Een ARMAX-model (d.w.z. een ARIMA-model met een exogene variabele) zonder constante heeft de vorm
Dit is eenvoudigweg een ARMA-model met een extra onafhankelijke variabele (covariant) aan de rechterkant van de vergelijking. Met behulp van de lag-operator is dit gelijkwaardig aan
of
Een manier om met een dergelijk model om te gaan is het te herinterpreteren als een lineaire regressie plus ARMA-fouten:
waar
Dit model is equivalent aan
Voorbeeld 1: Stel een ARIMAX-model op voor de gegevens aan de linkerkant van figuur 1 waarbij X1 en X2 exogene variabelen zijn en Y een tijdreeks. Maak op basis van dit model een voorspelling voor de volgende 3 elementen.
Figuur 1 – Initialisatie van het ARIMAX-model
Real Statistics Data Analysis Tool: U kunt hiervoor het ARIMAX-hulpprogramma voor gegevensanalyse gebruiken. Druk op Ctrl-m, selecteer ARIMAX op het tabblad Time S en vul het dialoogvenster in dat verschijnt zoals weergegeven in Figuur 2.
Figuur 2 – ARIMAX-dialoogvenster
De resultaten worden getoond aan de rechterkant van Figuur 1 en in Figuur 3 en 4.
In figuur 1 bevat bereik G4:G22 de matrixformule =ADIFF(B4:B23,1), bereik H5:H22 bevat =ADIFF(C4:C23,1) en I5:I22 bevat =ADIFF(D:D23,1).
De linkerkant van figuur 3 bevat de gebruikelijke regressieanalyse van X1 en X2 op Y, die resulteert in het regressiemodel
De residuen worden berekend door
waarbij we verwachten dat de residuen een ARIMA(0,0,1)-model volgen. Deze residuen worden weergegeven in het bereik J5:J22 van figuur 1, zoals berekend met de matrixformule
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Figuur 3 – OLS-regressiemodel
De residuen van het OLS-regressiemodel worden nu de gegevenselementen voor het ARIMA-model, zoals weergegeven in figuur 4. Merk op dat de constante term in het regressiemodel is opgenomen en dus niet in het ARIMA-model is opgenomen. Ook de differencering is reeds in aanmerking genomen en maakt dus geen deel uit van het ARIMA-model. Wij gaan er dus van uit dat de residuen een MA(1)-model volgen.
Figuur 4 – ARIMA(0,0,1)-model voor de residuen
De prognose voor het in figuur 4 getoonde model is weergegeven in figuur 5. Merk op dat de nul prognosewaarden in de cellen AV24 en AV25 niet noodzakelijk nul zouden zijn indien we een ander ARIMA model hadden gebruikt voor de residuen.
Figuur 5 – Residuen prognose
De prognose in Figuur 5 is enkel voor de residuen tijdreeks. We moeten nu een voorspelling maken voor de oorspronkelijke tijdreeks op de tijdstippen t = 21, 22 en 23, op basis van de waarden die we verwachten voor de exogene variabelen X1 en X2 op die tijdstippen.
Voorstel dat deze exogene variabelen de waarden aannemen die zijn weergegeven in reeks B24:C26 van figuur 6. Merk op dat in deze figuur het onderste deel van overeenkomstige kolommen uit figuur 1 is weergegeven, waarbij de toegevoegde rijen overeenkomen met de drie prognosewaarden.
De toegevoegde waarden in bereik D24:D26 geven de prognosewaarden voor de oorspronkelijke tijdreeks op de tijdstippen t = 21, 22 en 24 die overeenkomen met de in B24:C26 weergegeven X1- en X2-waarden. Deze voorspelde waarden worden berekend zoals getoond in figuur 6.
Figuur 6 – Tijdreeksvoorspelling
Plaats de formule =B24-B23 in cel G23, markeer bereik G23:H25 en druk op Ctrl-R en Ctrl-D. Dit verschilt de nieuwe X1 en X2 waarden. Plaats vervolgens de matrixformule =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) in bereik I23:I25. Dit berekent de gedifferentieerde Y-voorspellingswaarden.
Nu plaatst u de formule =AV23 in cel J23, markeert u het bereik J23:J25 en drukt u op Ctrl-D, om de voorspelde restwaarden te tonen. Plaats tenslotte de formule =D23+I23+J23 in cel D24, markeer het bereik D24:D26 en druk op Ctrl-D om de gevraagde prognose voor Y te verkrijgen.