1 item is toegevoegd aan uw winkelwagen.

ORDER STATA

Markov-omschakelingsmodellen

Waar gaat dit over?

Soms evolueren processen in de tijd met discrete veranderingen in uitkomsten.

Denk aan economische recessies en expansies. Aan het begin van een recessie dalen productie en werkgelegenheid en blijven laag, en later stijgen productie en werkgelegenheid. Denk aan bipolaire stoornissen, waarbij manische periodes gevolgd worden door depressieve periodes, en het proces zich herhaalt. Statistisch gezien veranderen de gemiddelden, varianties en andere parameters tussen de episoden (regimes). Ons probleem is te schatten wanneer de regimes veranderen en wat de waarden zijn van de parameters die bij elk regime horen. De vraag wanneer regimes veranderen is gelijk aan de vraag hoe lang regimes blijven bestaan.

In Markov-overgangsmodellen schatten we niet alleen de gemiddelden, varianties, enz. van elk regime, maar ook de waarschijnlijkheid van regimeverandering. De geschatte overgangskansen voor een bepaald probleem kunnen de volgende zijn:

Start in toestand 1. De kans om van toestand 1 naar toestand 1 te gaan is 0,82. Anders gezegd, als het proces eenmaal in toestand 1 is, heeft het de neiging daar te blijven. Met een waarschijnlijkheid van 0,18 echter, gaat het proces over naar toestand 2. Toestand 2 is niet zo persistent. Met een waarschijnlijkheid van 0,75 gaan de processen in de volgende tijdsperiode terug van toestand 2 naar toestand 1.

Markov-omschakelingsmodellen zijn niet beperkt tot twee regimes, hoewel modellen met twee regimes gebruikelijk zijn.

In bovenstaand voorbeeld hebben we de omschakeling beschreven als abrupt; de waarschijnlijkheid veranderde onmiddellijk. Dergelijke Markov-modellen worden dynamische modellen genoemd. Markov-modellen kunnen ook geschikt zijn voor meer vloeiende veranderingen door de overgangskansen te modelleren als een autoregressief proces.

De overgang kan dus vloeiend of abrupt zijn.

Let’s see it work

Laten we eens kijken naar gemiddelde veranderingen tussen regimes. In het bijzonder zullen we de Federal Funds Rate analyseren. De Federal Funds Rate is de rente die de centrale bank van de V.S. aan de commerciële banken aanrekent voor nachtelijke leningen. Wij gaan kijken naar veranderingen in de Federal Funds Rate van 1954 tot eind 2010. Hier zijn de gegevens:

We hebben kwartaalgegevens. Hoge rentetarieven lijken kenmerkend te zijn voor de jaren zeventig en tachtig. Wij nemen aan dat er een ander regime is voor lagere rentetarieven die de andere decennia schijnen te kenmerken.

Om een dynamisch-switching (abrupt-veranderend) model met twee regimes te fitten, typen we

. mswitch dr fedfundsPerforming EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-switching dynamische regressieBemonstering: 1954q3 – 2010q4 No. van obs = 226Aantal toestanden = 2 AIC = 4,5455Onvoorwaardelijke waarschijnlijkheden: overgang HQIC = 4,5760 SBIC = 4,6211Log likelihood = -508.63592

In de bovenstaande uitvoer worden

• de gemiddelden van de twee toestanden (_cons);
• een enkele standaardafwijking voor het gehele proces (sigma); en
• de overgangskansen voor toestand 1 naar 1 en toestand 2 naar 1 (p11 en p21).

Toestand1 is de gematigde snelheidstoestand (gemiddelde van 3,71%).

Toestand2 is de hoge-tarief-toestand (gemiddeld 9,56%).

Beide toestanden zijn ongelooflijk persistent (1->1 en 2->2 waarschijnlijkheden van 0.98 en 0.95).

Een van de dingen die u kunt voorspellen na de schatting is de kans om in de verschillende toestanden te zijn. We hebben maar twee toestanden, en dus zegt de kans om in (zeg) toestand 2 te zijn ons de kans voor beide toestanden. We kunnen de voorspelde waarschijnlijkheid verkrijgen en die samen met de oorspronkelijke gegevens in een grafiek zetten:

. predict prfed, pr

Het model heeft weinig onzekerheid over het regime op elk moment in de tijd. We zien drie perioden met hoge snelheden en vier perioden met gematigde snelheden.

Let’s see it work

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een ziekte-uitbraak, namelijk de bof per 10.000 inwoners in New York City tussen 1929 en 1972. Je zou kunnen denken dat uitbraken overeenkomen met gemiddelde veranderingen, maar wat we in de gegevens zien is een nog grotere verandering in variantie:

We hebben de variabele S12.bofspc, dat wil zeggen seizoensafhankelijke bofgevallen per hoofd van de bevolking over een periode van 12 maanden, in een grafiek uitgezet.

Wij gaan uit van twee regimes waarin het gemiddelde en de variantie van S12.mumpspc veranderen. Om een dynamisch (abrupt veranderend) model te fitten, typen we

. mswitch dr S12.mumpspc, varswitch switch(LS12.mumpspc, noconstant)Performing EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-switching dynamic regressionSteekproef: 1929m2 – 1972m6Nr. van obs = 521Aantal toestanden = 2 AIC = -0.4826Onvoorwaardelijke waarschijnlijkheden: overgang HQIC = -0.4634 SBIC = -0.4336Waarschijnlijkheid = 131.7225

Gerapporteerd worden

• de gemiddelden van de twee toestanden van S12.mumpspc (0,42 en 0,98);
• de standaardafwijkingen van de twee toestanden (0,06 en 0,26); en
• de overgangskansen voor toestand 1 naar 1 en toestand 2 naar 1 (0,76 en 0,15).

Toestand 1 is de lage-variant-toestand.

De volledige set van overgangskansen is de volgende: