18e eeuwse wiskunde

Variatierekening

Het grootste deel van het einde van de 17e eeuw en een groot deel van het begin van de 18e eeuw werd in beslag genomen door het werk van leerlingen van Newton en Leibniz, die hun ideeën over de calculus toepasten bij het oplossen van allerlei problemen in de natuurkunde, astronomie en techniek.

De periode werd echter gedomineerd door één familie, de Bernoulli’s van Bazel in Zwitserland, die twee of drie generaties van uitzonderlijke wiskundigen telde, met name de broers Jacob en Johann. Zij waren grotendeels verantwoordelijk voor de verdere ontwikkeling van de infinitesimaalrekening van Leibniz – met name door de veralgemening en uitbreiding van de calculus die bekend staat als de variatierekening – en voor de kansrekening en getaltheorie van Pascal en Fermat.

Bazel was ook de woonplaats van de grootste van de 18e eeuwse wiskundigen, Leonhard Euler, hoewel Euler, deels vanwege de moeilijkheden om vooruit te komen in een stad die gedomineerd werd door de Bernoulli familie, het grootste deel van zijn tijd in het buitenland doorbracht, in Duitsland en St. Petersburg, Rusland. Hij blonk uit in alle aspecten van de wiskunde, van meetkunde tot calculus tot trigonometrie tot algebra tot getaltheorie, en was in staat onverwachte verbanden te vinden tussen de verschillende gebieden. Hij bewees talrijke stellingen, pionierde met nieuwe methoden, standaardiseerde de wiskundige notatie en schreef gedurende zijn lange academische leven vele invloedrijke leerboeken.

In een brief aan Euler in 1742 stelde de Duitse wiskundige Christian Goldbach het Goldbach Conjectuur voor, dat stelt dat elk even geheel getal groter dan 2 kan worden uitgedrukt als de som van twee priemgetallen (bijv.b.v. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; enz.) of, in een andere equivalente versie, elk geheel getal groter dan 5 kan worden uitgedrukt als de som van drie priemgetallen. Nog een andere versie is het zogenaamde “zwakke” Goldbach Conjecture, dat alle oneven getallen groter dan 7 de som zijn van drie oneven priemgetallen. Dit blijft een van de oudste onopgeloste problemen in de getaltheorie (en in de hele wiskunde), hoewel de zwakke vorm van het vermoeden dichter bij een oplossing lijkt te staan dan de sterke. Goldbach bewees ook andere stellingen in de getaltheorie, zoals de Goldbach-Euler Stelling over perfecte machten.

Ondanks de dominantie van Euler en de Bernoullis in de 18e eeuwse wiskunde, kwamen veel van de andere belangrijke wiskundigen uit Frankrijk. In het begin van de eeuw is Abraham de Moivre wellicht het meest bekend om de formule van de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), die complexe getallen en goniometrie met elkaar verbindt. Maar hij veralgemeende ook Newtons beroemde binomiale stelling tot de multinomiale stelling, pionierde in de ontwikkeling van de analytische meetkunde, en zijn werk aan de normale verdeling (hij gaf de eerste verklaring van de formule voor de normale verdelingskromme) en de waarschijnlijkheidsrekening waren van groot belang.

Frankrijk werd nog prominenter tegen het einde van de eeuw, en een handvol Franse wiskundigen aan het einde van de 18e eeuw in het bijzonder verdienen vermelding op dit punt, te beginnen met “de drie L’s”.

Joseph Louis Lagrange werkte samen met Euler aan een belangrijk werk over de calculus van de variatie, maar hij leverde ook bijdragen aan differentiaalvergelijkingen en getaltheorie, en hij wordt gewoonlijk gecrediteerd als de grondlegger van de groepentheorie, die zo belangrijk zou worden in de wiskunde van de 19e en 20e eeuw. Zijn naam is gegeven aan een vroege stelling in de groepentheorie, die stelt dat het aantal elementen van elke ondergroep van een eindige groep gelijkelijk deelt in het aantal elementen van de oorspronkelijke eindige groep.

