcțiile hiperbolice în trigonometrie și a făcut unele conjecturi prevăzătoare cu privire la spațiul neeuclidian și la proprietățile triunghiurilor hiperbolice.

.