Lagrange’s Mean value Theorem

Lagrange’s Mean value Theorem

Lagrange wordt ook gecrediteerd met de vierkwadraatstheorem, dat elk natuurlijk getal kan worden voorgesteld als de som van vier kwadraten (bijv.b.v. 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; enz.), evenals een andere stelling, verwarrend genoeg ook bekend als de stelling van Lagrange of Lagrange’s Mean Value Theorem, die stelt dat, gegeven een doorsnede van een gladde continue (differentieerbare) kromme, er ten minste één punt op die doorsnede is waar de afgeleide (of de helling) van de kromme gelijk (of evenwijdig) is aan de gemiddelde (of gemiddelde) afgeleide van de doorsnede. Lagrange’s 1788 verhandeling over analytische mechanica bood de meest uitgebreide behandeling van de klassieke mechanica sinds Newton, en vormde een basis voor de ontwikkeling van de mathematische fysica in de 19e eeuw.

Pierre-Simon Laplace, soms aangeduid als “de Franse Newton”, was een belangrijk wiskundige en astronoom, wiens monumentale werk “Celestial Mechanics” de geometrische studie van de klassieke mechanica vertaalde naar een op calculus gebaseerde studie, waardoor een veel breder scala van problemen mogelijk werd. Hoewel hij zich in zijn vroege werk vooral bezighield met differentiaalvergelijkingen en eindige verschillen, begon hij al in de jaren 1770 na te denken over de wiskundige en filosofische concepten van waarschijnlijkheid en statistiek, en ontwikkelde hij onafhankelijk van Thomas Bayes zijn eigen versie van de zogenaamde Bayesiaanse interpretatie van waarschijnlijkheid. Laplace staat bekend om zijn geloof in volledig wetenschappelijk determinisme, en hij beweerde dat er een reeks wetenschappelijke wetten moest bestaan die ons – althans in principe – in staat zouden stellen alles te voorspellen over het universum en hoe het werkt.

De eerste zes Legendre-polynomen

De eerste zes Legendre-polynomen (oplossingen van Legendre’s differentiaalvergelijking)

Adrien-Marie Legendre heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de statistiek, de getaltheorie, abstracte algebra en wiskundige analyse aan het eind van de 18e en het begin van de 19e eeuw, hoewel veel van zijn werk (zoals de kleinste kwadratenmethode voor krommingen en lineaire regressie, de kwadratische reciprociteitswet, de priemgetaltheorema en zijn werk aan elliptische functies) pas door anderen, met name Gauss, werd geperfectioneerd – of in ieder geval algemeen bekend gemaakt. Zijn “Elementen van Geometrie”, een herbewerking van Euclides’ boek, werd bijna 100 jaar lang het toonaangevende leerboek voor geometrie, en zijn uiterst nauwkeurige meting van de terrestrische meridiaan inspireerde tot het ontstaan, en de bijna universele invoering, van het metrieke stelsel van maten en gewichten.

Een andere Fransman, Gaspard Monge, was de uitvinder van de beschrijvende meetkunde, een slimme methode om driedimensionale objecten weer te geven door middel van projecties op het tweedimensionale vlak met behulp van een specifieke reeks procedures, een techniek die later belangrijk zou worden op het gebied van techniek, architectuur en design. Zijn orthografische projectie werd de grafische methode die in bijna alle moderne mechanische tekeningen wordt gebruikt.

Na vele eeuwen van steeds nauwkeurigere benaderingen leverde Johann Lambert, een Zwitsers wiskundige en vooraanstaand astronoom, in 1761 eindelijk een rigoureus bewijs dat π irrationeel is, d.w.z. dat hij niet kan worden uitgedrukt als een eenvoudige breuk met alleen gehele getallen of als een afsluitende of herhalende decimaal. Dit bewees definitief dat het nooit mogelijk zou zijn om het precies te berekenen, hoewel de obsessie om steeds nauwkeuriger benaderingen te verkrijgen tot op de dag van vandaag voortduurt. (Meer dan honderd jaar later, in 1882, zou Ferdinand von Lindemann bewijzen dat π ook transcendentaal is, d.w.z. dat het niet de wortel kan zijn van een veeltermvergelijking met rationale coëfficiënten). Lambert was ook de eerste die hyperbolische functies in de goniometrie introduceerde en enkele vooruitziende vermoedens deed over de niet-Euclidische ruimte en de eigenschappen van hyperbolische driehoeken.